L2.1.6.3.49-52 Eingeschränkter Satz mit "allgemeiner Nebenbedeutung"

Bei den allgemeinen Sätzen ab (+)A=[-]B sind ihre Äquivalente nicht der Rest der Welt, die Gesamtheit des von zwei äquivalenten Sätzen angesprochenen Bereiches umfaßt zwar das All, ergibt aber als Summe nicht das All.

Bei der Darstellung dieser allgemeinen Satzpaare als jeweils ein Bild (s.o.) ist nämlich zu sehen, dass ein Teil des Universums von beiden Sätzen nicht angesprochen wird. Dieser nicht hervorgehobene Bereich ist einer der 4 eingeschränkten Sätze (2 eingeschränkte Umfangzeichen). Bei de Morgan erscheint dieser Bereich als Teil der 'complex proposition', des zusammengesetzten Satzes.

Nennen wir ihn zunächst wie in Teil 1 den "eingeschränkten Satz mit allgemeiner Nebenbedeutung". Dann ist:

+
+
=
allgemeiner Satz
Äquivalent
eingeschränkter Satz mit allgemeiner Nebenbedeutung
Universum.

Anders gesagt: Alle allgemeinen Sätze füllen mit ihren Äquivalenten und ab Satz 3 ihren nicht hervorgehobenen eingeschränkten Sätzen "mit allgemeiner Nebenbedeutung" das All restlos aus, sind allgemeingültig. Weil sich diese vier eingeschränkten Sätze in jedem Fall in einen allgemeinen Satz umwandeln lassen, bezeichnen wir sie als nicht echte eingeschränkte Sätze.

Ein "echter eingeschränkter Satz", so wurde im Teil 1 gesagt, ist ein Satz, bei dem sich "keines seiner beiden Umfangzeichen in ein gleiches allgemeines umwandeln läßt" (S. 29).

50 BEISPIEL: (+) Mensch= (+) Tier
[+] Mensch= (+) Tier
(-) Mensch= (+) Tier
läßt sich umwandeln in und ist daher nicht echt. Dagegen läßt sich in kein Vorzeichen in ein gleiches allgemeines

umwandeln und war damit nach dieser Definition ein echter eingeschränkter Satz mit der allgemeinen Nebenbedeutung [+]M=(+)T.

So weit, so gut. Das galt bis Dezember 1991. Mit den echten eingeschränkten Sätzen mit allgemeiner Nebenbedeutung hatte ich die Logik der endlich und unendlich großen Größen aufgebaut. Das war zwar ziemlich kniffelig, vor allem bei den Wahrheitsnachweisen, hat aber gestimmt. Ich habe an dieser Satzkonstruktion festgehalten, weil ich so viel Mühe hineingesteckt hatte, dass sie mir liebgeworden war. Zudem stimmte sie mit der anschaulichen Ebene überein. Es handelte sich bei den Satzteilen (±)A und (±)B "wirklich" um Teile, nicht um Ganze. Nicht-M bei (+)T war "wirklich" nur (-)M.

Jetzt gab es die Regel, dass eingeschränkte Sätze nur eingeschränkte Nebenbedeutungen haben und die Ausnahme der vier eingeschränkten Sätze mit allgemeiner Nebenbedeutung, was wieder etliche Ausnahmeregeln nach sich zog. Ein einheitlicher Formalismus mit festen Regeln und ohne Ausnahmen - zumal in dem Teil der Wissenschaft, der von den einfachsten Dingen handelt - ist aber besser als komplizierte Ausnahmen. Wohl oder übel mußte ich - das ist nur einer von unzähligen Fällen - mit liebgewordenen Vorurteilen brechen. Ich dokumentiere ihn für die Leser von Teil 1 und als Anregung für Sie weiterzuforschen. Vor allem bei der Verbindung der drei Teile HERLEITUNG , BERECHNUNG und WAHRHEITSBEWEISE zu einem einheitlichen Ganzen und der Verbindung der Satzlogik (Aussagenlogik) und allgemein der Logik der Formen, die hier nicht behandelt wird, mit der Größenlogik gibt es noch viel zu tun. - Zwar bemüht sich auch und gerade der Logiker, Wahrheiten herauszufinden, die Bestand haben gegen das Werden und Vergehen. Die Logik hat ihn auch. Aber sie hat ihn unabhängig vom Logiker, weil es in der Welt logisch zugeht und wir daher logisch denken - nicht umgekehrt. Nur ist der Geist zwar willig aber schwach. Die maßlose Selbstüberhebung des "Idealismus" hat ihn zur jahrhundertelangen Dummheit verurteilt. Recht geschieht ihm. Aber auch als "Materialist", der Sie gerade sind, ist der kleine Geist des Menschen zunächst einmal dumm und muß sich von seinem Lehrmeister, der Welt, wie sie ist, ständig zurechtweisen lassen. Auf seinen tastenden, oft täppischen Versuchen, es mit der Wahrheit, dem, was ist, aufzunehmen, irrt er oft genug. So hier bei dem genannten Beispiel, den Nebenbedeutungen der eingeschränkten Sätze oder bei der Aussage dass "die Darstellung der fertigen Schlüsse in einem oder zwei Kreisen keine Beweiskraft" habe (Tl.1 S.42).

51 Ob nun ein Vorzeichen in ein gleiches oder entgegengesetzt allgemeines umgewandelt wird: Beides ist die Umwandlung eines eingeschränkten in einen allgemeinen Satz, wenn die Definition des allgemeinen Satzes beibehalten werden soll (mindestens 1 allgemeines Vorzeichen, S. 31).

Daher die "neue" Definition des eingeschränkten Satzes: Ein echter eingeschränkter Satz hat zwei eingeschränkte Umfangzeichen. Keines seiner Umfangzeichen läßt sich in ein allgemeines positives oder negatives umwandeln.

Das heißt, jeder eingeschränkte Satz mit allgemeiner Bedeutung ist nicht echt. Der eingeschränkte Satz mit allgemeiner Bedeutung, der den Rest des Alls zwischen Satz und Äquivalent ausfüllt, ist eine Nebenbedeutzung des jeweiligen allgemeinen Satzes, fast wie ein zweiter Äquivalentsatz.1

Wie aber läßt sich nun ein echter eingeschränkter Satz mit Beispielbegriffen finden? Bei Alle Menschen sind Teil der Tiere war es einfach zu sagen Ein Teil der [-] Menschen ist ein Teil der [+] Tiere. Die Bildung echter eingeschränkter Sätze mit Beispielbegriffen ist schwieriger als die Bildung allgemeiner Sätze und eine häufige Fehlerquelle. Die einfachste anschauliche Methode ist es, mit Aristoteles' Begriffen Gattung und Art zu arbeiten. Die Gattung Tier (die Biologen mögen mir auch verzeihen, dass ich nicht ganz auf der Höhe der Fachtermini spreche, Gattung und Art ist alles, was sich in Gruppen und Untergruppen klassifizieren läßt, in der Mathematik wie bei Gemüsesorten) besteht zum Beispiel aus vielen Arten von Tieren. Wenn zwei davon eine echte Teilgröße miteinander haben, so ist das ein echter eingeschränkter Satz. Beispiel:

Der Satz "Ein Teil der Säugetiere ist ein Teil der Meerestiere" läßt sich nicht in einen allgemeinen Satz umwandeln.

52 Die nächsthöhere Gattung, die über den beiden ganzen Größen steht, sie als Ganzes als Teile enthält, sind die Tiere. Die Größe des echten eingeschränkten Satzes ließe sich auch als Teil der Größenverbindung

[+]S=(+)T


zeichnen (Aristoteles war ja nicht nur Logiker und Physiker (Naturphilosoph), sondern auch Naturforscher und hat hier schon eine brauchbare Klassifizierung der Lebewesen nach Gattungen und Arten geschaffen. Auf den schwedischen Naturforscher Carl von Linné (1707-1778) geht die heutige Unterteilung der "Nach- und Vornamen", also der Gattungen und Arten der Lebewesen zurück).

So lassen sich die echten eingeschränkten wie die nicht echten mit "allgemeiner Nebenbedeutung" Sätze als "Abkömmlinge" der 4 allgemeinen Sätze 3-6 darstellen. 53


1. Für die Leser von Tl. 1: Die Herleitung der Nebenbedeutungen aus Teil 1, S. 26ff gelten daher hier nicht mehr. Die dort in Satz 4 und 5 schraffierten Flächen bei den Nebenbedeutungen 8 und 9 gehören zu den allgemeinen Sätzen. Als eingeschränkte Prämissen sind sie unzulässig (nächstes Kapitel).