L2.1.6.1.38-42 Bildung der Äquivalente der allgemeinen Sätze

Versuchen wir, dieser intuitiv richtigen Form, der "getrennten Darstellung", auf die Spur zu kommen.

39 Was für die einzelne Größe gilt, nämlich dass sie die Welt mit ihrer Negation restlos aufteilt, gilt auch für beide ganzen Größen eines Satzes. Aber die schlichte Tatsache, dass die Welt aus [+]A und [-]A besteht, wird plötzlich eine vertrackte Angelegenheit, sobald sich eine zweite Größe [+]B dazugesellt. [+]A und [-]A und [+]B und [-]B teilen die Welt zweimal vollständig auf.

Kein Millimeter einer entgegengesetzt gleichen Größe ([+]X und [-]X) darf sich auf dem Territorium der anderen aufhalten, das wäre ein Widerspruch. Bei entgegengesetzt verschiedenen Größen, [+]A und [-]B muß das jedoch nicht so sein. Bei der Darstellung zweier äquivalenter Sätze in einem Bild kommt es nun zu möglichen Mißverständnissen, die Beziehungen Teil:Ganzes usw. werden genauso gezeichnet wie die einander ausschließenden Größen. Bei der Bildung des Äquivalents eines Satzes findet ein zweifacher Vorzeichenwechsel statt, weil das "alles außer" von beiden, A und B, betrachtet wird. Die zwei "alles außer"-Größen bilden den Äquivalentsatz und stehen auch in der Teil:Ganzes- oder der Ganzes:Teil-Beziehung. Zum Beispiel Satz 5

Alle Menschen sind (Teil der ) Tiere.

[+]M = (+)T

Alles außer den Tieren, [-]T, umfaßt das Universum

Alles außer den Menschen aber auch

40 Nur ist [-]M sowohl teilweise [+]T, nämlich alle Tiere außer den Menschen, als auch ganz [-]T, nämlich alles, also der Rest der Welt außer den Tieren: [-]M=(+)T + [-]T, während [-]T weder [+]M noch [+]T ist. [-]M ist also größer als [-]T, oder

Ein Teil von [-]M ist ganz [-]T
(-)M=[-]T

das Äquivalent zu

[+]M=(+)T

Die Beziehung Ganzes:Teil in [+]M=(+)T hat sich im Äquivalent (-)M= [-]T umgekehrt in Teil:Ganzes.1

Die beiden äquivalenten Sätze 5 können nun eindeutig jeder für sich gezeichnet werden.

Hier muß aber auch gelten, was bei Satz 6 galt, dass beide Sätze in einem Bild darstellbar sind, weil es ja nur ein Universum gibt

oder, wenn man das All wegläßt, wieder die "getrennte" Darstellung 41

"Alle Menschen sind Teil der Tiere" ist genauso darstellbar, wie wir den Satz 6 üblicherweise darstellen! Und auch aus dieser Darstellung lassen sich beide Äquivalente ablesen

(-)Mensch ist [-]Tier.

[+]Mensch ist (+)Tier.

Also eine zweite Darstellung eines allgemeinen Satzes, die scheinbar nicht ein- sondern zweideutig ist. Gehen wir noch einen Schritt weiter, sehen [-]M und [-]T als zwei beliebige Größen an und zeichnen diesmal umgekehrt das All um das Äquivalent: (-)M=[-]T.

[-]M im Satz

(-)M = [-]T

hat dann [+]M zum Komplement, das den Rest der Welt ausmacht,

das aber zugleich auch ein Teil von [+]T ist.

Jetzt erscheint das Äquivalent "kleiner", und der Satz [+]M=(+)T umfaßt das All! So gern das einige mit dem Sophisten Protagoras hätten, der das Maß aller Dinge im Menschen sah, umfassen die Menschen nicht das All. Wo steckt der Fehler, wenn wir doch bei den Beispielbegriffen "Mensch" und "Tier" blei 42 ben wollten? Da ist gar kein Fehler. Es sieht wieder nur so aus, weil ich keine unendlich großen Kreise malen kann. [+]M und [+]T sind je von [-]M und [-]T getrennt, können nicht denselben Ort einnehmen.



Stellen Sie sich [+]M und [+]T als unendlich dünne Haut um das unendlich große [-]M und [-]T herum vor und das [-]M als unendlich wenig größeres Ganzes um den Teil [-]T. "Größer" und "kleiner" sind die Größen nur richtig dargestellt, wenn ein einzelner logischer Satz gezeichnet wird. Sobald Äquivalent und Satz gemeinsam in einem Bild zu sehen sind, sind die Aussagen über die Größenverhältnisse unzuverlässig. Die Darstellung jedes einzelnen Satzes und seines Äquivalents als Einheit und der Nachweis ihrer universellen Gültigkeit ist das Ziel dieses Abschnitts ("16 Sätze" bis "Schluss"). Es lohnt sich, sich einige Tage oder Wochen Zeit zu nehmen oder diesen Abschnitt auch später öfter zu lesen.

05.2002: Das Einleitungs-applet vereinfacht nun Vieles.


1. Das kennen Sie noch aus dem Schulunterricht: +M < +T |x(-1) -M > -T Das funktioniert bei allen äquivalenten Sätzen. Jedoch sollte die "Algorithmisierung" zunächst äußerst behutsam gehandhabt werden, da wir hier ja noch auf der ersten Abstraktionsstufe sind, also uns noch längst nicht von den "materiellen" Größen abgenabelt haben.