5Die Aufgaben der zweiten ABC Logik

Für die Wissenschaft ist die Wissenschaft der Mitte von Nutzen, weil mit ihr eingegrenzt werden kann, welche Zusammenhänge A=C zwischen zwei als Seinsgleichungen A=B und B=C ausdrückbaren Sachverhalten eines Forschungsgebiets möglich, notwendig oder unmöglich sind. Damit lässt sich der empirische Aufwand erheblich minimieren.

Die Geschichte der Logik hat es mit sich gebracht, dass die Fünfminutenanalytik des Petrus nicht nur für den Anfänger, sondern für alle Logiker zur "aristotelischen" Logik mutiert ist und dass die Scholastik, die (offenbar als einzige) ihren Schwindel nur allzugut kennt, wieder zum ersten Ratgeber zu allen Fragen der Fallstricke der Logik werden konnte, in die die Fünfminutenanalytik mit Notwendigkeit führt.

Und so wartet die Logik bis heute vergebens auf ihren Luther, der die Scholastik nicht nur auf Dauer von den weltlichen Thronen, sondern auch aus dem Tempel der Wissenschaft vertreibt.

Um die ABC Logik wieder in die Ordnung zu bringen, nach der ihr Urheber geforscht hat, waren und sind folgende folgende Schritte zu gehen.

  1. Das Geteilte und das Getrennte sind als die beiden Bereiche aller Wissenschaft erneut festzustellen.
  2. Der zweifach unternommene Raubzug der Trenner gegen die Teiler nach Boethius und nach de Morgan ist bloßzustellen.
    1. Die Entstellung der Wissenschaft des Geteilten durch die Aufpfropfung der kleinen Schrift des Boethius durch die Scholastik, die "klassische" Logik und die mathematische Logik ist bloßzustellen.
    2. Die Beraubung der Wissenschaft des Geteilten um das Ganze und den Teil durch die mathematische Logik des 19. und 20. Jh. ist bloßzustellen.
  3. Die von Aristoteles begründete Wissenschaft des Geteilten ist als solche wiederherzustellen und zu vollenden.
  4. Die Logik des Geteilten und die Logik des Getrennten erobern gemeinsam und getrennt das Reich der Erkenntnis des Seins und des Geistes, der diesen Namen verdient.

Zu 1. Zwar ist es die umfassendste Aufgabe der Wissenschaft, sich selbst in die beiden Bereiche des Geteilten und des Getrennten zu sondern, kann aber nur mit wenigen allgemeinen Worten umrissen werden, wie es Aristoteles in seinem metaphysischen Manifest getan hat und die sein gesamtes Werk als Wissenschaft der Prinzipien des Seins umfasst. Hauptaufgabe ist hier die Renaissance der Wissenschaft des Geteilten in 3., damit die zwei wieder als zwei erkennbar werden.

Zu 2.a Den Syllogismusteil aus Boethius’ Aufsatz und seine um den aristotelischen Teil verkürzte Abschrift des Petrus Hispanus habe ich oben mit den Seinsgleichungen der Wissenschaft des Geteilten versehen. Eine tiefergehende Analyse verdient der Aufsatz nicht, verdient aber die Anerkennung als eine ordentliche Übersicht der Ergebnisse aus den Kapiteln 4 bis 6 des ersten Buchs der Ersten Analytik. Und er verdient die Anerkennung der Gegenüberstellung zweier verschiedener Lesarten der logischen Schlüsse, die eine spiegelbildliche Einheit sind.

Zu 2.b Unten zeige ich am Beispiel der vollständigen Wahrheitswertetabelle mit Frege, Boole, Venn, Peirce den Raubzug gegen das Ganze und den Teil, zu dem sich auch Menne gesellen wird, obwohl er sich eigentlich zu den Beraubten zählen müsste. Dort zeigt sich, dass de Morgan’s Wahrheitswertetabelle die Quelle des zweiten Raubzugs der Trenner ist.

Zu 3. Die Wissenschaft der Mitte von Aristoteles ist mit der Seinsgleichung erneuert worden.

Im Folgenden sind zunächst die Fortschritte von Bentham, Hamilton und de Morgan zu erläutern und unter einen einheitliche Formalismus zu bringen.

Mit dem an den Rand setzen der Mitte und dem in die Mitte setzen der Ränder ist der vernünfige Zugang zur Mitte für die nächsten eineinhalb Jahrtausende versperrt und der Weg frei für Wichtigtuer, die so tun, als wüßten sie, wie das A zum C kommt, aber in Wahrheit von Tuten und Blasen keine Ahnung haben, Berge von Papier mit "Formeln" und "Beweisen" vollschreiben, aber die einfache Seinsgleichung A = B zum Teufel jagen. Zu Teufel mit ihnen!

Der erste schüchterne Versuch der Rückeroberung des Ganzen und des Teils für die Wissenschaft des Geteilten kam dann mit dem Erwachen der Naturwissenschaften des aufkommenden Bürgertums im 16. Jh. mit der Logik von Port-Royal. Sie war kein großer Wurf, weil sie an dem Boethius-Aufsatz in der Hispanischen Version festgehalten hat, statt aus dem Original zu schöpfen, in dem das Ganze und den Teil auf jeder Seite stehen. Die Geschwätzigkeit vieler ihrer Anhänger ist ebenso nervenaufreibend wie die Geschwätzigkeit vieler Scholastiker. Immerhin klagt sie an vielen Stellen das Ganze und den Teil wieder ein. Das ist ihr Verdienst, der ihr nicht streitig gemacht werden kann:

Die Philosophen sind der Meinung, daß unsere sämtlichen Ideen von den Sinnen kommen, stellen auch die Behauptung auf, daß die ganze Gewißheit und Evidenz der Sätze unvermittelter- oder vermittelterweise von den Sinnen kommt: "Denn", sagen sie, "selbst das Axiom, das als das unübertrefflich klare und evidente gilt, nämlich daß das Ganze größer als seine Teile ist, verdankt seinen ganzen Kredit dem Umstand, daß wir seit unserer Kindheit in Einzelbeobachtungen festgestellt haben, daß der ganze Mensch größer als sein Kopf, das ganze Haus größer als ein Zimmer, der ganze Wald größer als ein Baum,, das ganze Himmelsgewölbe größer als ein Stern ist."

Diese Meinung ist ebenso falsch wie jene, die wir in dem ersten Teil widerlegt haben, nämlich daß unsere sämtlichen Ideen von den Sinnen kommen. Denn wenn wir nur wegen der verschiedenen Einzelbeobachtungen, die wir seit unserer Kindheit gemacht haben, von der Richtigkeit des Satzes "Das Ganze ist größer als der Teil" überzeugt wären, würden wir seiner Richtigkeit nur einen hohen Wahrscheinlichkeitsgrad beimessen können, da die Induktion kein Weg ist, um zu der Gewißheit bei der Erforschung einer Sache zu gelangen, es sei denn, daß wir uns vergewissert haben, daß wir eine vollständige Induktion erreicht haben . . .

Es sind also nicht die seit unserer Kindheit gemachten Beobachtungen, von denen die Gewißheit dieses Axioms abhängt, denn es gäbe im Gegenteil nichts Geeigneteres, uns in dem Irrtum zu bestärken, als bei diesen Vorurteilen unserer Kindheit stehenzubleiben. Die Gewißheit hängt vielmehr einzig davon ab, daß die klaren und deutlichen Ideen, die wir von einem Ganzen und einem Teil haben, eindeutig ein Doppeltes implizieren: daß das Ganze größer als der Teil ist und daß der Teil kleiner als das Ganze ist." Antoine Arnauld, Die Logik oder die Kunst des Denkens (La Logique ou L’Art de penser, 6. Auflage Amsterdam 1685), deutsch Darmstadt 1972, S. 309f.

Erhört wurde die Klage dann auch von den drei Vertretern dieser Richtung im England des 19. Jh., von Bentham, Hamilton und de Morgan.

Die englischen Logiker
Hamilton 1788 - 1856
Bentham 1800 - 1884
de Morgan 1806 - 1871

Zu 4.: Was die zweite Revolution der Logik nach dem Wiedererwachen der Analytik im Verein mit der mathematischen Logik bewirken wird, ist heute so wenig vorstllbar, wie das, was geschehen wird, wenn die zweite Internetrevolution mit dem wiedererwachten SGML (Standard General Markup Language) das maschinenlesbare Reich des Wahren ins Leben rufen wird, von dem die Berners-Lee-Fassung nur eine Boethius-Version in der hispanischen Version ist.

Da sich heute aber mit der Logik Geld (viel Geld) machen lässt, kommen bei der Untersuchung des Ganzen und des Teils die Interessen derer ins Spiel, die früher die Menschen, dann deren Leiber, später die Elemente der Natur unter ihre Fuchtel oder unter Lizenzen und Patente gebracht haben. Die haben vom Eigentum Aller ganz andere Vorstellungen, sollen aber hier nicht weiter beachtet werden.

5.1Bentham

Bentham bringt den Teil und das Ganze zurück in die Logik, versieht beide Seiten des logischen Satzes entweder mit dem Teil oder mit dem Ganzen und macht aus dem logischen Satz eine Gleichung, die von links nach rechts dasselbe ist wie von rechts nach links. Wo in einem Syllogismus die Mitte steht, ist gleichgültig, weil p (ex parte) und t (in toto) der Mitte die Beziehung zwischen den beiden Äußeren offenbaren. Bei zwei ganzen Mitten sind die beiden Äußeren unverändert einander gleichzusetzen. Da zwei Teilmitten keinen Schluss ergeben, müssen nur die Mitten untersucht werden, die Teil und Ganzes, Ganzes und Teil oder Ganzes und Ganzes sind.

Benthams acht logische Gleichungen:

Simple propositions, … may therefore be either affirmative or negative; and each term may be either universal or partial. These propositions are therefore reducible to the eight following forms, in which, in order to abstract every idea not connected with the substance of each species, I have expressed the two terms by the letters X and Y, their identity by the mathematical sign =, diversity by the sign ||, universality by the words in toto and partiality by the words ex parte; or, for the sake of still farther brevity, by prefixing the letters t and p, as signs of umversality and partiality . These forms are,

Satz Formel Seinsgleichung Nr.
1. X in toto = Y ex parte or t X = pY [+]X = (+)Y 5
2. X in toto || Y ex parte, or tX || pY [+]X = (-)Y 6
3. X in toto = Y in toto or t X = t Y [+]X = [+]Y 1
4. X in toto || Y in toto or tX || tY [+]X = [-]Y 2
5. X ex parte = Y ex parte or pX = pY (+)X = (+)Y 7
6. X ex parte || Y ex parte or pX || pY (+)X = (-)Y 8
7. X ex parte = Y en toto or pY = tY (+)X = [+]Y 4
8. X ex parte || Y in toto or pX || tY. (+)X = [-]Y 3

(George Bentham, Outline of a New System of Logic, London 1827, S. 133f)

Bentham findet 8 von 10 Seinsgleichungen, wobei alle 6 allgemeinen mit mindestens einem Ganzen dabei sind und nur zwei Teilsätze mit zwei Teilen fehlen. Einzig bei der Verneinung bleibt Bentham noch dem Fehler des Aristoteles und der Heutigen verhaftet, negiert den Satz als Ganzes und macht die Gleichung zu einer Ungleichung. Die verneinenden Seinsgleichungen sind daher nicht eindeutig, weil nicht klar ist, ob die linke oder die rechte Seite negiert wird.Die Verneinung ist eine Gleichung mit zwei entgegengesetzten Vorzeichen. Die Bejahung ist eine Gleichung mit zwei gleichen Vorzeichen.

Might not we substitute a few plain and simple axioms, the truth of which cannot be denied, and which may be found to contain, in general terms, every pinciple upon which a syllogistic conclusion can be founded? Such may, perhaps, be found the four following :

1. Things which are equal to the same, are equal to one another.

2. When of two things, one only is equal to a third, and the other is not equal to that tiurd, these two things are not equal to one another.

3. Parts of a part are parts of the whole of that part (that is, of the whole of which that part is a part).

4. When the whole of a class is said to be equal to, or different from, the whole or any part of another class, it is meant that every individual referred to by the first class, is the same as, or different from, any individual referred to by such whole or part of such other class. (ebd. S. 155f)

Bentham erkennt, dass sich diese Axiome in der Logik sich in einem Schluss nur dann anwenden lassen, wenn das die Gleichheit stiftende Kriterium der Mitte erkannt wird. Das Kriterium ist einfach und durch die obigen Sätze gegeben: Beide Mitten müssen zu erkennen geben, ob sie ein Teil oder ein Ganzes von einander sind. Mindestens eines von beiden muss ein Ganzes sein. Diese Forderungen an die Mitte hat bereits Aristoteles aufgestellt, konnte sie jedoch formal noch nicht einlösen. Bentham wendet seine Sätze in den von ihm aufgeführten Syllogismen auch an. Etwa in:

tY = pX

tY = pZ

therefore

pZ = pX (S.159)

Kein Zweifel ist in diesem Beispiel (4e) möglich, keine Merkverse, subs und contras sind erforderlich, da zwei Größen mit einer dritten identisch sind und somit selbst identisch sind. Sind die beiden Mitten Teil und Ganzes, ist es weniger einfach, bleibt aber genauso klar, sobald die Regeln dafür erarbeitet sind. Solche einfachen Wahrheiten über den Teil und das Ganze müssen natürlich auf den Widerstand der Halbgebildeten und derer stoßen, die ein Interesse an dem Unklaren haben. Außerdem fehlen die negativen Ganzen und Teile, so dass der Formalismus nur für einen Teil der Logik anwendbar ist. Bentham hat die wenigsten Spuren hinterlassen, obwohl (weil) er mit Ausnahme der Negation die Grundlage der logischen Seinsgleichung gefunden, aber nicht systematisch, sondern nur an einigen Beispielen zu einer Syllogistk entwickelt hat.

5.2Hamilton

Hamilton bringt wie Bentham auch acht Sätze und stellt sie auf vier, bei den verneinenden auf fünf Arten dar, als Bild, in zwei oder drei Formalismen und verbal. Auch er bleibt bei der Verneinung Aristoteles’ Fehler verhaftet, aber seine Verbalisierung des Formalismus zeigt, welche Seite zu negieren ist. Auch er führt ausgiebige Untersuchungen über das Ganze und den Teil aus, die jedoch mehr verwirren als klären, weil er eine port-royalistische Plaudertasche ist, die Psychologie, Metaphysik, Ethik und Logik miteinander vermengt. Seine acht Sätze:

Instead of four species of Proposition determined by the Quantity and Quality taken together, the Quantity of the Subject being alone considered, there are double that number, the Quantity of the Predicate being also taken into account.

Satz Seinsgleichung Nr.
(1) [+]C = [+]Γ 1
(ii) [+]C = (+)A 5
(3) (+)A = [+]C 4
(iv) (+)C = (+)B 7
(v) [+]C = [-]D 2
(6) (+)C = (-)B 8
(vii) (+)B = [-]C 3
(8) (+)C = (-)B 8
(William Hamilton, Lectures on Metaphysics and Logic, Bd, II, Appendix, S. 529f)

Die Zeichnungen und der Formalismus passen teilweise nicht zueinander, so dass die Seinsgleichungen zum Teil Auslegungssache sind. So ist Satz (v) vom Formalismus her Satz 2: [+]B=[-]A, aber nach [fig. 3] Satz 6: [+]B=(-)A. Ebenso ist Satz (vii) vom Formalismus her Satz 3: (+)B=[-]A, aber nach [fig. 4] Satz 8: (+)B=(-)A. Einer der sechs allgemeinen Sätze, Satz 6, ist zwar im Bild, aber nicht im Formalismus, und Satz 8 ist doppelt.

Syllogismen bildet er mit den Sätzen nicht. Ich finde sie jedenfalls nicht. De Morgan sagt in seinem Syllabus, Hamilton habe die gleiche Anzahl von Schlüssen wie er selbst gefunden. Wo?

5.3De Morgan

Der Tag der Wahrheit kam mit Augustus de Morgan. Auch er führt zunächst acht Sätze auf, aber er erkennt, dass in der Negation der Größe [+]A in die Größe [-]A der Schlüssel zur Wahrheit steckt. Denn die Einführung der Variablen A, B, C durch Aristoteles war zwar ein bedeutender Schritt für alle Wissenschaften, insbesondere die Logik und die spätere Mathematik. Aber ihr größter Vorzug ist zugleich ihr größter Nachteil, wenn es um die Bestimmung der Wahrheit geht: Die Variable ist ein Unbestimmtes (kurioserweise nennt Aristoteles das von ihm gescholtene non-A das Unbestimmte). Die Variable A hat keinen bestimmten Gegenstand zu ihrem Inhalt, sondern einen beliebigen. Wie soll sich damit die universelle Gültigkeit der Logik belegen lassen? Das ist sicher mit ein Grund, warum weniger Gebildete so begierig nach der Logik des Boethius gegriffen haben, die in ihrer hispanischen Form nur mit Konstanten arbeitet und damit bestimmt ist. Dafür bleibt diese Logik aber auf die als Konstanten eingesetzten Gegenstände beschränkt und kann allenfalls beteuern, aber nicht beweisen, dass sie universell gültig ist.

Die Hinzufügung der negativen Variablen [-]A zur positiven Variablen [+]A macht mit einem Schlag aus Variablen mit keinem bestimmten Gegenstand jede Variable zum Träger aller Gegenstände der Welt, weil jeder Gegenstand A die Welt in genau zwei Teile [-]A und [+]A teilt. De Morgan nennt diese Zweiteilung das universe of discourse und will ihm nur einen begrenzten Geltungsbereich zubilligen, den die Wahrheit mit Bezug auf den Menschen hat (vgl. Nesting).

Mit dem universe kann die Universalität der Logik erstmals im Sinne des Wortes mit einer über die Sicherheit einer mathematischen Gleichung hinausgehenden Sicherheit nachgewiesen werden. Denn die auf dem universe beruhende Seinsgleichung beschränkt sich nicht auf de Morgan’s universe, sondern umfasst das Universum. De Morgan korrigiert den Fehler von Aristoteles, Bentham und Hamilton, die die negativen Größen nicht zulassen. Er vollendet, was Aristoteles im 46. Kapitel des ersten Buchs der Ersten Analytik skizziert hat: die Aufteilung der Welt mit logischen Relationen zwischen Einem und dem Rest der Welt, zwischen Zweien und zwischen Dreien und dem Rest der Welt. Nebenbei zeigt er, dass die "Figuren" der logischen Schlüsse überflüssig sind, da es allein auf die Mitte Y ankommt die X und Z in XYZ zu einer Einheit macht.

Da sich de Morgan’s Entdeckungen nicht mit drei Sätzen erklären lassen, habe ich 2000 eine kommentierte Übersetzung der ersten sechs Kapitel seiner Formal Logic angefertigt, die ich weitgehend unverändert erneut vorlege. Hier ein Auszug, in dem de Morgan seine ersten acht Sätze vorstellt.

Ich werde nun zu einer erweiterten Betrachtung der logischen Sätze kommen und zu der Struktur ihrer Notation, die für ihre verschiedenen Fälle geeignet ist.

Wie gewöhnlich sei der allgemein positive Satz durch A gekennzeichnet, der eingeschränkt positive durch I, der allgemein negative durch E und der eingeschränkt negative durch O. Das ist der gewöhnliche Umfang symbolischer Ausdrücke logischer Sätze. Ich schlage vor, die folgenden Erweiterungen in dieser Arbeit vorzunehmen: Es sei eine bestimmte Reihenfolge von Subjekt und Prädikat der Standard. Bei den Buchstaben X, Y, Z sei die Reihenfolge immer XY, YZ, XZ. Es seien x, y, z die gegenteiligen Namen von X, Y, Z, und ihre Reihenfolge sei dieselbe wie der Standard. Wenn die vier Satzarten aus X, Y, Z gebildet werden, sollen als sie A, E, I, O, bezeichnet werden. Werden sie dagegen aus den Gegenteilen gebildet, so heißen sie A’ E’ I’ O’. Bezogen auf Y und Z ist also "Jedes Y ist Z" (das Paar in dieser Reihenfolge) der A, während "Jedes y ist z" der A’ ist.Wichtig, gut und richtig ist, daß de Morgan stets versucht, die Reihenfolge XYZ im Schluß einzuhalten und folglich auch die Satzteile stets dieselbe Reihenfolge haben sollten. Schon hier zeigt sich aber die Problematik der Adaption des Barbara-Logiker-Sprachgebrauchs (der übrigens nicht auf Petrus Hispanus zurückgeht, wie ich bis vor kurzem auch noch glaubte, sondern die erste Quelle ist bei dem byzantinischen Mönch Psellus zu finden, gest. um 1096, vgl. Prantl): Der A, ist der [+]Y=(+)Z, während der A’ das Äquivalent des Satzes (+)Y=[+]Z, nämlich [-]Y=(-)Z ist (2018: mit [] um die Ganzen, das ich 2000 noch nicht hatte). Die beiden allgemein positiven Sätze kannte Aristoteles schon, mußte sich aber mit Umkehrungsregeln und dem indirekten Beweis behelfen, wenn er sie ausdrücken wollte. Ich würde vorschlagen, den A, und A’ sub-A und super-A des Begriffspaars in dieser Reihenfolge zu nennen. Die Hilfen, die das unserem Gedächtnis geben wird, werden sofort klar werden. Das gleiche gilt für I, und I’ usw.

Folgende Abkürzungen sollen gelten:

de Morgan Größenlogik
X)Y bedeutet "Jedes X ist Y" + X=(+)Y
X:Y "Einige Xs sind nicht Ys" (+)X=(-)Y
X.Y "Kein X ist Y" + X=(-)Y
X Y "Einige Xs sind Ys" (+)X=(+)Y
Da die Geistesverwandtschaft zwischen de Morgan und mir größer nicht sein könnte, erlaube ich mir, direkt im Text Erläuterungen meist in der Schrift Arial zu geben, wo ich es für nötig halte. Ich stelle de Morgans Sätze Seidels Sätze zur Seite. Die Sätze gehören natürlich weder mir noch de Morgan, sondern sind Ausdruck der unabhängig vom Hirn des Forschers existierenden oder wahren Zusammenhänge der Dinge. Diese Tatsache war zunächst eine bittre Pille für mich, als ich auf Mennes Anraten de Morgans Arbeiten studierte und sah, daß er im Keim alle Sätze, die ich für meine Entdeckung hielt, bereits gefunden hatte. Sie wich aber schnell der Freude über die Bestätigung, daß es nur eine Wahrheit gibt und daß jeder, der sie ersthaft sucht, zu den gleichen Ergebnissen gelangen muß. Die Rückkehr zu der aristotelischen Form der Sätze ist ein wichtiger Schritt zur Formalisierung der Satzgleichung. Statt der kindischen AEIO werden die beiden Satzteile getrennt. Statt der einen Gleichheit hätten wir aber nun 4 copulae zwischen den X und Y und damit acht Arten der Bejahung/Verneinung! Denn die copulae sollen den Satz ja angeblich als ganzen bejahen/verneinen.

[61] Es gibt acht verschiedene Arten, unabhängig von den Gegenteilen, in denen ein einfacher Satz mit Hilfe von X und Y gebildet werden kann. Diese acht Arten sind X)Y und Y)X; X:Y und Y:X; X.Y und Y.X; X Y und Y X. Aber diese acht sind nur sechs Sätzen äquivalent, denn X.Y und Y.X sind dieselben und ebenso X Y und Y X. Weiter, es gibt sechs einfache Sätze zwischen x und y, sechs zwischen X und y und sechs zwischen x und Y. Nimmt man die Gegenteile hinzu, so gibt es vierundzwanzig klare Arten, einen einfachen Satz aus X und Y zu bilden; aber sie sind nicht alle voneinander verschieden. Acht von ihnen enthalten den ganzen Rest. Diese acht sind die oben beschriebenen A, E, I, O, A’ E’ I’ O’. Das kann man aus der folgenden Tabelle, die sorgfältig studiert werden sollte, erkennen.

de Morgan und Größenlogik jeweils untereinander

2000 2018 Nr. XY
A, X)Y = X.y = y)x
+ X=(+)Y + X=(-)-Y - Y=(+)-X [-]Y=(-)X 5
O, X:Y = X y = y:x
(+)X=(-)Y (+)X=(+)(-)Y (-)Y=(-)-X (-)Y=(+)X 8
E, X.Y = X)y = Y)x
+ X=(-)Y + X=(+)-Y + Y=(+)-X [+]Y=(-)X 6
I, X Y = X:y = Y:x
(+)X=(+)Y (+)X=(-)-Y (+)Y=(-)-X (+)Y=(+)X 7
A’ x)y = x.Y = Y)X
- X=(+)-Y - X=(-)+Y + Y=(+)X [+]Y=(+)X 4
O’ x:y = x Y = Y:X
(+)-X=(-)-Y (+)-X=(+)Y (+)Y=(-)X (+)Y=(-)X 9
E’ x.y = x)Y = y)X
- X=(-)-Y - X=(+)Y - Y=(+)X [-]Y=(+)X 3
I’ x y = x:Y = y:X
(+)-X=(+)-Y (+)-X=(-)Y (+)(-)Y=(-)X (-)Y=(-)X 10
De Morgan kommt zu ausnahmslos richtigen Ergebnissen (bis auf das "=" zwischen erster und dritter Spalte bei den allgemeinen Sätzen, den Äquivalenten von Satz 3 bis Satz 6). Daß (-)- = (+) und (+)- = (-) gelten, wird sich in BERECHNUNG zeigen. Zunächst muß ich darum bitten, daß Sie mir auf Kredit glauben, daß in der Mathematik wie in der Logik Gleiches mal Gleiches Plus und Gleiches mal Ungleiches Minus ergibt (mit einigen Einschränkungen in der Logik). Weil de Morgan die mittlerweile vier Kopulae in die Mitte verfrachtet und die beiderseitige Quantifikation scheut, muß er bei den beiden Äquivalenten + X=(+)Y und (-)X= - Y und den folgenden nun doch die Reihenfolge von X und Y vertauschen.

Das sind die Sätze 3 bis 10 in der Reihenfolge XY. Die Sätze 1 und 2 findet de Morgan später. Leider verdirbt de Morgan die Entdeckungen seiner beiden Vorgänger, die logische Gleichung und den Teil und das Ganze. Weil er als Mathematiker nicht über den Teil und das Ganze verfügt, muss er einen Rattenschwanz von "copulae" erfinden, um die verschiedenenen Teil:Ganz-Relationen auszudrücken. Und er muss obendrein als Mathematiker auf die Gleichung (!), auf die Vorzeichen (!) und auf die Rechenzeichen (!) verzichten. Die Ursache: Die Mathematiker reißen sich eher die Zunge aus dem Hals, als dass sie zugeben, dass ihre Wissenschaft nicht über das Ganze und den Teil verfügt, sie aber wie jede andere Wissenschaft ohne den Teil und das Ganze keinen vernünftigen Satz aussprechen können. Das ∀ und das ∃, das nach nach dem Raubzug nach langem Hin und Her für das Ganze und den Teil in der "Prädikatenlogik" gefunden wurden, haben kein Vorzeichen bzw. sind beide positiv, landen also wieder bei Aristoteles’ erstem Versuch der einseitigen Formalisierung von AB und bei dem Boethius-Aufsatz, nur dass nun das positive Vorzeichen links statt rechts steht ∀AB.

De Morgan ist weit über das Niveau der Logik der vor ihm vergangenen Jahrhunderte und der nach ihm begründeten 123 Logik erhaben und verdient es trotz seiner Herkunft aus der "klassischen" Logik, als ein Nachfolger des Aristoteles bezeichnet zu werden. Da er aber aus der Wissenschaft des Getrennten kommt und deren Vertreter meist nichts von der Wissenschaft des Geteilten wissen und wissen wollen, war ein Ergebnis der nun aufkeimenden mathematischen Logik, dass sie in der "Aussagenlogik" de Morgan ohne Quellenangabe ausgiebig plündert und in ihrem "aristotelischen" Teil, der "Prädikatenlogik", unter das Anfänger-Niveau des durch Petrus Hispanus verflachten Boethius-Aufsatzes hinabgesunken ist.