13Wahrheitsbeweise

Es folgen die seit 1988 angekündigten und immer wieder hinausgezögerten Wahrheitsbeweise der ABC Logik. Anlass dazu war die Auseinandersetzung mit der Wahrheit bei 4e in der 123 Logik des Petrus Hispanus.

Der Leser sollte Logik 2.1 und Logik 2.2 oder die Erste Analytik vorher studiert haben oder parallel zu den Wahrheitsbeweisen lesen, weil dort der Formalismus und die Theorie des Ganzen und des Teils vorgestellt und eingeübt werden und die zu beweisenden Gegenstände, die Größen, die Sätze und die Schlüsse, behandelt werden.

Der Anfang der »reinen Kunst des Denkens« ist empirisch, mag sich die Logik noch so hochtrabende Namen geben. Dass das non-a nicht mit der Empirie des Sehens oder des Tastens, sondern mit der Empirie des Denkens zu fassen ist, trage sie mit Gelassenheit.

Die empirische Grundlagenforschung der Logik hat nur das ganze a und das ganze non-a zur Verfügung und keinerlei Vorgaben zu beachten außer eben dieser, dass die Welt aus dem ganzen a und dem ganzen non-a besteht. Aus den Ergebnissen der Forschung werden sich alle Vorgaben der Logik entwickeln. Eulers Wahl des ganzen Einzelgegenstandes als Grundlage war daher gut. Zwar war er noch in der damals von der Scholastik ererbten herrschenden »klassischen« Logik befangen (dem Boethius Kauderwelsch), das tut aber seinem freien Denken keinen Abbruch, weil die Logik gegenüber der Reihenfolge von ABC indifferent ist, so lange die ABC dem Sein entsprechen.

Dem Erforscher der logischen Zusammenhänge zwischen zwei oder drei Größen stellen diese sich als eine unüberschaubare und regellose Menge von Einzelverbindungen zwischen zwei oder drei Variablen dar. Nach und nach entdeckt er bestimmte wiederkehrende Muster und stellt zunächst ungelenke Regeln auf. Nach unendlich vielen Revisionen ergeben sich am Ende des Prozesses die 10 Seinsgleichungen der Beziehungen zwischen zwei Größen und die 100 Prämissenkombinationen der Beziehungen zwischen drei Größen, die uns Aristoteles in verkleinerter Form als Hermeneutik und Analytik hinterlassen hat.

Die Wahrheitsbeweise der ABC Logik beruhen auf der Wahrheitswertetabelle der 10 Seinsgleichungen als Richter und auf allen möglichen Verbindungen zwischen A, B, C bei einem gegebenen Prämissenpaar als Zeugen. Die Wahrheitswertetabelle steht fest, die Verbindungen müssen gesucht werden. Die Beweise behandeln also Wahrheiten, die den Menschen erforderlich machen, was bei allen Beweisen der Fall ist. Denn die Natur ist nur und beweist nicht.

In den Wahrheitsbeweisen kommen die in Einleitung, Herleitung, A1 und A2 gemiedenen euler’schen Kreise mit den ganzen Größen zum Einsatz. Das deutet darauf hin, dass es sich bei den Wahrheitsbeweisen nicht um den Abschluss, sondern um den Anfang der Logik handelt. Da aber die Wahrheitswertetabelle und das Wissen um die Schlüsse bereits vorhanden sind, kann man es auch als eine Rekapitulation des Anfangs in der Logik bezeichnen. Die Wahrheitsbeweise der ABC Logik sind einer der Fälle von ex arches, die keine Erbettelung des Prinzips sind, sondern aus den arches der Mitte gewonnen werden, den 10 Seinsgleichungen. Anders als die mathematischen Beweise setzen sie das Ergebnis nicht als Behauptung voraus, die es zu beweisen gilt, sondern die Schlusssätze sind das Ergebnis des Beweises.

Wahrheitsbeweise der Seinsgleichungen

Den Vortritt soll der Beweis der Wahrheitswertetabelle der 10 Seinsgleichungen haben.

Der Wahrheitsbeweis der 10 Seinsgleichungen besteht aus der Erstellung einer 10 × 10 Matrix. Über deren Spalten wird die jeweilige Seinsgleichung mit der Aufteilung des Seins als Grafik eingetragen. Daraus ergeben sich im unteren Teil der Tabelle die Wahrheitswerte. Hier sieht man auf einen Blick, dass die 10 Seinsgleichungen die Welt entweder in 2, in 3 oder in 4 zeitgleiche Teile teilen.

Aus den Bildern der Seinsgleichungen lassen sich alle Wahrheitswerte ablesen.Und sie zeigen, warum alle leeren Zellen »falsch« bedeuten. Für die Falschen ist kein Platz im All frei.Falschsein und Unmöglichsein sind hier dasselbe wie Wahrsein und notwendig sein dasselbe sind, wie es Aristoteles bereits in der Hermeneutik postuliert hat.Die vier partikulären Universen benötigen hier nur eine Spalte, aber vier Reihen wie in der mathematischen Logik. Dort wird die Spalte aber meist nicht aufgeführt oder als »Tautotlogie« bezeichnet.Denn die Wahrheitswerte der vier partikulären Universen sind dieselben ffffffwwww.Die Nummern in den vier partikulären Universen sowie die Bilder sind aus Logik 2.1,wo die Herleitung der Seinsgleichungen ausführlich beschrieben ist.Die Wahrheitswerte der vier partikulären Zeilen der allgemeinen Sätze sind verschieden,wie in der mathematischen Logik. Nur verbirgt diese die Zeilen 1 bis 6 und hat nur die Zeilen 7 bis 10.
1 2 3 4 5 6 7 bis 10
[+][+][-][-] [+][-][-][+] (+)[-][-](+) (+)[+][-](-) [+](+)(-)[-] [+](-)(-)[+] (±)(±)
1 [+][+][-][-] w
2 [+][-][-][+] w
3 (+)[-][-](+) w
4 (+)[+][-](-) w
5 [+](+)(-)[-] w
6 [+](-)(-)[+] w
7 (+)(+) w w w w w
8 (+)(-) w w w w w
9 (-)(+) w w w w w
10 (-)(-) w w w w w

Das »w« bedeutet wahr und bedeutet dasselbe wie »notwendig sein«. In allen leeren Zellen steht ein »f« für falsch oder »unmöglich sein«, was hier dasselbe bedeutet. Die w bei Satz 1 in den Zeilen 1, 7 und 10 sind also notwendig. Und ein w bei Satz 1 in den Zeilen 2 bis 6, 8 und 9 ist unmöglich. Die Zeilen 2 bis 6, 8 und 9 sind also bei Satz 1 notwendig f. Da jede der 10 Seinsgleichungen das Universum umfasst, ist eine Überprüfung von logischen Sachverhalten anhand der Tabelle eine universelle Wahrheit.

Wahrheitsbeweise der Schlüsse

Der Beweisgang für die Wahrheit eines Schlusssatzes (und dessen Ermittlung!) mit Hilfe der Tabelle geht so.

Alle möglichen Verbindungen zwischen ABC, die ein gegebenes Prämissenpaar erlauben, werden durch Probieren gefunden und über eine der 10 (16) Spalten der Tabelle eingetragen. Das ist der empirische Teil der Arbeit. Er dauert am längsten. Der Satz oder die Sätze, die für alle gefundenen Verbindungen zwischen ABC in einer oder in mehreren Reihen wahr ist, ist/sind der Schlusssatz/die Schlusssätze. Denn was bei einem gegebenen Prämissenpaar für die beiden Äußeren AC immer zutrifft, ist ein Schlusssatz.

So findet man z. B. bei dem Schluss 5d mit euler’schen Kreisen eine Unzahl von möglichen Verbindungen zwischen ABC, aber keiner scheint ein Schlusssatz zu sein, weil keiner für alle Verbindungen wahr ist. Oder beim 4f. In den 4f verbeißt sich Aristoteles wie ein Kampfhund und untersucht ihn in der Ersten Analytik 14 mal, findet alle denkbaren Verbindungen, die nicht der Schlusssatz sind, lässt aber nicht locker.

Es handelt sich um zeigende (deiktische) Beweise, nicht so elegant, aber universell. Und das Ergebnis des Beweises steht erst am Ende fest und nicht zu Beginn.

Die Beweise teilen sich in drei Gruppen.

Es gibt 44 Schlüsse mit einer Seinsgleichung als Schlusssatz. Das bedeutet, der Schluss hat alle Wahrheitswerte, die eine Seinsgleichung in der Tabelle hat.

Es gibt 32 Schlüsse mit zwei partikulären Schlusssätzen. Das bedeutet, der Schluss hat nur zwei der vier Teilsätze als Schlusssätze.

Es gibt 8 Schlüsse mit einem partikulären Schlusssatz. Das bedeutet, der Schluss hat nur einen einzigen Teilsatz als Schlusssatz.

An den beiden letzten Gruppen ist zu sehen, dass die vier Teilsätze für sich aufgeführt werden müssen, obwohl jeder der vier für jeden der vier stehen kann.

Der Wahrheitsbeweis ist um so aufwendiger, je weniger Schlusssätze ein Schluss hat. Denn ein Schluss mit einer Seinsgleichung als Schlusssatz und damit mit drei, vier oder fünf Schlusssätzen hat nur eine oder zwei Verbindungsmöglichkeiten zwischen ABC; eine bei einer partikulären Seinsgleichung, Satz und Kontraposition bei den allgemeinen Seinsgleichungen. Je mehr Verbindungsmöglichkeiten es zwischen ABC bei einem gegebenen Prämissenpaar gibt, desto mehr Sätze scheiden als Schlusssätze aus, so dass bei einem Schluss mit nur einem Schlusssatz die meisten Verbindungsmöglichkeiten zwischen ABC gefunden werden müssen.

Wir werden zuerst die 44 Schlüsse mit den Seinsgleichungen als Schlusssatz behandeln, weil sie die einfachsten sind. Danach folgen die 8 Schlüsse mit nur einem einzigen partikulären Schlusssatz. Sie haben die aufwendigsten Herleitungen, sind aber im Formalismus die einfachsten. Und zum Schluss kommen die 36 Schlüsse mit zwei Teilsätzen.

Bei Albert Menne finden wir eine Aufstellung, auf die der Leser oft zurückgreifen wird, wenn er beim Kreisemalen die Anzahl der möglichen Verbindungen zwischen A und C für einen Schluss untersucht. Menne hat nicht 10, sondern 7 Seinsgleichungen, weil er die Sätze 7-10 für einen Satz hält.

Mennes Tabelle der Größenverbindungen S. 87 in Logik und Existenz (mit meinen Ziffern und Buchstaben)
1 5 4 7-10 3 6 2
[+][+][-][-] [+](+)(-)[-] (+)[+][-](-) (±)(±) (+)[-][-](+) [+](-)(-)[+] [+][-][-][+]
a [+][+][-][-] 1 5 4 7 3 6 2
e [+](+)(-)[-] 5 5 15473 573 3 57362 3
d (+)[+][-](-) 4 15476 4 476 47362 6 6
g-k (±)(±) 7 576 473 1547362 473 576 7(9)
c (+)[-][-](+) 3 57362 3 573 15473 5 5
f [+](-)(-)[+] 6 6 47362 476 4 15476 4
b [+][-][-][+] 2 6 3 7(8) 4 5 1

Die in den Zellen stehenden Ziffern bedeuten eine oder mehrere Verbindungsmöglichkeiten zwischen ABC bei dem durch Spalte/Reihe gekennzeichneten Prämissenpaar. So stehen beispielsweise in der Zelle 6e die fünf Ziffern 57362. Das bedeutet, dass bei den beiden Prämissen 6 (-)A=[+]B und e [+]B=(+)C die fünf verschiedenen Verbindungen 5, 7, 3, 6 und 2 zwischen A und C möglich sind.

Menne entwickelt die Tabelle von innen nach außen vom Partikulären über das Allgemeine zum Allgemeinsten, von Satz 7-10 in der Mitte nach Satz 1 linksaußen und Satz 2 rechtsaußen. Die Bejahungen 154 stehen links, die Verneinungen 362 stehen rechts.

Die Schlüsse mit einer Seinsgleichung als Schlusssatz haben nur eine Ziffer. Es sind nur 32 und nicht 44, weil Menne die Sätze 7 bis 10 als einen Satz ansieht.

Die 32 Schlüsse mit zwei Schlusssätzen haben drei Ziffern. Sie reduzieren sich auf 8 Quartette mit denselben Schlusssätzen, was wieder an den vier Partikulären liegt. Die drei Ziffern stehen für zwei allgemeine und eine partikuläre Verbindungsmöglichkeiten.

Die 8 Schlüsse mit nur einem partikulären Schlusssatz haben fünf Ziffern, die für vier allgemeine und eine partikuläre Verbindungsmöglichkeit stehen.

Die 16 Prämissenkombinationen 7-10 g-k haben 7 Verbindungemöglichkeiten, erlauben also alle möglichen Verbindungen und können daher keinen Schlusssatz haben.

Menne findet die Werte in der Tabelle auf völlig anderem Weg und sagt nach Aufstellung der Tabelle mit Recht:

»Die langwierigen Herleitungen … werden durch die überragende Bedeutung der Tafel … für die Lösung der meisten formalen Probleme der Syllogistik reichlich belohnt.« 88

Mennes Tabelle der Größenverbindungen S. 87 in Logik und Existenz (mit Mennes Nummern)
1 2 3 4 5 6 7
[+][+][-][-] [+](+)(-)[-] (+)[+][-](-) (±)(±) (+)[-][-](+) [+](-)(-)[+] [+][-][-][+]
1 [+][+][-][-] 1 2 3 4 5 6 7
2 [+](+)(-)[-] 2 2 12345 245 5 24567 5
3 (+)[+][-](-) 3 12346 3 346 34567 6 6
4 (+)(+) 4 246 345 1234567 345 246 4(9)
5 (+)[-][-](+) 5 24567 5 245 12345 2 2
6 [+](-)(-)[+] 6 6 34567 346 3 12346 3
7 [+][-][-][+] 7 6 5 4(8) 3 2 1