L2.1.6.35-58 Allgemeine Sätze und Universum

Die ersten 12 Sätze sind als 6 Satzpaare 1-6 zusammengefaßt. Das sind die allgemein "äquivalenten" Sätze. Greifen wir etwas zurück.

In Teil 1 war zu sehen, dass die Sätze 6:

A ist nicht B und B ist nicht A, genauer
Ganz A ist Teil von [-] B und Ganz B ist Teil von [-]A oder
[+]A =(-)B und [+]B =(-)A,
die beiden Seiten der Gleichung lassen sich vertauschen,
(-)A=[+]B


äquivalent sind, der eine den anderen in jedem Fall ersetzen kann, ohne den Sachverhalt erkennbar zu ändern. Dort gab es für diesen Satz nur die eine zeichnerische Darstellung, die getrennte Darstellung ( Tl.1,S. 19 )

aus der man beide Äquivalente ablesen kann, ganz A ist Teil von [-]B und Teil von [-]A ist ganz B. Diese Darstellung scheint daher im wahrsten Sinne des Wortes zweideutig und nicht eindeutig.

Mit den neuen Erkenntnissen lassen sich die beiden Sätze so zeichnen:

[+]A =(-)B (-)A =[+]B

Diesmal sind die beiden Sätze als äquivalente Sätze einzeln gezeichnet, so, dass zwei eindeutige Darstellungen da stehen. Links ist [-]B (einschließlich 36 [+]A ) die unendlich große Größe alles außer [+]B. Die linke Darstellung umfaßt das Universum, der Satz jedoch nur den von [+]A eingenommenen Bereich, der identisch ist mit einem Teil von [-]B. 1

Das ist wieder die "getrennte" Darstellung des allgemein verneinenden Satzes, wie sie jeder kennt, A gehört nicht zu B, und B gehört nicht zu A. Genau diese Darstellung des allgemein verneinenden Satzes war trotz ihrer intuitiv überwäl 37 tigend richtigen Form die "schlechteste" für die Aufstellung der Logik und hat über 2 Jahrtausende verhindert, den allgemein verneinenden Satz richtig zu sehen, weil sie zwei äquivalente Sätze zugleich darstellt und scheinbar über das Verhältnis von Teil:Ganzes nichts aussagt. Scheinbar. Denn eben haben wir ja gefunden, dass sie identisch ist mit

der eindeutigen Darstellung beider Äquivalente.

Hier die drei englischen Logiker des letzten Jahrhunderts, die die richtige Formalisierung des allgemein verneinenden Satzes beinahe gefunden hätten (vgl. Logik, Tl. 1 S. 22f ):

"Aristoteles und seine Nachfolger wollten den Satz irgendwie als Einheit auffassen, was richtig war und sich in der grammatischen Auffassung des Satzes als "Satzgegenstand", von dem etwas "ausgesagt" wird, zeigt. Das führte aber zu der Überzeugung, dass der Satz auch nur als ganzer bejaht und verneint werden könnte. Denn was sollte man sich unter der Verneinung eines Gegenstandes, dem berühmten Nicht-Sokrates, vorstellen? Bentham und Hamilton erkannten als erste die Notwendigkeit, beide Seiten des Satzes zu quantifizieren, blieben jedoch bei der Negation des Satzes der Tradition verhaftet und verneinten den Satz durch die Kopula von "ist" in "ist nicht". De Morgan endlich verneinte nicht den Satz, sondern die beiden Satzteile A und B, indem er A und alles außer A, B und alles außer B jeweils beide gemeinsam das "universe of discourse" vollständig ausfüllen ließ. Er schuf damit die Voraussetzung für eine rationale Logik, in der der Kopula nun eine ähnliche Bedeutung zukommt wie dem Gleichheitszeichen in der Mathematik.

Der allegmein verneinende Satz bei Bentham: "X in toto || Y ex parte." Die Kopula " = " , wie sie im bejahenden Satz gebraucht wird, wird in"||" verneint. Aus der Form des Satzes geht nicht hervor, ob und wie X oder Y zu verneinen sind. (George Bentham: Outline of a New System of Logic, London 1827, S. 133)

Hamilton: Auch bei Hamilton scheitert die Suche nach der beiderseitigen Quantifikation mit einem einheitlichen Formalismus am allgemein verneinenden Satz, weil Hamilton die Negation zur Kopula rechnet. Während im allgemein bejahenden Satz durch die Quantifikatoren: ":" = all und "," = some und die Kopula " " keine Mehrdeutigkeiten möglich sind:
"A, :C Some Figure is all Triangle" , muß man im allgemein verneinenden Satz wissen, was gemeint 38 ist: "C: :D Any Triangle is not any Square" . Da Hamilton beide Seiten allgemein quantifiziert, ist die Formalisierung sogar falsch. (William Hamilton, Lectures on Metaphysics and Logic, London 1866, Bd. II, S. 279f)

de Morgan:

" E , UUUUUUUUUUUUU
XXXXXXXxxxxxx
yyyyyyyyyYYYY"

E, = allgemein verneinender Satz

UUU ... = universe of discourse

XXX ..., YYY ... = +X, +Y

xxx ..., yyy ... = -X, -Y

Hier läßt sich sofort ablesen: +X= (-)Y, (-)X= +Y. Die Darstellung des allgemein verneinenden Satzes läßt keine unterschiedlichen Auslegungen mehr zu. Die Formulierung des Satzes als "E," ist jedoch wieder nur eine Abkürzung. (Augustus de Morgan, Formal Logic: Or the Calculus of Inference, Necessary and Propable, London 1877, S. 61)" 2


1. Hier, wie bei allen äquivalenten Darstellungen, ist kein Verstoß gegen das Verbot, das Universum im Satz nicht auftreten zu lassen. [-]B ist kleiner als das All, weil [-]B + [+]B = All.

2. Vgl. Albert Menne, Logik und Existenz, Meisenheim/Glan, 1954.
Er war einer der wenigen Logiker, der die Bedeutung der drei englischen Logiker zu würdigen wußte und sie nicht schlicht überging, als hätte es sie nie gegeben, wie das im Fach der Brauch ist. Die Fachmänner murmeln entweder düster "Barbara, Celarent, Barbari..." oder erklären die Syllogistik, wie die hier behandelte Grundlage der Logik heißt, für längst abgetanen Kinderkram. Beides, sowohl die Behauptung, die Merkwörter seien die Repräsentanten der vollständigen Syllogistik, als auch die Annahme sie sei "überwunden", ohne dass einer einen nennen kann, der sie überwunden hat, ist falsch.
Ich möchte hier noch einmal darauf hinweisen, dass Menne mich 1988 durch den Hinweis auf seine, Hamiltons und de Morgans Arbeiten davor bewahrt hat, die beiderseitige Quantifikation, fälschlich als "Quantifikation des Prädikats" bezeichnet, für meine Entdeckung zu halten. (Zusatz 2001: Die Wiederentdeckung Hamiltons der beiderseitigen Quantifikation, deren Notwendigkeit schon Aristoteles' Schüler Theophrast erkannte, die Zweiteilung des Universum in +A und - A durch de Morgan und die Aufstellung der Gleichung für alle logischen Sätze zusammen sind die Grundlage der hier vorliegenden Logik.) Den Nachweis, dass die Kopula "ist", das grammatische Prädikat, mit dem mathematischen Zeichen "=" bzw. dem logischen » « identisch ist, konnte auch de Morgan nicht erbringen. Zwar hat er hundertmal mehr entdeckt als Hamilton, konnte aber wegen der Vorhaltungen Hamiltons, er habe bei ihm abgekupfert, die beiderseitige Quantifikation nicht bei sich anwenden. Daher ist meine Aussage von 1988, die beiden allgemein verneinenden Sätze ließen sich aus der Zeichnung sofort ablesen, falsch, weil de Morgan nicht die Identität von Teil und Ganzem, sondern nur die Größer-Kleiner-Relation der Größen betrachtet. Der mathematische Abstaktionsprozeß, der aus den 3 Äpfelchen und den 4 Birnchen die 3 und die 4 schuf, wurde - nicht zuletzt duch unsere unselige Philosophiegeschichte - zum Hindernis der Logik. Daher noch einmal: Teil ist hier identisch mit Teil des Ganzen, also nicht nur wie 4 die Hälfte von 8, sondern ein und dasselbe wie ein Teil von 8.