L2.1.7.58-60 Eingeschränkte Sätze und Universum

Die beiden Größen eines echten eingeschränkten Satzes stehen in der Beziehung Teil:Teil; der eingeschränkte Satz ist die "echte Teilmenge" oder hier echte Teilgröße beider Größen.

Ein echter eingeschränkter Satz läßt sich nicht in einen allgemeinen Satz umwandeln. Die zeichnerischen Darstellungen der beiden ganzen Größen sind offenbar zwei sich schneidende Kreise. Der echte eingeschränkte Satz ist die echte Teilgröße (1), die überstehenden Teile gehören definitionsgemäß nicht zum Satz. Jeder echte eingeschränkte Satz hat alle drei anderen eingeschränkten Sätze als echte Nebenbedeutungen, nämlich jeweils den Teil von ±A, der nicht die Schnittmenge ist (3), ebenso den von ±B (4) und schließlich den Teil,der 59 weder ±A noch ±B ist (2). Dieser Teil ist hier das All vermindert um die Vereinigungsmenge der beiden Größen, also die Größe, die A und B gemeinsam beanspruchen.

1: (+)A=(+)B
2: (-)A=(-)B
3: (+)A=(-)B
4: (-)A=(+)B
1: (+)A=(-)B
2: (-)A=(+)B
3: (+)A=(+)B
4: (-)A=(-)B
1: (-)A=(+)B
2: (+)A=(-)B
3: (-)A=(-)B
4: (+)A=(+)B
1: (-)A=(-)B
2: (+)A=(+)B
3: (-)A=(+)B
4: (+)A=(-)B

Beispielbegriffe für A und B:
Mensch, Astronaut (echte Teilgröße, weil z. B. auch Hunde Astronauten sind)
Meerestier, Fisch
Mensch, Arktisbewohner

60 Alle Begriffspaare lassen sich bei allen vier Sätzen in alle anderen echten eingeschränkten Sätze umwandeln, wobei es gleichgültig ist, welcher von beiden A oder B ist. Prüfen Sie jeden einzelnen Fall. Finden Sie eigene Beispiele.

Die Größe 2 ist bei allen eingeschränkten Sätzen das Universum außer A und B (1+3+4). Und sie wird gebildet, indem die Vorzeichen des Ausgangssatzes umgekehrt werden. Das sind fast dieselben Merkmale wie die der Äquivalente der allgemeinen Sätze. Nur dass der von beiden Sätzen nicht angesprochene Bereich (3+4) diesmal aus zwei echten eingeschränkten Sätzen besteht. Daher sind

1 2
(+)A=(+)B und (-)A=(-)B
bzw.
(+)A=(-)B und (-)A=(+)B

bei echten eingeschränkten Sätzen ebenfalls äquivalente Satzpaare. Bezeichnen wir sie als "kleine" Äquivalente (anders als die Äquivalente der allgemeinen Sätze spielen die kleinen Äquivalente - Stand Juni 2001 - Allerdings noch keine Rolle im Formalismus).

Bei der zeichnerischen Darstellung des eingeschränkten Satzes mit seinen ganzen Größen gibt es ein ähnliches Problem oder Vorurteil wie bei der getrennten Darstellung des allgemein verneinenden Satzes.

Die zeichnerische Darstellung als zwei sich schneidende Größen gilt scheinbar nicht für 2, 3 und 4, sondern nur für die Größe 1. Die drei anderen sind nur als je eine einzige Größe auf den Bildern erkennbar.

Das gleiche gilt aber für die Größe 1. Nur der hervorgehobene Teil ist der Satz, die überstehenden Teile gehören nicht zum Satz. Weil das alltägliche oder natürliche logische Denken in ganzen Größen denkt, also irrtümlich die überstehenden Teile mit zum Satz rechnet, erscheint uns nur die Größe 1 als Schnittmenge oder -größe. Im Bild legen sich um 3 das ganze 2, 1 und 4, ähnlich bei der Größe 4, und 2 ist ein unendlich großes Etwas mit einem kleinen Loch aus Vereinigungsgröße von 1, 3 und 4. Logisch gesehen sind alle vier Sätze gleich, nämlich eine einzige Größe, nicht mehr und nicht weniger. Jetzt muß uns die Abstraktion die Anschauung ersetzen: Da wir wissen, dass jeder eingeschränkte Satz ein Teil der Größe ±A ist und ein Teil nicht ist und dass er ein Teil der Größe ±B ist und ein Teil nicht ist, können wir alle vier Bedeutungen aller vier echten eingeschänkten Sätze als

zeichnen. 61