L2.1.2.13-16 Hypothesen

13 Wir wissen weder etwas über die Ränder des Universums noch können wir über die Dimensionen der Welt als ganzer sprechen - wir kennen sie nicht. Der Plural "wir" ist hier - wenn irgendwo - gerechtfertigt. Die Logik geht jedoch aus von der dreidimensionalen Welt hier vor Ort.1 Die Logik geht davon aus, dass das All 14 unendlich groß ist,

eines ist,

die endlich große Welt ein Teil davon ist,

ein Teil davon wieder ein Teil ist,

dass es die Größe gibt.2

dass das Ganze größer als der Teil ist (vgl. Teil 1 S. 16 ).3

Ich halte also nichts von einer "endlich großen und doch nicht begrenzten Welt"4, so groß die Versuchung auch sein mag, den als wahr erkannten Teil für das Ganze zu halten. Das ist das überkommene Weltbild des Aristoteles und des Mittelalters, und auch nichts davon, den Teil u.U. so groß wie das Ganze "sein zu lassen", wenn es um das Unendliche geht. Die "Widersprüche", vor die uns das Unendliche stellt (der Teil und das Ganze stellen), beseitigen wir nicht dadurch, dass wir sie uns wegdenken.

15 Niemand muß aber die Welt als unendlich groß betrachten. Man kann mit der Riemann'schen Annahme auch die vorliegende Arbeit interpretieren, wie es de Morgan mit seinem Universe of Discourse gemacht hat, ohne formale Fehler zu begehen. Wer also den Gedanken an die Unendlichkeit und die Einheit der Welt nicht erträgt, kann alle nachfolgenden Größen, Sätze und Schlüsse auch auf eine endlich große Welt anwenden. Es muß aber für ihn oder sie felsenfest stehen, dass außerhalb dieser endlich großen Welt Nichts mehr ist.

Das ist aber aus naturphilosophischer Sicht - Unsinn. Riemann hat sich selbst auf diesem Gebiet ohne Zögern als Laie bezeichnet, weil "ich in dergleichen Arbeiten philosophischer Natur...wenig geübt bin und ich ausser einigen ganz kurzen Andeutungen, welche Herr Geheimer Hofrath G a u s s ... gegeben hat, und einigen philosophischen Untersuchungen H e r b a r t 's, durchaus keine Vorarbeiten benutzen konnte."5

16 Dennoch: de Morgan's Universe und das Universum unterscheiden sich rein formal nicht. In Teil 1 wurde gesagt, dass de Morgans "Verfahren unzulässig" sei, das Universe so zu gebrauchen, wie er es tut.6 Nun tue ich es selbst- mit dem Unterschied: Die Sätze, ihre Äquivalente und Nebenbedeutungen teilen die Welt, das Universum restlos auf. Die in diesem Universe of Discourse gebildeten Sätze haben nicht mehr den Mangel, den sie dort hatten, nur für den Teilbereich zu gelten, den der Logiktreibende festlegt,sondern sie gelten universell, was für die Größen und Sätze augenscheinlich gilt und für die Schlüsse zu beweisen sein wird.


1. Die drei räumlichen Dimensionen haben wir uns als geo-meter, als Erd-Messer gemacht, um die Welt zu begreifen. Dieses Modell entspricht so gut der Erfahrung und der Vernunft, dass wir es als Analogie auf die Welt als Ganzes übertragen.
Ich kann die formale Notwendigkeit nicht beurteilen, wenn der Raum als 14-dimensional bezeichnet wird. Was ich aber beurteilen kann, ist der philosophische Aspekt der Geschichte. Wenn das Eine auf das Viele reduziert wird und das Eine als falsch, das Viele als wahr bezeichnet wird, dann steckt meist ein Sophist dahinter, der dich von der Erkenntnis des Einen abhalten will.

2. "Größe" steht zwar hier nicht für die abstrakte mathematische Größe, a, sondern für die physische Größe, die mit dem mathematischen Ausdruck a bezeichnet wird, kann aber auch auf die mathematische Größe angewandt werden. Das ist aus naturphilosophischer Sicht eine verwickelte Sache (siehe Logik, Teil 1 S. 7-11 und die letzte Anmerkung) und wird später im Heft BERECHNUNG algebraisch und physikalisch in der " Kritik der Physik des Aristoteles " behandelt werden. Hier genügt es zu wissen, dass jede Größe Menge, aber nicht jede Menge Größe ist.

3. Georg Cantor, Mitteilungen über die Lehre vom Transfiniten, 1887/88, S. 378-439
"Wer hier wie überhaupt bei aktual-unendlichen Quantitäten einen Verstoß gegen dasgegen das Widerspruchsprinzip findet, irrt durchaus, indem er den abstraktiven (!) Charakter der "Größe" aus dem Auge verliert und sie fälschlich mit der substantiellen Entität des vorliegenden Quantums identifiziert."
Cantor dreht und windet sich zwischen richtigen Aussagen über das Unendliche und Ergebenheitsadressen an die katholische Theologie hin und her. Die wirkliche Unendlichkeit darf es laut "Aristoteles" und Thomas von Aquin nicht geben. Nur die abstraktive, was immer das sein mag. So verliert die Abstraktion, das Abziehen von der Realität, die stufenweise Entwicklung des mathematischen Begriffs aus einer in der Realität erkannten Wahrheit bis zur völligen Loslösung von den Zwängen materieller Dinge, ihren Sinn, wird zur hölzernen Floskel, die nicht zuletzt den Schülern den Spaß an der Mathematik verleidet.
"Der alte, so oft wiederholte Satz: "Totum est majus sua parte" [Das Ganze ist größer als der Teil] darf ohne Beweis nur in bezug auf die, dem Ganzen und dem Teile zugrunde liegenden Entitäten zugestanden werden" S. 416
Weder bei den "Entitäten", also Dingen, die's wirklich gibt, Dinge, die sind (von lat.: esse=sein oder ens=das Sein), noch bei den Zahlen hat Cantor damit recht. Beidemale ist der Satz, dass das Ganze größer als der Teil ist, eine Setzung oder Hypothese oder Axiom, was nicht bewiesen werden kann, was aber von jedem der Vernunft zugänglichen Menschen unmittelbar eingesehen wird. Das kann man bereits in den "Elementen" bei Euklid nachlesen. Die vernünftigen Menschen werden heut gern als "naiv" bezeichnet. Das kommt aber nur daher, dass viele Wissenschaftler zum vernünftigen Denken keinen Zugang mehr haben.

4. "Die Unbegrenztheit des Raumes besitzt eine größere empirische Gewißheit als irgend eine andere äußere Erfahrung. Hieraus folgt aber die Unendlichkeit keineswegs; vielmehr würde der Raum, wenn man...ihm ein konstantes Krümmungsmaß zuschreibt, notwendig endlich sein" S.284
Bernhard Riemann, Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlaß, 2. Aufl., Leipzig 1892, darin: Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen.
Wenn du dem Ganzen die Form nimmst, so führt das zur Formlosigkeit des Denkens bei den Teilen. 2016 Korrektur: Der Stoff und die Form treten alternativ auf, entweder das eine oder das andere. Die "Grenzenlosigkeit" im Sinne von "ohne Grenze" gilt für die endliche wie für die unendliche Größe gleichermaßen. Denn die endliche Größe ist genauso ohne Grenze wie die unendliche. Und die endliche Grenze ist genauso ohne Größe wie die endliche. Genauer wird das in der Metaphysik und auch in der Physik untersucht. Also sagst du entweder endlich und begrenzt, wenn dein Ganzes endlich ist oder unendlich und begrenzt, wenn dein Ganzes unendlich ist. Endlich und nicht begrenzt gibt es nicht. Dass die Wissenschaftler, die die Form als die "reine Aktualität" bezeichnen, hier nicht protestieren, verwundert nur den, der ihnen lautere Absichten unterstellt.

5. Riemann a.a.O. S. 273, Begriff einer n-fach ausgedehnten Grösse.

6. De Morgan legt als Universe ("of Discourse", wie es später von Boole oder Venn genannt wurde) eine bestimmte Größe fest. Beispielsweise Die Tiere. Diese Größe als Grundlage der weiteren logischen Betrachtungen besteht aus Teilen. Etwa Die Menschen. Alles, was außerhalb des Universe of Discourse ist, wird nun beim log. Schließen nicht betrachtet. Obwohl er also hier auch ein Zugeständnis an die Tradition macht, muß man sagen, dass durch ihn die Logik aus ihrem Dornröschenschlaf oder besser aus ihrer Narkose erweckt wurde. Grund genug, ihn zu ignorieren und von seiner epochemachenden Arbeit dem Publikum seine 2 'de Morgan'schen Sätze' in der Schaltalgebra als logisches Vermächtnis zu hinterlassen.