L2.1.9.62-65 Exkurs: Das Universum mit allen 16 Sätzen in einem Bild, Beispielbegriffe für alle 16 Sätze

Soweit es geht, suchen Sie nach anschaulichen Begriffen, d.h. Stellvertretern für materielle Dinge, die die Größe x haben. Das ist bei Satz 3 nicht möglich, weil unendlich viele und unendlich große, aber vor allem unendlich viele verschiedene Dinge aufgezählt werden müßten, um [-]B zu benennen.1 Nehmen wir dagegen mit de Morgan ein abstraktes Universe of Discourse, das aus nicht angebbar vielen Unendlichkeiten besteht: die reellen Zahlen, so lassen sich alle 16 Sätze mit ihren Äquivalenten, ihren echten und nicht echten Nebenbedeutungen nicht nur in einem einzigen Bild darstellen, sondern auch mit Beispielbegriffen veranschaulichen.

Im Beispiel wird angenommen, dass die Menge der ganzen Zahlen kleiner als die der rationalen ist und die kleiner als die der reellen Zahlen ist, d. h. die Hilfskonstruktion der Gleichmächtigkeit (i.S.d. Mengenlehre) zweier unendlich großer Mengen wird nicht so ausgelegt, dass zwei gleichmächtige Mengen gleich groß sind.

Die Welt der Zahlen und die materielle Welt wären, schließt man sich der Auffassung dieser ersten Abstraktionssstufe an, dass der Teil kleiner als das Ganze ist, nicht mehr 2 vollkommen verschiedene Reiche, wie den armen Schülern seit den Pythagoreern eingebleut wird, sondern wären endlich in derselben Welt zu Hause. Denn exakt dieselbe Darstellung gilt für das All, nur lassen sich da für einige Fälle keine Beispielbegriffe finden. Die höheren Stufen der mathematischen Abstraktion hätten einen festen Grund, weil klar wäre, wovon abstrahiert wird.2

63 A = reelle Zahlen, also die unendlichen Dezimalbrüche, die Rationalzahlen einschließlich der ganzen Zahlen
a = die reellen nicht rationalen Zahlen (nur die unendlichen nicht periodischen Dezimalbrüche)
B = die Rationalzahlen, die aus ganzen Zahlen gebildeten Brüche, einschließlich der ganzen Zahlen
b = nur die gebrochenen Rationalzahlen, also ohne die ganzen Zahlen
C = die ganzen Zahlen
D = die positiven ganzen Zahlen
E = die negativen ganzen Zahlen

b ist nur der Ring zwischen a und C, und a ist nur der Ring außerhalb von B, während A sowohl B als auch C und B b und C umfassen.

[+]C = [+][D + E]
[-]C = [-][D + E]
[-]B = [+]a
[+]B = [-]a
(+)C = [-][a + b + E], nämlich D
[-]C = (+)[a + b + E], nämlich a + b
(+)C = [+]D
[-]C = (-)D
[+]C = (+)B
(-)C = [-]B
[+]D = (-)E
(-)D = [+]E

Das Beispiel zeigt schön, dass die Menge der Größe folgt. Cantor nannte seine Arbeit ja auch ursprünglich Größenlehre. Offenbar haben die Scholastiker mit ihm einen deal gemacht: Du kriegst das "aktual" Unendliche für deine Zahlen, wenn du auf die Größe verzichtest. Tatsächlich stehen tausende von Arbeitsplätzen auf dem Spiel, wenn der katholischen Theologie die Größe und damit ihr Arbeitgeber weggenommen wird. Lesen Sie die ersten Fragen von Thomas' Summa Theologiae , die sich mit der Größe und dem Unendlichen befassen.

64 Auch in diesem Bild sind einander ausschließende Größen: die beiden Ringe und die innere Kreisfläche und Größen, die Teil und Ganzes sind: die 6 allgemeinen Sätze und ihre Äquivalente, zugleich dargestellt. Ob das Äquivalent zu dem zweifellos wahren Satz

[+]A = [+]B + [+]a

gilt oder nicht :

[-]A=[-]{[+]B + [+]a},

ob also im Zahlenuniversum möglich ist, was bei den "materiellen" Größen nicht erlaubt ist, ist in der Größenlogik so lange nicht entscheidbar, bis das Zahlenuniversum - etwa um die imaginären Zahlen - erweitert wird.

Die nicht echten Nebenbedeutungen lassen sich - mit etwas Geduld - ablesen. Die vier echten eingeschränkten Sätze lassen sich als als Arten einer Zahlengattung zeigen (vgl. S. 51f ), z. B. der Rationalzahlen:

(+) geraden Zahlen = (+) Rationalzahlen:Zähler teilbar durch 3, Nenner 5 (1)
(-) geraden Zahlen = (-) Rationalzahlen:Zähler teilbar durch 3, Nenner 5 (2)
(+) geraden Zahlen = (-) Rationalzahlen:Zähler teilbar durch 3, Nenner 5 (3)
(-) geraden Zahlen = (+) Rationalzahlen:Zähler teilbar durch 3, Nenner 5 (4)

lassen sich in keinem Fall in einen allgemein Satz umwandeln.

65 (1) 30 / 5, 60 / 5, 90 / 5 usw.

(2) [+](ungerade Zahlen, die nicht (4) sind) + [+](Rationalzahlen, deren Zähler nicht durch 3 teilbar ist oder deren Nenner nicht 5 ist) + [+] Irrationalzahlen + [+] transzendente Zahlen, das "kleine Äquivalent", also alles außer (1) + (3) + (4) oder (2)= -[(1)+(3)+(4)] ("+ [+] bedeutet "plus alle")

(3) z. B. 8 / 2 , 32 / 16 , 22 / 1, usw.

(4) z. B. 15 / 5 , 21 / 5 , 75 / 5, 81 / 5 usw.


1. Um den Bierkrug auf meinem Tisch als [-]B zu benennen, was ja möglich sein müßte, wenn der Rest der Welt außer dem Bierkrug [+]B ist, müßte ich anfangen mit: "nicht Bier im Krug, nicht Tisch, nicht Stuhl, nicht Telefon..." usw. bis in alle Ewigkeit. "ganz nicht [-]B " ist nicht erlaubt. Das wäre "Bierkrug" [+]B, weil die Welt nur aus [+] Bierkrug und [-] Bierkrug besteht und damit der Satz 4 (+)A=[+]B statt Satz 3 (+)A=[-]B.

2. Alle Denker, die etwas zu sagen haben, nehmen die Welt und nicht ihre Hirngespinste zum Ausgangspunkt: "Über die Zahlen freilich möchte ich mich in keinen Streit einlassen. Vielmehr hat Aristoteles hierin die Pythagoräer mit Recht widerlegt. Denn für ihn sind die Zahlen etwas, was bei der geistigen Betätigung an zweiter oder gar dritter und vierter Stelle kommt, sowie etwas, von dem man keine Grenze angeben kann. Auch haben die Zahlen nichts in sich, was sie nicht von den Quantitäten oder von anderen wirklichen und realen Wesen oder auch von verschiedenen Setzungen des Geistes empfangen hätten." Johannes Kepler, Weltharmonik