L2.1.4.21-29 Satz

Ein Satz ist die Bezeichnung eines Gegenstandes, von dem etwas gesagt wird. Oder "Ein Satz ist die Bezeichnung eines Gegenstandes (Größe!) mit zwei Namen. Oder: Ein Satz ist die Feststellung der Identität eines Gegenstandes mit zwei Namen. Oder: Ein Satz ist die Feststellung des Seins eines Gegenstandes mit zwei Namen.

Dieses da als "Ganz Mensch" und "Teil Lebewesen".

Ferner sagt der Satz, in welcher quantitativen Beziehung die durch die beiden Namen bezeichneten ganzen Dinge zueinander stehen: Aus alle Menschen sind Teil der Lebewesen folgt

alle Lebewesen > alle Menschen,

weil das Ganze größer als der Teil ist". ( Logik, Teil 1, S. 17 )

Der logische Satz heißt "A ist B".

Dass der Satz einer ist, wußte man schon immer irgendwie, hat aber gerade da, wo er sagt, dass er einer ist, den Satz getrennt, nämlich beim "ist". Das "ist" ist genau das gleiche wie das "=" in der mathematischen Formelsprache oder das " " der logischen Formelsprache. Aus dem "ist" wurde im Laufe der Logikgeschichte bei der Sektion des Satzes das "ist nicht", "ist teilweise" usw., und das wurde dann wieder dem A zugeschlagen oder im Ungewissen stehengelassen; was dann da stand, das A und das B, erschien nun getrennt, - nachdem man es getrennt hatte. Was Wunder. Das grammatische Prädikat "ist" spielt im logischen Satz gegenüber A und B die gleiche Rolle, die des Gleichmachers oder eine verschwindende Rolle. Die angesprochenen Teile von A und B sind beide gleichberechtigte Teile des Satzes. Mehr noch, sie sind identisch. Der Satz kann B=A oder A=B heißen. A und B selbst sind Größen oder Teile von Größen. Die "idealistische" Logik konnte nie darauf kommen, dass A und B identisch sind, weil Begriff A und Begriff B nur als 2 nicht teilbare Ganze gesehen wurden.

22 Die Größen im logischen Satz stehen in einer von vier Größen-Beziehungen. Bitte beachten Sie, dass die A und B teilweise oder ganz denselben Ort einnehmen, also das gerade Gegenteil der oben geschilderten Zweiteilung der Welt in [+]X und [-]X in einem Bild darstellen.

Aus den Zeichnungen der Beziehungen zweier ganzer Größen zueinander lassen sich mehrere logische Sätze ablesen.

"Alle Menschen sind Tiere."

ist so ein logischer Satz. Die beiden ganzen A und B sind "alle Menschen" und "alle Tiere". Die Menschen und die Tiere nehmen eine bestimmte Größe ein, Am 3 und Bm 3 . Die Größe des ganzen Satzes ist das ganze M und ein Teil von T.

23 Allein die Größe der Dinge interessiert uns hier, also ihre "Kubikmeter". "Alle Menschen" könnten andernfalls als Teil "aller Tiere" nicht in eine logische Größen-Beziehung gebracht werden.1

Woraus diese Größe besteht, was sie ist, wissen wir bis heute nicht, was wir aber wissen, ist, dass es sie gibt und dass die ganze Größe B größer ist als die ganze Größe A, da A ein Teil von B ist, also denselben Ort einnimmt wie ein Teil von B

Die ganzen Größen A und B stehen hier im Verhältnis von

Ganzes A Alle Menschen Ganz A [+]A : sind ist = Teil B Teil der Tiere Teil von B (+)B Größenverhältnis Satz logischer Satz logischer Satz

"[+]" "(+)" "=" bedeutet "ganz, alle" bedeutet "Teil, einige" bedeutet "ist identisch"

Das "=" kennzeichnet den Unterschied zwischen der anschaulichen zeichnerischen Ebene mit den ganzen Größen A und B und dem logischen Satz. Während in der "anschaulichen" Ebene die Beziehung der beiden ganzen Größen zueinander gezeigt wird, handelt der logische Satz nur von den Teilen von A und B, die identisch sind.

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Der Teil von B, der identisch mit [+]A ist, ist der Satz oder richtig: die Größe von der der Satz handelt. Ich begehe aus Bequemlichkeit und wegen des Sprachflusses diese sprachliche Ungenauigkeit und überlasse es dem Leser, sich die richtige Formulierung dazuzudenken oder aus der Umformulierung eine Wissenschaft zu machen.2 Die Identität der beiden Satzteile ist eine physische, reale Identität, nicht "nur" eine mathematische oder abstrakte Identität. Die beiden Teile des Satzes nehmen denselben Ort ein. Der überstehende nicht hervorgehobene Teil gehört nicht zum Satz. Die genaue Darstellung ist also

die Identität von [+]A und (+)B. Der "Teil der Tiere", der "alle Menschen" ist, nimmt denselben Ort wie diese ein. Der Satz ist die Bezeichnung ein und desselben Gegenstandes mit zwei Begriffen (der Nennung und Beschreibung des Subjekts unter Auslassung des Prädikats, das immer "=" ist). Nach Abschluss der einleitenden Untersuchungen wird sich zeigen, dass diese Darstellung des 25 Satzes für die Aufstellung der Logik die geeignetste ist. Wir werden zunächst die ganzen Größen des Satzes auf der anschaulichen Ebene betrachten.

Ein zweiter Satz "B ist C":

"Kein Tier ist ein Stein."

Wie sieht die Beziehung der beiden ganzen Größen [+]B und [+]C zueinander zeichnerisch aus?

[+]T und [+]S stehen scheinbar in keiner der 4 oben geforderten Beziehungen zueinander (S.22). Setzen wir nämlich ein, so ergibt sich

[+]T=[+]S Alle Tiere sind alle Steine.
(+)T=[+]S Ein Teil der Tiere sind alle Steine.
[+]T = (+)S Alle Tiere sind ein Teil der Steine.
(+)T = (+)S Ein Teil der Tiere ist ein Teil der Steine

26 Alle Sätze sind falsch.3 Wie lassen sich zwei verschiedene Größen [+]T und [+]S, die umgangssprachlich in "keiner" Beziehung zueinander stehen und die zeichnerisch "getrennt" voneinander dargestellt werden, als eine Beziehung von Teil:Ganzes usw. zueinander darstellen?

Wir haben zwar eben Größen wie "alle Menschen" und "alle Tiere" als die selbstverständlichste Sache der Welt gebraucht. Das konnten wir, weil wir uns auf den kleinen Zipfel der Welt bezogen haben, den wir einigermaßen kennen. Der Rest der Welt blieb bei der Betrachtung dieser beiden Größen scheinbar außer acht. Scheinbar. Es genügt, "[+]A" zu sagen, um damit gleichzeitig zu sagen "die ganze Welt außer [+]A nicht". Denn wäre irgend ein anderer Teil der Welt auch (+)A, so wäre "[+]A" falsch, da "[+]A" dann nur ein Teil von A wäre. Wer also " [+] Willi" sagt, führt zugleich das ganze Universum im Mund, weil er voraussetzt, dass alles außer [+] Willi: nicht Willi, [-]W ist. Die Welt besteht also aus [+]W und [-]W. Hier liegt die Erklärung dafür, dass jedes Kind der geborene Logiker ist, ohne eine Zeile des Aristoteles gelesen zu haben. Das wird sich am Ende der Arbeit aufs Schönste bestätigen.

Was für [+] Willi und [-] Willi gilt, gilt für jede andere Größe. Die Welt besteht aus [+] Tiere und [-] Tiere, oder sie besteht aus [+] Steine und [-] Steine. Beide Paare sind als Summe beidemal die ganze Welt. Beide Größenpaare mit entgegengesetztem Vorzeichen schließen einander aus, können in keinem Fall denselben Ort einnehmen, [+] T kann nicht [-]T, und [+]S kann nicht [-]S sein, das wäre ein Widerspruch, der auf keinen Fall eintreten darf und zugleich das sicherste Mittel der Erkenntnis von wahr und falsch ist.4

27 Fassen wir zusammen, was wir von [±]T und [±]S wissen, zeichnen Sie Kreise:

Die Welt besteht aus [+]T und [-]T oder aus [+]S und [-]S

[+]T kann nirgendwo mit [-]T denselben Ort einnehmen.

[+]T ist endlich groß, wenn es nur endlich viele endlich große Tiere gibt; es ist unendlich groß, wenn es unendlich viele oder unendlich große Tiere gibt; es ist aber klein im Verhältnis zum All, also auch zu [-]T.

[+]T kann nirgendwo mit [+]S denselben Ort einnehmen.

[+]S ist endlich groß, wenn es nur endlich viele endlich große Steine gibt; es ist unendlich groß, wenn es unendlich viele oder unendlich große Steine gibt; es ist aber klein im Verhältnis zum All, also auch zu [-]S.

Da [+]T keinen Ort mit [+]S gemeinsam hat, die Welt aus [+]S und [-]S besteht und da [+]T klein und [-]S unendlich groß sind, so muß [+]T ein Teil von [-]S sein: [+]T=(-)S.

Umgekehrt: Da [+]S keinen Ort mit [+]T gemeinsam hat, die Welt aus [+]T und [-]T besteht und da [+]S klein und [-]T unendlich groß sind, so muß [+]S ein Teil von [-]T sein: [+]S=(-)T. Und da die beiden Seiten unserer Satzgleichung "kommutativ" sind, also linke und rechte Seite sich (mit den Vorzeichen!) vertauschen lassen, (-)T=[+]S.

Betrachten wir uns also die Tiere und Steine mit den neuen Erkenntnissen noch einmal zeichnerisch. Die Tiere sind nun darstellbar als Teil einer eindeutig bestimmten Größe: der "Nicht-Steine".

Alle Tiere sind Teil der Nicht-Steine.

[+]T=(-)S

[ ] bedeutet "ganz"

( ) bedeutet "teil"

(-)S bedeutet "Teil von [-]S "

[-]S bedeutet "Ganz Nicht-S" (alles, was nicht [+]S ist)

28 Beides, [+]T und [-]S sind Größen, die sich als Ganzes : Teil verhalten. Die eine, [+]T, ist eine endlich große Größe, vorausgesetzt es gibt nur endlich viele endlich große Tiere in der ganzen Welt. Die andere, [-]S, nimmt eine Größe ein, die das All umfaßt aber kleiner als das All ist, nämlich das All außer den Steinen.5

Die geforderte Teil:Ganzes-Beziehung gilt also für den allgemein negativen (verneinenden!6) Satz genauso wie für die anderen. Die beiden Satzteile [+]T und (-)S nehmen denselben Ort ein. Es ist nur die Macht der Gewohnheit die beiden Glieder als in "keiner" Beziehung sich vorzustellen. Das A ist ein Teil dessen, was das B nicht ist. Das, was das B nicht ist, ist eine unendlich große Größe, aber mit der gehen wir ganz genauso um wie mit jeder x-beliebigen Größe. Alle naturphilosophischen und außerlogischen Fragen interessieren uns nicht. Ist die Größe [+]A kleiner als [-]B, und hat [+]A kein Atom mit [+]B gemein, so ist sie ein Teil von [-]B, weil die Welt aus [+]B und [-]B besteht.

29 Jetzt sind alle Zeichen, die in der Arbeit benutzt werden, bekannt. Es ist für das weitere Verständnis sehr wichtig, ihre genaue Bedeutung zu kennen.

A,B,C,( ),[ ],-,+, = sind in der vorliegenden Arbeit die einzigen Zeichen, die Sie sich merken müssen.

Gottlob Frege drückt aus der Sicht eines Logikers der Mathematik den Zusammenhang zwischen der Sache und den logischen Zeichen treffend aus:

"In den abstracteren Theilen der Wissenschaft macht sich immer wieder auf's Neue der Mangel eines Mittels fühlbar, Mißverständnisse bei Anderen und zugleich Fehler im eigenen Denken zu vermeiden. Beide haben ihre Ursache in der Unvollkommenheit der Sprache. Denn der sinnlichen Zeichen bedürfen wir nun einmal zum Denken. Unsere Aufmerksamkeit ist von Natur aus nach außen gerichtet. Die Sinneseindrücke überragen die Erinnerungsbilder an Lebhaftigkeit so sehr, dass sie den Verlauf unserer Vorstellungen zunächst wie bei den Thieren fast allein bestimmen. Und dieser Abhängigkeit würden wir auch kaum je entrinnen können, wenn nicht die Außenwelt auch einigermaßen von uns abhängig wäre. Schon die meisten Thiere haben durch die Fähigkeit der Ortsveränderung einen Einfluß auf ihre Sinneseindrücke: sie können die einen fliehen, die anderen suchen. Und das nicht allein: sie können auch umgestaltend auf die Dinge wirken. Diese Fähigkeit hat nun der Mensch in bei weitem größerem Maße. Dennoch würde unser Vorstellungsverlauf auch dadurch noch nicht die volle Freiheit gewinnen; er würde auf das beschränkt seyn, was unsere Hand gestalten, unsere Stimme zu tönen vermag, ohne die große Erfindung der Zeichen, die uns gegenwärtig machen, was abwesend, unsichtbar, vielleicht unsinnlich ist ... So dringen wir Schritt für Schritt in die innere Welt unserer Vorstellungen ein und bewegen uns darin nach Belieben, indem wir das Sinnliche selbst benutzen, um uns von seinem Zwange zu befreien. Die Zeichen sind für das Denken von derselben Bedeutung wie für die Schiffahrt die Erfindung, den Wind zu gebrauchen, um gegen den Wind zu segeln. Deshalb verachte niemand die Zeichen! Von ihrer zweckmäßigen Wahl hängt nicht wenig ab. Ihr Werth wird auch dadurch nicht vermindert, dass wir nach langer Uebung nicht mehr nöthig haben, das Zeichen wirklich hervorzubringen, dass wir nicht mehr laut zu sprechen brauchen, um zu denken; denn in Worten denken wir trotzdem und, wenn nicht in Worten, doch in mathematischen und anderen Zeichen.


Wir würden uns ohne Zeichen auch schwerlich zum begrifflichen Denken erheben. Indem wir nämlich verschiedenen aber ähnlichen Dingen dasselbe Zeichen geben, bezeichnen wir eigentlich nicht mehr das einzelne Ding, sondern das ihnen Gemeinsame, den Begriff. Und diesen gewinnen wir erst dadurch, dass wir ihn bezeichnen; denn da er an sich unanschaulich ist, bedarf er eines anschaulichen Vertreters, um uns erscheinen zu können. So erschließt uns das Sinnliche die Welt des Unsinnlichen." Gottlob Frege, Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift. in Begriffsschrift und andere Aufsätze, Georg Olms Verlag, Hildesheim New York, 1977

Das Kauderwelsch an Zeichen in Bereichen der modernen Logik, das oft nur den Mangel an Enkenntnis übertüncht, steht auf einem anderen Blatt.
Als ich 1985 meine ersten schüchternen Versuche unternahm, bei den deutschen Universitäten und Verlagen mit meiner damaligen Version der "Reform der Analytik des Aristoteles" zu landen, erhielt ich Ratschläge wie:
"Der formal-logische Gehalt Ihrer Arbeit gehört zum wohlbekannten Repertoire der Aussagenlogik bzw. Mengenlehre; ich empfehle Ihnen die einschlägige Literatur zu konsultieren (z. B. A. Oberschelp, Elementare Logik und Mengenlehre I,II, BI-Hochschultaschenbücher 407,408).", vom Mathematischen Institut der Universität zu Köln, Prof. Dr. M. Armbrust, was ich brav getan habe. Ich will ja nicht dumm sterben. In Band 1 formalisiert Oberschelp den Satz: "Keine Frau ist bislang auf dem Mond gelandet..." so:

Man kann darüber streiten, ob diese "Formalisierung" besser ist als [+]F=(-)M, [...] "Alle Frauen sind Teil der nicht auf dem Mond Gelandeten." Soviel steht fest: Der formal-logische Gehalt meiner Arbeit, auch der noch lükken- und fehlerhaften Version von 1985 - gehört nicht zum einschlägigen Repertoire weder der Aussagenlogik noch der Mengenlehre, denn nirgendwo finde ich die fehlenden Schlüsse der endlichen und natürlich nicht der Logik der unendlich großen Größen, noch finde ich eine gescheite Formalisierung der Größen und Sätze.

Die konnte ich dort auch nicht finden, so kann ich heute ergänzen, weil es in der Mathematik die Größe, den Teil und das Ganze nicht gibt, sondern nur die Menge, die Eins und die Vielen.

Die Logik der Größen steht in direktem Gegensatz zu Glaubenssätzen der elementaren Logik und Sätzen der Mengenlehre. Die Verbindung von Aussagenlogik und Größenlogik ist eine noch vollständig ungelöste Aufgabe. Zum einschlägigen Repertoire derer, die mir aus den Universitäten und Verlagen überhaupt geantwortet haben, gehört bis auf wenige Ausnahmen (sie sind schnell aufgezählt, Felix Meiner Verlag: Manfred Meiner und Horst D. Brandt, Ruhr-Universität Bochum: Prof. Dr. Albert Menne, Universität Koblenz Landau/Philosophisch-Theologische Hochschule Vallendar: Prof. Dr. Bruno H. Reifenrath, FernUniversität Hagen: Dr. Wilfried Lange, später kam noch v. Freytag-Löringhoff hinzu) vielmehr eine gesunde Ignoranz der Grundlagen der Logik. 30


1. Auch hier humpelt die Logik der Mathematik wieder hinterher. Dort können sorglos unendlich viele Größen ineinandergeschachtelt werden, ohne dass das zu Widersprüchen führt. Da gibt es auf der einen Seite die Satzlogik, die weiß, dass die Sätze Einheiten sind, die aber von der inneren Struktur der Sätze abstrahiert; und dann gibt es das "Fossil" der "aristotelischen" Logik, die ihren Ursprung, die Größen verleugnet, und A und B natürlich nicht als Einheit erkennen kann, weil Begriffe nicht Teil und Ganzes sein können.
Boole erkennt zwar die Bedeutung der Einheit und der Identität: "To express the Proposition, All Xs are Ys.
As all the Xs which exist are found in the class Y, it is obvious to select out of the Universe all Ys, and from these to select all Xs, is the same as to select at once from the Universe all Xs. Hence xy=x", also nur der Teil vom ganzen X und der Teil vom ganzen Y, der identisch ist, das X selbst, interessiert. Er richtet dann aber Chaos an, wenn er Teil und Ganzes formalisieren will. Vgl. George Boole, The Mathematical Analysis of Logic, Cambridge 1847, S. 20ff.

2. Ludwig Wittgenstein, Tractatus logico philosophicus, Frankfurt am Main (1918) 1960
"Die Gegenstände kann ich nur nennen. Zeichen vertreten sie. Ich kann von ihnen sprechen, aussprechen kann ich sie nicht." S.221 Das muß einem schließlich gesagt werden. Was mir aber noch dringlicher erscheint, ist: "Kann ich mit dem Wort "bububu" meinen "Wenn es regnet, werde ich spazierengehen?"" Oder was ist wichtiger, als sich klar zu werden über das Wort: "juwiwallera"? S.295 Da merkt man doch, wozu der fürnehm lateinische Titel gut ist.
Die grafische Darstellung oben mit (+)B und [+]B wird in " Herleitung " eine wichtige Rolle spielen.

3. Ich nehme einmal an, dass alle Tiere kerngesund sind und lasse die Gallen- und Nierensteine außen vor.

4. "...und das sicherste unter allen Prinzipien ist dasjenige, bei welchem eine Täuschung unmöglich ist; denn ein solches muß notwendig am erkennbarsten sein...und voraussetzungslos. Denn ein Prinzip, das jeder notwendig besitzen muß, ...der irgend etwas erkennen soll, das muß er schon zum Erkennen mitbringen. Dass ein so beschaffenes Prinzip das sicherste unter allen ist, leuchtet ein; welches aber dies ist, wollen wir nun angeben.
Dass nämlich dasselbe demselben in derselben Beziehung...unmöglich zugleich zukommen und nicht zukommen kann, das ist das sicherste unter allen Prinzipien..., da es unmöglich ist, dass jemand annehme, dasselbe sei und sei nicht...Daher kommen alle, die einen Beweis führen, auf diese letzte Annahme zurück; denn dies Prinzip ist seinem Wesen nach zugleich Prinzip der anderen Axiome...
Manche verlangen nun aus Mangel an Bildung, man solle auch dies beweisen; denn Mangel an Bildung ist es, wenn man nicht weiß, wofür ein Beweis zu suchen ist und wofür nicht. Denn dass es überhaupt für alles einen Beweis gebe, ist unmöglich, denn sonst würde ja ein Fortschritt ins Unendliche eintreten und auch so kein Beweis stattfinden." Aristoteles, "Metaphysik", Buch IV, Kap. 3, Felix Meiner Verlag, Hamburg 1978

5. Diese Größe, das All außer den Steinen, kann: Tiere plus eine unendlich große Größe, Tiere plus eine endlich große Größe oder Tiere plus eine unendlich kleine Größe sein! Denn angenommen, die Welt bestünde aus den Tieren, den Steinen und der endlich oder unendlich kleinen Größe [+]X, so wäre

[-]Stein=[+]Tier & [+]X

[-]Stein minus [+]X=[+]Tier

Die zeichnerische Darstellung wäre also immer noch richtig, da [+]Tier<[-]Stein wäre. [+]S und [-]S schließen einander aus, während [+]T und [-]Stein Teil und Ganzes bzw. Ganzes und Teil sind: [+]T=(-)S.
Die wahrscheinlichste Annahme ist natürlich, dass [+]X eine unendlich große Größe ist, da der uns bekannte Teil des Universums einen riesigen Raum frei läßt, in dem kein Gedrängel von Steinen und Tieren ist.

6. August 2016: In Logik 2.1 und Logik 2.2 gehe ich mit den Begriffen "negativ" und "verneinend" bzw. "positiv" und "bejahend" noch sorglos um: Negiert wird eine Größe von einer positiven in eine negative und umgekehrt. Eine Verneinung ist ein Satz mit zwei entgegengesetzten Vorzeichen, eine Bejahung ein Satz, mit zwei gleichen Vorzeichen. Ich habe alle Stellen ab hier korrigiert.