]> app WT FORMALE LOGIK 28.04.2018 oder Der Schlußkalkül, der Notwendigkeit und der Wahrscheinlichkeit

von

Augustus de Morgan

Vom Trinity College Cambridge

Mitglied der Cambridge Philosophical Society, Sekretär der Royal Astronomical Society, Mathematikprofessor des University College London

Kalos ho nomos ean tis auto nomimos chraetai

(Das Gesetz ist gut, das sich von jedem wie von selbst gebrauchen läßt)

London

Taylor and Walton

Buchhändler und Verleger für das University College,

28, Upper Gower Street

1847

Deutsch und größenlogisch kommentiert: Lothar Seidel, Frankfurt 2000ff

ISBN 978-3-9801803-3-7

am 02.01.2018 aus FormaleLogik.doc unter WT nach FM importiert

[iii]

Vorwort

Das System, das mit dieser Arbeit vorgelegt wird, geht in vielen Beziehungen über das hinaus, was man normalerweise in diesem Bereich findet. Der Gegenstand dieses Vorworts ist eine kurze Darstellung, was für die Übernahme in die Schlußtheorie (theory of inference) erforderlich ist.

Im logischen Satz (proposition) wird die Kopula so abstrakt wie die Begriffe selbst gemacht bzw. wird nur insoweit in betracht gezogen, als sie zur Erlangung eines Schlusses erforderlich ist.

Jeder Name wird in Verbindung mit mit seinem konträren oder kontradiktorischen Namen gebraucht; zwischen diesen beiden Wörtern und dem daraus folgenden wird nicht unterschieden. So bekommt man acht wirklich unterscheidbare Aussagenformen zwischen irgend zwei Namen, während das gängige System nur sechs herauskriegt. Ich werde in der ganzen Arbeit die beiden Formen eines konvertiblen Satzes als identisch ansehen.

Der komplexe Satz (compex proposition) wird eingeführt. Er besteht in der Koexistenz zweier einfacher Sätze. Die Syllogismustheorie der komplexen Sätze wird über der der einfachen oder gewönlichen stehen, da sie aus ihr abgeleitet wird. Ich habe das Wort komplex nur deshalb benutzt, weil einfach bereits in Gebrauch ist.

[iv]Durch die Einführung der Gegenteile (contraries) wird die Anzahl der gültigen Syllogismen auf 32 erhöht. Diese sind zwar durch Beziehungsregeln miteinander verbunden, aber es wird gezeigt werden, daß sich alle allein durch die Namen und ihre Gegenteile auf eine einzige Schlußfolgerung zurückführen lassen.

Durch die Umstellung der Begriffe im Satz wird der Gebrauch der "Schlußfiguren" von Anfang an vermieden. Das stimmt nur zum Teil. Aristoteles hat die Schlußfiguren allein deshalb erfunden, weil er die beiderseitige Quantifikation nicht hatte. So konnte er einige Sachverhalte, die ihm deutlich vor Augen standen, nicht mit seinen vermeintlich vier logischen Sätzen ausdrücken. Er mußte die Reihenfolge der Satzglieder vertauschen. Um sagen zu können "Ein Teil von A sind alle B", wo beide Seiten quantifiziert sind, mußte er sagen "Alle B sind A", da er nur die eine Seite mit "alle" quantifiziert. Das "ein Teil von" wird gedanklich verschluckt, weil man es sich automatisch dazudenkt. Diese gedankliche Ungenauigkeit übernimmt de Morgan. Nicht, weil er nicht wüßte, daß es eine Ungenauigkeit ist, sondern um den Auseinandersetzungen mit Hamilton zu entgehen. Das wird zur Folge haben, daß de Morgan vom Leser verlangt, sich die beiderseitige Quantifikation stets dazuzudenken, wodurch es ihm dann doch gelingen wird die "Figuren" zu vermeiden. Damit kehrt er Hamiltons berühmten Spuch um, der gesagt hat, daß die beiderseitige Quantifikation bloß explizit das tue, was jeder implizit schon immer gedacht hat.

Eine simple Notation, die die gebräuchliche enthält, erlaubt es, alle Syllogismen durch drei Buchstaben, die entweder oben oder unten mit einem Akzent versehen sind, wiederzugeben. Diese Symbole zeigen unmittelbar, 1. welcher Syllogismus gemeint ist, 2. ob er gültig oder ungültig ist, 3. wie er sofort aufgeschrieben werden kann, 4. welches Schlußaxiom er enthält, oder welches Handlung des Geistes (A!) den Schluß zustandebringt (Kapitel 14).

Zur Abkürzung der langen Sätze wird eine eigene Notation benutzt (s.S.).

Zusammengesetzte Namen werden sowohl bei konjuktiver als auch bei disjunktiver Verbindung gebraucht=considered. Für die Transformation wird es eine klare Notation und Regeln geben, und die zusammengesetzten Syllogismen werden durch die Erfindung der zusammengesetzten Namen auf einfache Syllogismen reduzierbar werden.

Die Theorie des numerische Syllogismus wird erforscht. In ihr wird auf Grundlage der Hypothese der numerischen Quantität bei beiden Begriffen jedes Satzes, eine numerische Schlußfolgerung gezogen.

Wenn aber die numerischen Relationen zwischen allen Begriffen erst einmal vollkommen bekannt sind, wird sich all das ungewöhnliche bei der Quantifikation des Prädikats als überflüssig oder wie ich es nenne künstlich (spurious) erweisen.

[vv]Die alte Lehre von den Modalitäten wird der numerischen Wahrscheinlichkeitstheorie weichen. Viele werden einwenden, daß dies außerlogisch sei. Aber ich kann nicht erkennen, auf welcher Grundlage sich dieser Ausschluß aufrechterhalten läßt. Wird mir gesagt, die Logik untersucht die Gültigkeit der Schlußfolgerung unabhängig von der Wahrheit oder Falschheit des jeweiligen Gegenstands oder sie liefere die Bedingungen, unter denen die hypothetische Wahrheit des Gegenstandes der Prämissen die hypothetische Wahrheit des Gegenstandes des Schlußsatzes ergibt, so sehe ich eine wirkliche Definition, die die Formen und Gesetze des schlußfolgernden Denkens darlegt. Aber wenn dann hinzugefügt wird, nur hypothetische Wahrheit sei absolute Wahrheit, sicheres Wissen, so sehe ich darin eine willkürliche Auszeichnung, der die Realität des bisher Gesagten fehlt.

Ohne die Annahme, daß die Logik auch die Wahrscheinlichkeit irgend einer Angelegenheit erkennen kann, kann ich nicht verstehen, warum das Studium der Auswirkung, das von nur von einem Teilwissen der Prämissen in bezug auf den Schlußsatz erzeugt wird, von den Konsequenzen getrennt werden sollte, die daraus folgen, erstere als absolut wahr zu bezeichnen. Keinerleit Streit über Namen wäre andernfalls möglich. Ich werde jedenfalls meine Ansicht, daß die Wahrscheinlichkeitstheorie das Studium der Logik begleiten sollte, gegen die aufrechterhalten, die sie - ganz gleich unter welchem Namen - von der Logik ferhalten wollen.

Natürlich bin ich nicht umhingekommen, auch meine eigenen philosophischen Ansichten auszudrücken. Aber jeder wird sehen , daß es bei allem, was ich zur Annahme empfohlen habe, überhaupt keine Rolle spielt, ob meine oder andere Ansichten über die Phänomene des Geistes zur Grundlage der Erklärung gemacht werden. So weit ich [vi] dem Logiker Syllogismenformen usw. vorschlage und dem Studenten keine Einweisungen in die Wissenschaft gebe, hat der Leser jedenfalls nichts mit meiner Wahl der Begriffe zu tun, mit der die geistigen Operationen umschrieben werden.

Im Anhang sind einige Anmerkungen über die persönliche Kontroverse zwischen mir und Sir W. Hamilton of Edinbourgh zu finden, von der vermutlich viele Studenten durch die Berühmtheit meines Opponenten und durch das Erscheinen eines Teils davon in einem weit verbreiteten Journal, dem Athenaeum, gehört haben.

Am Ende der Inhaltsangabe einiger Kapitel in der folgenden Tafel stehen einige Zusätze und Korrekturen, die ich der Aufmerksamkeit des Lesers empfehle [Das ausführliche Inhaltsverzeichnis habe ich nicht übernommen. Die Korrekturen und Zusätze wurden in die Übersetzung eingearbeitet.]

[vii] Inhaltsverzeichnis FORMALE LOGIK Vorwort Kapitel 1, Ein erster Begriff Kapitel 2, Gegenstände, Ideen und Namen Kapitel 3, Die abstrakte Form des Satzes Kapitel 4, Sätze Kapitel 5, Der Syllogismus Kapitel 6, Der Syllogismus Kapitel 7, Der aristotelische Syllogismus Kapitel 8, Der numerisch bestimmte Syllogismus Kapitel 9, Möglichkeit Kapitel 10, Wahrscheinlichkeitsschluß Kapitel 11, Induktion Kapitel 12, Alte logische Begriffe Kapitel 13, Fehlschlüsse Kapitel 14, Die verbale Beschreibung des Syllogismus Anhang I, Bericht über eine Kontroverse zwischen dem Autor dieser Arbeit und Sir William Hamilton of Edinburgh und abschließende Antwort an ihn Anhang II, Einige Schlußformen, die sich von den aristotelischen unterscheiden

[1]

Kapitel 1, Ein erster Begriff

Aus de Morgan’s Inhaltsverzeichnis:

Dieses Kapitel kann von dem ausgelassen werden, der einige Kenntnis der üblichen Definitionen und Terminologie der Logik hat. Es beschränkt sich streng auf die aristotelischen Formen und Syllogismen und ist ein reprint einer 1839 veröffentlichten Abhandliúng mit dem Titel "Ein erster Begriff der Logik (Einführung zum Studium der Geometrie)". Die einzigen Abweichungen sind die Änderung der Terminologie, wie statt "etwas X ist Y" in "einige Xs sind Ys" usw., die Korrektur eines falschen Beweises, sowie einige Weglassungen, besonders einiger unbefriedigender Bemerkungen über die Wahrscheinlichkeit.

Einen ersten Begriff von der Logik kann sich der Leser machen, indem er sie als Überprüfung des Teils seines Denkens betrachtet, der von der Art abhängt, wie Schlußfolgerungen zustandekommen und als Untersuchung allgemeiner Maxime und Regeln, Argumente so zu konstruieren, daß die Schlußfolgerung nicht von dem abweicht, was zuvor in den Prämissen aufgestellt wurde. Insofern hat sie nichts mit der Wahrheit der Tatsachen, Meinungen oder Annahmen zu tun, aus denen ein Schluß gezogen wird, sondern gibt nur acht, daß der Schlußsatz mit Sicherheit wahr ist, wenn die Prämissen wahr sind. Wenn wir also sagen, daß alle Menschen sterben und daß alle Menschen vernünftige Wesen sind und daraus schließen, daß einige vernünftige Wesen sterben, so ist die logische Wahrheit dieses Satzes dieselbe, sei es nun wahr oder falsch, daß die Menschen sterblich und vernünftig sind.

Also statt Schreibe
Alle Menschen werden sterben: Jedes Y ist X.
Alle Menschen sind vernünftige Wesen: Jedes Y ist Z.
Daher: Einige vernünftige Wesen werden sterben: Einige Zs sind Xs

Rechts steht logisch gesehen dasselbe wie links; die Schlußfolgerung steckt in beiden und wird richtig aus den Prämissen gezogen. Ob die Prämissen wahr oder falsch sind, ist keine Frage der Logik, sondern der Moral, Philosophie, Geschichte oder irgend eines anderen Wissensbereichs to which their subject [2] matter=Thema belongs??: Die Frage der Logik ist, folgt der Schlußsatz mit Sicherheit, wenn die Prämissen wahr sind?

Alles Denken muß hauptsächlich aus dem Vergleich verschiedener Dinge bestehen und herausfinden oder aus früherem Wissen erinnern, in welchen Punkten sie übereinstimmen oder sich unterscheiden. Der besondere Teil des Denkens, der Schlußfolgerung (inference) genannt wird, besteht im Vergleich von mehreren und verschiedenen Dingen mit einem und demselben andernen Gegenstand und in der Ermittlung der Übereinstimmungen oder der Unterschiede mit Hilfe der Punkte, in denen sie mit dem Gegenstand, mit dem sie verglichen werden, übereinstimmen oder sich von ihm unterscheiden.

Bevor ein Schluß gezogen werden kann, muß es bereits einige Sätze geben. Alle Sätze sind entweder Bejahungen (eigtl. Feststellungen, Behauptungen: assertions) oder Verneinungen (denials) und werden daher in affirmative und negative eingeteilt. Daher sind X ist Y und X ist nicht Y die beiden Formen, auf die alle anderen Sätze reduziert werden können. Sie sind für unseren jetzigen Zweck die einfachsten Formen, obwohl es oft vorkommen wird, daß viele Umschreibungen nötig sind, um Sätze auf sie zu reduzieren. Nehmen Sie zum Beispiel die folgende Behauptung: "Wenn er morgen kommen sollte, so wird er wahrscheinlich bis Montag bleiben." Wie wird das auf die Form X is Y gebracht? Es wird eindeutig von etwas gesprochen und etwas von ihm ausgesagt. Und es besteht eine affirmative Verbindung zwischen beiden. Etwas, wenn es geschieht, also das Geschehen eines Etwas, macht das Geschehen eines anderen Etwas wahrscheinlich; oder ist eines der Dinge, das die Wahrscheinlichkeit des Geschehens des zweiten erweist.

X ist Y
Das Geschehen seiner morgigen Ankunft ist ein Ereignis, aus dem geschlossen werden kann, daß er bis Montag bleiben wird.

Mit der Sprache können Behauptungen in sehr vielen verschiedenen Weisen ausgedrückt werden, aber die Reduktion auf die obige Form ist immer möglich. So ist "so sagte er" eine Affirmation, die sich folgendermaßen reduzieren läßt:

Was du gerade gesagt hast (oder woraufimmer sich das "so" bezog), ist das, was er sagte.

[3] Indem wir das "ist" in "ist nicht" umwandeln, machen wir einen negativen Satz. Wir müssen aber immer aufpassen, ob ein Satz, der negativ zu sein scheint, auch wirklich negativ ist. Die Gefahr, einen negativen Satz mit einem affirmativen zu verwechseln, ist dann am größten, wenn er etwas Negatives benötigt, um ausgedrückt zu werden. So ist "er ähnelt dem Mann, der nicht im Raum war" ein positiver Satz und darf nicht verwechselt werden mit "er ähnelt nicht dem Mann, der im Raum war". Nochmals, "wenn er morgen kommen sollte, wird er wahrscheinlich nicht bis Montag bleiben", bedeutet nicht die Verneinung des obigen Satzes, sondern die Bejahung des direkt gegenteiligen Satzes. Es ist

X ist Y
Das Geschehen seiner ein Ereignis, aus dem geschlossen werden kann,
morgigen Ankunft ist daß es unwahrscheinlich ist, daß er bis Montagbleiben wird,
wogegen das folgende
Das Geschehen seiner ein Ereignis, aus dem geschlossen werden kann,
morgigen Ankunft ist nicht daß es wahrscheinlich ist, daß er bis Montag
bleiben wird,

so ausgedrückt würde: "Sollte er morgen kommen, so ist das kein Grund, warum er bis Montag bleiben sollte."

Außerdem haben die negativen Wörter nicht, kein usw. zwei verschiedene Bedeutungen, die sorgfältig auseinandergahalten werden müssen. Manchmal verneinen sie und sonst nichts. Manchmal dagegen bejahen sie das direkte Gegenteil. In Fällen, in denen nur zwei Alternativen möglich sind, von denen eine notwendig zutrifft, kommen beide auf dasselbe heraus, weil die Verneinung des einen und die Bejahung des anderen offensichtlich äquivalente Sätze sind. In vielen Redewendungen impliziert die Negation die Bejahung des Gegenteils, obwohl nicht nur Alternativen, sondern Grade von Alternativen gegeben sind. So bedeutet die einfache Antwort, "Nein" auf die Frage, "Ist er groß?" entweder, daß er das Gegenteil von groß ist, oder daß er kleiner als der Durchschnitt ist. In der Regel aber, das sollte man nicht vergessen, bedeutet die Negation beim logischen Schließen einfache Negation, sonst nichts und nicht die Bejahung des Gegenteils.

Der gängige Satz, daß zwei Negative ein Positives ergeben, ist nur unter der Annahme wahr, daß es nur zwei [4] mögliche Dinge gibt, von denen eines verneint wird. Zugestanden, daß der Mensch entweder in der Lage oder nicht in der Lage ist, irgend eine bestimmte Handlung durchzuführen, dann ist nicht nicht in der Lage und in der Lage dasselbe. Wenn wir aber verschiedene Grade annehmen, etwas zu tun und damit Grade der Fähigkeit, ist es im gewöhnlichen Sinne des Wortes falsch zu sagen, daß zwei Negative ein Positives ergeben. So wäre es falsch zu sagen, "John ist in der Lage, Vergil zu übersetzen, und Thomas ist nicht nicht in der Lage; daher kann Thomas tun, was John tun kann", denn es ist klar, daß die Sätze bedeuten, daß John so gut übersetzen kann, daß die Behauptung seiner Fähigkeit aufgestellt werden kann, während Thomas' Fähigkeit beträchtlich geringer ist als Johns, aber nicht so gering, daß sie absolut negiert werden könnte. Allgemein kann man sagen, daß zwei Negative ein Positives geringeren Grades implizieren als die positive Affirmation.

Die beiden Sätze "X ist Y", und "X ist nicht Y", können in zwei Arten unterteilt werden: die allgemeinen, die jeden möglichen Fall einschließen und die eingeschränkten, bei denen nicht gemeint ist, daß die Bejahung oder die Verneinung allgemein ist. Die vier Satzarten werden folgendermaßen jeweils durch einen Buchstaben gekennzeichnet, mit dem sie Autoren über die Logik schon immer voneinander unterschieden haben.

A allgemein bejahend Jedes X ist Y
E allgemein verneinend Kein X ist Y
I eingeschränkt bejahend Einige Xs sind Ys
O eingeschränkt verneinend Einige Xs sind nicht Ys

Im gewöhnlichen Gespräch impliziert die Bejahung eines Teils die Verneinung des Rests. So ist bei "einige Äpfel sind reif" immer auch gemeint, daß einige nicht reif sind. Das ist nicht so in der logischen Sprache, wo jeder Satz nur entweder den bejahenden oder den verneinenden Teil anspricht und nicht mehr. Wenn wir sagen "Etwas X ist Y" oder mehr grammatisch "Einige Xs sind Ys", dann wollen wir damit nicht implizieren, daß es einige nicht sind; das kann so sein oder auch nicht. Nochmal, das Wort "einige" bedeutet, "eines oder mehr, vielleicht alle". Die folgende Tafel zeigt den Einfluß jedes Satzes auf die anderen Sätze.

Jedes X ixt Y bejaht Einige Xs sind Ys und verneint Kein X ist Y
Einige Xs sind nicht Ys
[5] Kein X ist Y bejaht Einige Xs sind nicht Ys und verneint Jedes X ist Y
Einige Xs sind Ys
Einige Xs sind Ys widerspricht nicht Jedes X ist Y aber verneint Kein X ixt Y
Einige Xs sind nicht Ys
Einige Xs sind nicht Ys widerspricht nicht Kein X ist Y aber verneint Jedes X ixt Y
Einige Xs sind Ys

Widersprüchliche (contradictory) Sätze heißen die, bei denen der eine irgend ein (any) Ding verneint, das der andere bejaht; gegenteilige (contrary) Sätze heißen die, bei denen der eine alle Dinge verneint, die der andere bejaht. Die beiden folgen Sätze sind gegenteilig:

Jedes X ixt Y und Kein X ist Y
und die folgenden widersprechen einander
Jedes X ist Y widerspricht Einige Xs sind nicht Ys
Kein X ist Y widerspricht Einige Xs sind Ys

Ein Gegenteil ist somit ein vollkommener und totaler Widerspruch; und eine kurze Überlegung macht klar, daß der entscheidende Unterschied zwischen Gegenteil und Widerspruch der ist, daß Gegenteile beide falsch sein können, daß aber beim Widerspruch ein Satz falsch und einer wahr sein muß. Wir können sagen, "Entweder ist P wahr, oder irgendein ihm Widersprechendes ist wahr"; aber wir können nicht sagen, "Entweder ist P wahr, oder alles ihm Widersprechende ist wahr". Ein sehr verbreiteter Fehler ist es zu glauben, daß die Verneinung eines Satzes das Recht gibt, das Gegenteil zu bejahen, während es heißen sollte, daß die Bejahung eines Satzes das Recht gibt, das Gegenteil zu verneinen. Wenn wir also Jedes X ist Y verneinen, dann bejahen wir nicht Kein X ist Y, sondern nur Einige Xs sind Ys und auch Einige Xs sind nicht Ys. Während wir, wenn wir Jedes X ist Y bejahen, Kein X ist Y verneinen und ebenso Einige Xs sind nicht Ys.

Aber bei Widersprüchen ist die Bejahung des einen die Verneinung des anderen, und die Verneinung des einen die Bejahung des anderen. So gilt entweder Jedes X ist Y oder Einige Xs sind nicht Ys: Bejahung des einen ist Verneinung des andern, und umgekehrt.

Der Student möge sich nun vom Folgenden überzeugen. Er nehme die vier Sätze A, E, I, O, lasse den einfachen Buchstaben die Bejahung, denselben Buchstaben in Klammern die Verneinung und die Abwesenheit des Buchstabens weder Bejahung, noch Verneinung bedeuten. Bejahung und Verneinung bedeuten hier "wahr" und "falsch".

[6]

Aus A folgt (E), I, (O) Aus (A) folgt O
Aus E folgt (A), (I), O Aus (E) folgt I
Aus I folgt (E) Aus (I) folgt (A), E, O
Aus O folgt (A) Aus (O) folgt A, (E), I

Das kann so zusammengefaßt werden: Die Bejahung eines allgemeinen Satzes und die Verneinung eines eingeschränkten, erlauben uns, alle anderen drei zu bejahen oder zu verneinen. Aber die Verneinung eines allgemeinen Satzes und die Bejahung eines eingeschränkten macht es uns unmöglich, zwei andere zu bejahen oder zu verneinen.

In Sätzen wie "Jedes X ist Y", "Einige Xs sind nicht Ys" usw. wird X das Subjekt genannt und Y das Prädikat, während das Verb "ist" oder "ist nicht" die Kopula genannt wird. Es ist klar, daß die Wörter des Satzes hervorheben, ob vom Subjekt allgemein oder eingeschränkt gesprochen wird, nicht aber vom Prädikat, was daher unbedingt untersucht werden muß:which is therefore important to examine. Autoren über die Logik geben dem Subjekt oder dem Prädikat, über das allgemein gesprochen wird, den Namen distribuiert. Aber da dieses Wort ziemlich formal (technical) ist, werde ich sagen, daß daß Subjekt oder das Prädikat ganz oder teilweise auftritt, wenn von ihm allgemein oder eingeschränkt gesprochen wird.

1. In A oder "Jedes X ist Y" tritt das Subjekt ganz, das Prädikat aber nur teilweise auf. Denn der Satz sagt offensichtlich, "Unter den Ys sind alle Xs", "Jedes X ist Teil der Gesamtheit (collection) der Ys, so daß alle Xs einen Teil der Ys ausmachen oder das ganze Y sein können." So spricht der Satz "Jedes Pferd ist ein Tier" nicht von allen Tieren sondern stellt fest, daß alle Pferde einen Teil der Tiere ausmachen.

2. In E oder "Kein X ist Y" gehen beide, Subjekt und Prädikat allgemein ein. "Kein X, welches auch immer, ist irgend eines (any) von allen den Ys". "Nimm die Gesamtheit der Ys, und jedes Y wird sich als etwas herausstellen, das nicht X ist". Ein Fehler, den so gut wie alle Logiker einschließlich Hamilton machen, was zeigt daß es bei Hamilton mit der beiserseitigen Quantifikation nicht so weit her ist. Im allgemein negativen Satz sind die beiden Seiten nicht allgemein, sondern die eine Seite ist (wie bei allen allgemeinen Sätzen außer bei zweien) allgemein und die andere ist eingeschränkt: "Alle A sind ein Teil von Nicht-B". Im stets geltenden Äquivalent dieses Satzes "Ein Teil von Nicht-A sind alle B" sind die Umfangsrelationen vertauscht. Diese beiden Sätze sind die logische Übersetzung der umgangssprachlichen "A ist nicht B" und "B ist nicht A", über deren Formalisierung sich die Umgangssprache keine Rechenschaft ablegen muß. Man sieht ja, daß A und B zwei völlig voneinander getrennte Größen sind. Genauso sind Satz und Äquivalent zwei vollkommen verschiedene Dinge, nämlich einmal das ganze A und zum anderen das ganze B, zwei Größen, die stets getrennt, also alles andere als identisch sind und daher auch nie in einem Satz beide als allgemein auftreten können. Da kommt nur Unsinn heraus. Die gleichzeitige Wahrheit beider, von Satz und Äquivalent, ist eine andere Geschichte. Gleichzeitige Wahrheit ist nicht Identität, wie de Morgan später behaupten wird. Der allgemein negative Satz ist das Paradebeispiel dafür, daß die Logik, die sich meist recht erhaben über das Alltagsdenken gibt und dabei das Gute des alltäglichen Denkens beiseiteschiebt, das wissenschaftlich Schlechte des Alltagsdenkens zum unverbrüchlichen Maßstab erhebt. Das "ist nicht" bleibt unformalisiert, denn "man sieht es ja", daß A und B zwei getrennte Größen sind.

3. In I oder "Einige Xs sind Ys" gehen Subjekt und Prädikat teilweise ein. "Einige Xs sind bei den Ys zu finden oder sind ein Teil der Ys (das Ganze womöglich, wenn es nicht vorher bekannt ist).

4.In O oder "Einige Xs sind nicht Ys", geht das Subjekt teilweise, das Prädikat ganz (!) ein. "Einige Xs gehören nicht zu irgend welchen auch immer Ys; man wird jedes Y als eines aus einer bestimmten Menge der Xs herausfinden."

Es scheint also so, daß in bejahenden Sätzen das Prädikat teilweise und [7] in verneindenden Sätzen das Prädikat ganz eingeht.

In kontradiktorischen Sätzen gehen Subjekt und Prädikat in beiden Satzarten unterschiedlich ein.

Die Umkehrung (Konversion: converse) erlangt man folgendermaßen durch die Vertauschung von Subjekt und Prädikat:

Satz Konversion
A Jedes X ist Y Jedes Y ist X
E Kein X ist Y Kein Y ist X
I Einige Xs sind Ys Einige Ys sind Xs
O Einige Xs sind nicht Ys Einige Ys sind nichtXs

Ein grundlegender und selbstverständlicher Satz ist, daß kein Schlußsatz erlaubt werden kann, der weiter reicht als seine Prämissen; daß also etwas, was nur von einigen Ys festgestellt wird, nicht zu einem Ergebnis, das für alle Ys wahr ist, führen kann. Aber wennn ein Satz Übereinstimmung oder Abweichung feststellt, dann muß jeder andere Satz, der dasselbe im gleichen Ausmaß und nicht mehr feststellt, eine zulässige Folgerung sein; oder, wenn man mag, muß er sich in anderer Form im Ganzen oder zum Teil auf den ursprünglichen Satz belaufen. Daher ist die Umkehrung von A nicht wahr: Denn in "Jedes X ist Y" geht das Prädikat teilweise ein, während das Subjekt in "Jedes Y ist X" ganz eingeht. Wenn alle Xs einen Teil der Ys ausmachen, dann ist nur ein Teil der Ys unter den Xs, oder "Einige Ys sind Xs". Daher ist die einzige zulässige Konversion von "Jedes X ist Y", "Einige Ys sind Xs". Dagegen gehen in "Kein X ist Y" Subjekt und Prädikat ganz ein, und "Kein Y ist X" ist tatsächlich derselbe Satz wie "Kein Y ist X". Und "Einige Xs sind Ys" ist ebenso dasselbe wie seine Umkehrung "Einige Ys sind Xs": Hier gehen beide Begriffe teilweise ein. Aber "Einige Xs sind nicht Ys" erlaubt überhaupt keine Konversion. Es ist mit allen Aussagen über X und Y, in denen Y das Subjekt ist, vereinbar. So ist keine der folgenden Zeilen mit sich selbst unvereinbar:

Einige Xs sind nicht Ys und Jedes Y ist X
Einige Xs sind nicht Ys und Kein Y ist X
Einige Xs sind nicht Ys und Einige Ys sind Xs
Einige Xs sind nicht Ys und Einige Y sind nicht Xs."

Nachdem ich nun die prinzipiellen Fagen im Zusammenhang mit den einfachen Sätzen diskutiert habe, werde ich nun zeigen, wie zwei Sätze [8] einen dritten ergeben. Jeden solchen Fall nennt man einen Syllogismus, die zwei Sätze, die die Grundlage des dritten bilden, werden Prämissen genannt und der dritte selbst der Schlußsatz.

Wenn zwei Dinge beide in irgendeiner Besonderheit mit einem dritten übereinstimmen, so stimmen sie untereinander in derselben Besonderheit überein. Wie wenn X die gleiche Farbe wie Y und Z die gleiche Farbe wie Y hat, dann hat X die gleiche Farbe wie Z. Weiter, wenn X sich von Y in irgendeiner Besonderheit unterscheidet, in der Z mit Y übereinstimmt, dann unterscheidet sich X in dieser Besonderheit von Z. Wenn X nicht die gleiche Farbe wie Y und Z die gleiche Farbe wie Y hat, dann hat X nicht die Farbe von Z. Wenn aber X und Z sich beide in irgendeiner Besonderheit von Y unterscheiden, kann daraus nichts geschlossen werden; mögen sie sich nun in der gleichen Weise und bis zum selben Ausmaß unterscheiden oder nicht. Wenn also X und Z beide eine andere Farbe als Y haben, folgt weder, daß sie übereinstimmen, noch daß sie sich in ihren Farben unterscheiden.

Der vorige Absatz enthält die wesentlichen Teile aller Schlußfogerung, die darin besteht, zwei Dinge mit einem dritten zu vergleichen und ihre Übereinstimmung oder ihren Unterschied mit/zu diesem dritten zu finden, ihre Übereinstimmung oder ihren Unterschied untereinander. So können wir aus "Jedes X ist Y", und "jedes Z ist Y", schließen, daß X und Z alle Eigenschaften gemein haben, die für Y notwendig sind. Und aus "Jedes X ist Y", und "Kein Z ist Y", schließen wir, daß sich X und Z in allen für Y wesentlichen Einzelheiten voneinander unterscheiden. Obwohl diese Formen zwar das allgemeine Denken besser repräsentieren als die gewöhnlichen Syllogismen, zu denen wir jetzt kommen werden, so stellen sie doch nicht die ersten Schlußformen dar. Einfache Identität und Nicht-Identität ist die erste Form, auf die jeder Satz zurückgeführt werden kann. Wir werden daher als erstes fragen, aus welchen Idenitäten usw. können andere Identitäten usw. produziert werden? Weiter, da wir Gegenstände nach Arten benennen und jede Art aus einer Anzahl von Individuen besteht, und da unser Satz alle oder nur einen Teil der Individuen einer Art einschließen kann, ist es ferner in jedem Fall notwendig zu fragen, bis zu welchem Umfang die gezogene Schlußfolgerung wahr ist, ob für alle oder nur für einen Teil.

Nehmen wir den einfachen Satz, "Jeder lebende Mensch atmet", oder jeder lebende Mensch ist eines der Dinge (so unterschiedlich sie sein mögen), das atmet. Wenn wir alle lebenden Menschen in ein großes Dreieck einschließen und alle atmenden Gegenstände in einen großen Kreis, dann würde dieser Satz, wenn er wahr ist, voraussetzen, daß das ganze Dreieck im Kreis enthalten sein muß. Und auf die gleiche Art [9] können wir jeden Satz auf die teilweise oder ganze Übereinstimmung zweier Figuren reduzieren. So möge ein Punkt in einem Kreis ein Individuum einer Art darstellen und ein Punkt in einem Dreieck ein Individuum einer anderen Art: und wir mögen ausdrükken, daß das Ganze einer Art (the whole of one species) im anderen enthalten oder nicht enthalten ist durch Formen wie (A!) "Das ganze Δ ist im O" (All the Δ is in the O); "Keines der Δ ist im O".

Alle zwei Sätze über X und Z, die teilweise oder ganze Übereinstimmung oder Nicht-Übereinstimmung mit Y ausdrücken und die zu einem Schlußsatz über X und Z führen, werden ein Syllogismus genannt, wobei Y der Mittelbegriff ist. Der einfachste Syllogismus ist der folgende:

Jedes X ist Y All the Δ is in the O Das ganze Δ ist im O
Jedes Y ist Z All the O is in the ⋄ Das ganze O ist im ⋄
Daher Jedes X ist Z All the Δ is in the ⋄ Das ganze Δ ist im ⋄

Um alle möglichen Syllogismusformen zu finden, müssen wir eine Tafel aus den Elementen machen, aus denen sie bestehen können, nämlich:

X und Y Z und Y
Jedes X ist Y A Jedes Z ist Y
Kein X ist Y E Kein Z ist Y
Einige Xs are Ys I Einige Zs are Ys
Einige Xs sind nicht Ys O Einige Zs sind nicht Ys
Jedes Y ist X A Jedes Y ist Z
Einige Ys sind nicht Xs O Einige Ys sind nicht Zs

Oder ihre Synonyme:

Δ und O ⋄ und O
Das ganze Δ ist im O A Das ganze ⋄ ist im O
Nichts vom Δ ist im O E Nichts vom ⋄ ist im O
Etwas vom Δ ist im O I Etwas vom ⋄ ist im O
Etwas vom Δ ist nicht im O O Etwas vom ⋄ ist nicht im O
Das ganze O ist im Δ A Das ganze O ist im ⋄
Etwas vom O ist nicht im Δ O Etwas vom O ist nicht im ⋄

Wenn wir nun irgend eine der sechs Relationen zwischen X und Y nehmen und sie mit allen von denen zwischen Z und Y kombinieren, dann haben wir sechs Prämissenpaare und die gleiche Anzahl für jede andere Relation zwischen X und Y. Wir haben also insgesamt 36 [10] Formen zu untersuchen. Die Hälfte von 30 davon sind aber bloße Wiederholungen der jeweils anderen Hälfte (nämlich alle außer (A, A), (E, E) usw. Da hat er natürlich ohne Beweis recht: 2 Schlüsse A-B-C und C-B-A mit der gleichen Struktur, bei denen nur A und C die Plätze tauschen, sind die gleichen Schlüsse.<-weg?-> Bei der Spiegelung tauschen dagegen A, B und C mit ihren Umfangzeichen die Plätze. Es kommt zwar auch der gleiche Schlußsatz heraus, aber bewiesen ist die Gültigkeit erst, wenn der Formalismus, mit dessen Hilfe sie ja gezeigt wird, sich am Schluß der Logik als der wahre Formalismus herausgestellt haben wird.). So haben "Jedes X ist Y, kein Z ist Y", und "Jedes Z ist Y, kein X ist Y", dieselbe Form und unterscheiden sich nur durch die Vertauschung von X in Z und Z in X voneinander. Es gibt also nur 15+6 oder 21 unterschiedliche Formen, von denen einige einen notwendigen Schlußsatz ergeben, während andere keinen ergeben. Die, die einen ergeben, werden wir nach ihrem Schlußsatz einteilen, also danach ob die Schlußfolgerung die Form A, E, I oder O hat.

I. Auf welche Weise kann ein allgemein positiver Schluß gezogen werden, einer, bei dem die eine Figur vollkommen in der anderen enthalten ist? Das können wir nur dann behaupten, wenn wir wissen, daß eine Figur vollkommen in dem Kreis enthalten ist, der selbst vollkommen in einer anderen Figur enthalten ist. So ist

Jedes X ist Y Das ganze Δ ist im O A
Jedes Y ist Z Das ganze O ist im ⋄ A
Jedes X ist Z Das ganze Δ ist im ⋄ A

die einzige Art, in der ein allgemein positiver Schlußsatz gezogen werden kann.

II. Auf welche Weise kann ein allgemein negativer Schluß gezogen werden, einer, bei dem die eine Figur vollkommen außerhalb der anderen ist? Nur dann, wenn wir sagen können, daß eine Figur vollkommen innerhalb, die andere vollkommen außerhalb des Kreises Figur ist. So ist

Jedes X ist Y Das ganze Δ ist im O A
Kein Z ist Y Nichts vom ⋄ ist im O E
Kein X ist Z Nichts vom Δ ist im ⋄ E

die einzige Art, in der ein alllgemein negativer Schlußsatz gezogen werden kann.

III. Auf welche Weise kann ein eingeschränkt positiver Schluß gezogen werden, einer, bei dem die eine Figur teilweise oder ganz in der anderen ist? Nur dann, wenn wir sagen können, daß der ganze Kreis Teil einer Figur und daß der Kreis teilweise oder ganz Teil der anderen Figur ist. Wir erhalten dann zwei Formen.

Jedes Y ist X Das ganze O ist im Δ A
Jedes Y ist Z Das ganze O ist im ⋄ A
Einige Xs sind Zs Etwas vom Δ ist im ⋄ I
[11]
Jedes Y ist X Das ganze O ist im Δ A
Einige Ys sind Zs Etwas vom O ist im ⋄ I
Einige Xs sind Zs Etwas vom Δ ist im ⋄ I

Der zweite Schluß enthält genau das, was was für den Schlußsatz unbedingt erforderlich ist, und der erste kann weggelassen werden. Was daraus folgt, wenn eine Behauptung auf einige zutrifft, muß folgen, wenn die gleiche Behauptung für alle zutrifft [Der Schluß mit zwei allgemeinen Prämissen hat nur einen, der Schluß mit der einen eingeschränkten Prämisse hat zwei Schlußsätze].

IV. Wie kann ein eingeschränkt negativer Schluß gezogen werden, einer, dessen eine Figur teilweise oder ganz nicht in der anderen enthalten ist? Auf den ersten Blick scheint es, daß immer, wenn wir behaupten können, daß die eine Figur teilweise oder ganz im Kreis ist und dieser Teil oder die ganze andere Figur es nicht ist. Der schwächste Syllogismus, aus dem eine solche Schlußfolgerung gezogen werden kann, schiene dann der folgende zu sein:

Einige Xs sind Ys Etwas vom Δ ist im O
Einige Zs sind nicht Ys Etwas vom ⋄ ist nicht im O
Einige Zs sind nicht Xs Etwas vom Δ ist nicht im ⋄

Aber nach kurzer Überlegung sieht man hier, daß die Schlußfolgerung nur soweit richtig ist, daß die Xs, die Ys sind, nicht jene Zs sein können, die nicht Ys sind. Sie können aber andere Zs sein, über die nichts ausgesagt wird, wenn wir bejahen, daß einige Zs nicht Ys sind. Und eine weitere Überlegung wird klarmachen, daß ein solcher Schlußsatz nur gezogen werden kann, wenn eine Figur vollkommen in dem Kreis enthalten ist und die ganze oder ein Teil der anderen vollkommen außerhalb; oder aber wenn die ganze eine Figur außerhalb des Kreises ist und die ganze oder ein Teil der anderen innerhalb; oder schließlich, wenn der Kreis vollkommen innerhalb der einen Figur liegt und nicht vollkommen innerhalb der anderen. Das bedeutet, die folgenden Formen sind die unterschiedlichen Formen, die einen eingeschränkt negativen Schlußsatz erlauben; dabei sollte immer bedacht werden, daß eine eingeschränkte Prämisse immer in eine allgemeine umgewandelt werden kann, ohne den Schluß zu beeinflussen. Denn was notwendig für "einige" folgt, folgt für "alle". (!!)

Alle Xs sind Ys Das ganze Δ ist im O A
Einige Zs sind nicht Ys Etwas vom ⋄ ist nicht im O O
Einige Zs sind nicht Xs Etwas vom Δ ist nicht im ⋄ O
[12]
Kein X ist Y Nichts vom Δ ist im O E
Einige Zs sind Ys Etwas vom ⋄ ist im O I
Einige Zs sind nicht Xs Etwas vom ⋄ ist nicht im Δ O
Jedes Y ist X Das ganze O ist im Δ A
Einige Ys sind nicht Zs Etwas vom O ist nicht im ⋄ O
Einige Xs sind nicht Zs Etwas vom Δ ist nicht im ⋄ O

Es scheint also nur sechs unterschiedliche Syllogismen zu geben. Alle anderen werden aus ihnen durch Verstärkung (strengthening) einer Prämisse gemacht, oder durch Konversion einer oder beider Prämissen, wo so eine Konversion erlaubt ist; oder zunächst durch Konversion und dann durch Verstärkung einer Prämisse. Die folgende Ausstellung zeigt zwei allgemeine Schlüsse, aus denen drei andere durch Abschwächung (weakening) einer Prämisse hergeleitet werden, die den Schlußsatz nicht aufhebt, sondern nur abschwächt.

1. 3. ..........
Jedes X ist Y Jedes X ist Y
Jedes Y ist Z Kein Z ist Y
Jedes X ist Z Kein X ist Z
2. 4. 5. 6.
Einige Xs sind Ys Einige Xs sind Ys Jedes X ist Y Jedes Y ist X
Jedes Y ist Z Kein Z ist Y Einige Zs sind nicht Ys Einige Ys sind nicht Zs
Einige Xs sind Zs Einige Xs sind nicht Zs Einige Zs sind nicht Xs Einige Xs sind nicht Zs

Wir können hier sehen, warum einer der eingeschränkten Syllogismen nicht wie die anderen unmittelbar aus einem allgemeinen abgeleitet werden kann. A E E kann man als aus A A A hergeleitet auffassen, indem der Begriff, in den Y ganz eingeht in einen allgemein negativen umgewandelt wird. Geschieht dies aber mit dem anderen Begriff, dann haben wir

Kein X ist Y Aus diesen beiden allgemeinen Prämissen können wir keinen all- Jedes Y ist Z gemeinenSchluß ziehen, sondern nur Einige Zs sind nicht Xs folgern.

Wenn wir die eine und die andere dieser Prämissen abschwächen, wie sie da stehen, dann erhalten wir

Einige Xs sind nicht Ys Kein X ist Y
Jedes Y ist Z und Einige Ys sind Zs
Kein Schlußsatz Einige Ys sind nicht Xs,

was dem [13] vierten [IV,2] der vorstehenden enstspricht: Wenn wir aber die erste Prämisse konvertieren und in der gleiche Weise fortfahren, dann erhalten wir aus

Aus Kein Y ist X erhalten wir Einige Ys sind nicht Xs
Jedes Y ist Z Jedes Y ist Z
Einige Zs sind nicht Xs Einige Zs sind nicht Xs,

der zulässig ist und dem letzten aus der vorstehenden Liste [IV,3] mit vertauschten X und Z entspricht.

Bevor wir fortfahren und zeigen, daß alle gewöhnlichen Formen in den vorstehehenden enthalten sind, möge der Leser die folgenden Regeln beachten, die entweder durch die vorstehenden Beispiele oder durch eigenes Nachdenken bewiesen werden können.

1. Der Mittelbegriff muß ganz (universally) in die eine oder andere Prämisse eingehen. Wäre das nicht so, so könnte die eine Prämisse von einem Teil (one part) des Mittelbegriffs handeln und die andere von einem anderen, so daß es überhaupt keinen Mittelbegriff gäbe. So ergibt: "Jedes X ist Y, Jedes Z ist Y" keinen Schlußsatz. Es kann so ausgedrückt werden:

Alle Xs machen einen Teil der Ys aus

Alle Zs machen einen Teil der Ys aus

Bevor wir wissen, ob es überhaupt einen gemeinsamen Vergleichsbegriff gibt, müssen wir irgendwelche Mittel zur Hand haben, um zu zeigen, daß die zwei Teile bis zu einen gewissen Außmaß dieselben sind; oder die vorstehenden Prämissen sind nicht schlüssig.

2. Kein Begriff darf im Schlußsatz allgemeiner auftreten als in den Prämissen; wenn also vom X in einer Prämisse eingeschränkt gesprochen wird, so muß es im Schlußsatz eingeschränkt auftreten. Das ist klar, denn der Schlußsatz kann nicht mehr behaupten als die Prämissen implizieren.

3. Aus zwei negative Prämissen kann kein Schluß gezogen werden. Denn es ist klar, daß die bloße Feststellung der Nicht-Übereinstimmung zweier Dinge mit einem dritten kein Grund sein kann, zwischen diesen beiden Dingen eine Übereinstimmung oder Nicht-Übereinstimmung zu erschließen. Es ist nicht schwierig, jeden Fall, der unter diese Regel fällt, auf einen Teil der ersten Regel zu reduzieren. So ergibt: "Kein X ist Y, kein Z ist Y":

Jedes X ist (etwas, das nicht Y ist) Jedes Z ist (etwas, das nicht Y ist)

[14] wo in keiner Prämisse ein allgemeiner Mittelbegriff steht. [Damit zeigt de Morgan mit dem Mittel der beiderseitigen Quantifikation, daß der allgemein negative Satz nicht auf beiden Seiten allgemein ist, behauptet es aber gleich unbekümmert weiter.] Weiter, "Kein Y ist X, einige Ys sind nicht Zs" kann in

Jedes X ist (ein Ding, das nicht Y ist) Einige (Dinge, die nicht Zs sind,) sind Ys

konvertiert werden, wo es keinen Mittelbegriff gibt.

4. Aus zwei eingeschränkten Prämissen kann kein Schluß gezogen werden. Das ist hinreichend klar, sobald die erste oder die zweite Regel gebrochen wird, wie in "Einige Xs sind Ys, einige Zs sind Ys". Aber es ist nicht unmittelbar ersichtlich, wenn der Mittelbegriff in einer Prämisse allgemein auftritt. Die folgende Überlegung ist als Einübung der bisherigen Ergebnisse dienlich. Da beide Prämisse der Form nach eingeschränkt sind, kann der Mittelbegriff nur als Prädikat eines negativen Satzes allgemein auftreten; folglich (Regel 3) muß die andere Prämisse positiv sein, und da sie eingeschränkt ist, ist keiner der Begriffe allgemein. Folglich treten beide Begriffe, von denen der Schlußsatz handeln soll, eingeschränkt auf, und der Schlußsatz (Regel 2) kann nur ein eingeschränkt positiver Satz sein. Wenn aber eine der Prämissen negativ ist, dann muß der Schlußsatz (wie wir sofort sehen werden) negativ sein. Dieser Widerspruch zeigt, daß die Annahme, zwei eingeschränkte Prämissen erlaubten einen Schluß, unzulässig ist. Was sich de Morgan bei dem konfusen Absatz gedacht hat, ist mit ein Rätsel. Erst waren beide Seiten des allgemein negativen Satzes allgemein, eben war die rechte Seite eingeschränkt, nun offenbar die linke. Dann soll aus einem eingeschränkt positiven und einem allgemein negativen, der doch irgendwie eingeschrankt ist, eine positiver Satz folgen!

5. Wenn eine Prämisse negativ ist, muß der Schlußsatz, falls möglich, negativ sein. Wenn ein Begriff mit einem zweiten übereinstimmt und mit einem dritte nicht übereinstimmt, kann keine Übereinstimmung zwischen dem zweiten und dem dritten gefolgert werden.

6. Wenn eine Prämisse eingeschränkt ist, so muß der Schlußsatz eingeschränkt sein. Das kann so gezeigt werden. Wenn zwei Prämissen P und Q eine dritte R beweisen, dann ist klar, daß P und die Verneinung von R die Verneinung von Q beweisen. Denn P und Q können ohne R nicht wahr sein. Angenommen P (eingeschränkt) und Q (allgemein) beweisen R (allgemein). Dann beweisen P (eingeschränkt) und die Verneinung von R (eingeschränkt) die Verneinung von Q. Aber zwei eingeschränkte Sätze konnen nichts beweisen.

Wir beobachten bei den obigen Syllogismen nur jeweils eine Form, die A oder E oder I erzeugt, aber drei, die O erzeugen.

Ein Satz heiße abgeschwächt, wenn er aus einem allgemeinen in einen eingeschränkten und umgekehrt verstärkt, im entgegengesetzten Fall. So wird "Jedes X ist Z" stärker genannt als "Einige Xs sind Zs".

[15] Alle üblichen Syllogismen, die ein zulässiges Resultat haben, sind entweder einer der vorstehenden sechs oder ein anderer, der aus den sechs durch Konversion eines Satzes, wo sie erlaubt ist oder durch Verstärkung einer Prämisse, ohne den Schlußsatz zu ändern oder beides. So kann

Einige Xs sind Y geschrieben werden als Einige Ys sind Xs
Jedes Y ist Z Jedes Y ist Z
Was daraus folgt, wird auch aus Jedes Y ist X
Jedes Y ist Z

folgen, denn alles, was wahr ist, wenn "Einige Xs sind Ys", ist nicht weniger wahr, wenn "Jedes Y ist X" wahr ist.

Es wäre auch möglich, einen zulässigen Syllogismus durch Abschwächung des allgemeinen Schlußsatzes zu bilden, weil das, was für alle wahr ist, auch für einige wahr ist. "Jedes X ist Y, Jedes Y ist Z", was "Jedes X ist Z" ergibt, ergibt so auch "Einige Xs sind Zs". Aber Logikautoren haben diese Syllogismen immer für überflüssig gehalten, weil sie es für besser hielten, von allen Prämissen immer ihre stärksten Schlußsätze zu folgern. Damit hatten sie zweifellos recht; und die einzige Frage ist, ob es nicht ratsam gewesen wäre, die Prämissen so schwach wie möglich zu machen und keine Syllogismen zuzulassen, in denen mehr erscheint, als absolut für den Schlußsatz erforderlich ist. Wenn das die Praxis gewesen wäre, dann hätte man

Jedes Y ist X, Jedes Y ist Z, daher: Einige Xs sind Zs

für künstlich und aus unnötig übermäßiger Behauptung (assertion) geformt gehalten. Das Minimum an Behauptung wäre in den beiden folgenden enthalten:

Jedes Y ist X, Einige Ys sind Zs, daher: Einige Xs sind Zs

Einige Ys sind Xs, Jedes Y ist Z, daher: Einige Xs sind Zs

In diesem Kapitel sind die Syllogismen in zwei Klassen geteilt: erst die, die einen allgemeinen Schlußsatz beweisen; die zweite die, die eine eingeschränkten Schlußsatz beweisen und die (alle bis auf einen) aus der ersten durch Abschwächung einer der Prämissen so abgeleitet werden, daß ein erlaubter aber abgeschwächter Schlußsatz entsteht. Die Schlüsse der ersten Klasse stehen in der linken, die der zweiten in der rechten Spalte.

allgemein eingeschränkt
A Jedes X ist Y Einige Xs sind Ys I
A Jedes Y ist Z Jedes Y ist Z A
A Jedes X ist Z Einige Xs sind Zs I
Einige Xs sind Ys I
Kein Y ist Z E
Einige Xs sind nicht Zs O
A Jedes X ist Y Jedes X ist Y A
E Kein Y ist Z Einige Zs sind nicht Ys O
E Kein X ist Z Einige Zs sind nicht Xs O
Jedes Y ist X A
. . . . . . Einige Ys sind nicht Zs O
Einige Xs sind nicht Zs O
[16]

In allen (!) Arbeiten über die Logik ist es üblich, die Prämisse zuerst zu schreiben, in der das Prädikat des Schlußsatzes steht. So schriebe man

Jedes Y ist Z Jedes X ist Y
Jedes X ist Y und nicht Jedes Y ist Z
Jedes X ist Z Jedes X ist Z

Die so arrangierten Prämissen werden Major (Obersatz) und Minor (Untersatz) genannt; das Prädikat des Schlußsatzes der Oberbegriff, das Subjekt der Unterbegriff. Die verschiedenen Gegenstände treten also hier in der Reihenfolge Y, Z; X, Y; X, Z auf, und die Anzahl der Reihenfolgen, in der sie auftreten können, ist vier, nämlich

Y Z Z Y Y Z Z Y
X Z X Y Y X Y X
X Z X Z X Z X Z

die man die vier Figuren nennt, und jeden Syllogismus in jeder Figur nennt man einen Modus. Ich werde nun die verschiedenen Modi jeder Figur aufschreiben, deren Kennbuchstaben eine Hilfestellung (a guide) geben die herauszufinden, aus denen sie aus der vorstehenden Liste abgeleitet wurden. Co bedeutet, daß eine Prämisse der vorstehenden Liste konvertiert wurde; + bedeutet, daß sie verstärkt wurde; Co+, daß beide Umwandlungen stattgefunden haben. So deutet Co+ in

A Jedes Y ist Z Jedes Y ist Z A
I Einige Xs sind Ys wird zu Jedes Y ist X: (Co+) A
I Einige Xs sind Zs Einige Xs sind Zs I
[17]

das folgende an: Wenn einige Xs Ys sind, dann sind einige Ys Xs; und das ist alles wahr, wenn Einige Ys sind Xs wahr ist, wenn Jedes Y ist X wahr ist (+) Jetzt versteht man, was de Morgan mir dem strengthening und den anderen merkwürdigen Aussagen, daß vom Ganzen gelte, was für den Teil gilt, meint. Er meint die Umkehrung des aus A konvertierten O wieder nach A, von dem man vorher weiß, daß es A ist, also der verklemmte Umgang mit den beiden allgemein positiven Sätzen ganz A ist Teil von B, und Teil A ist ganz B, der das ganze Altertum und das Mittelalter beschäftigt hat und die kuriosesten Blüten getrieben hat. Die Ablehnung der beiderseitigen Quantifikation geht da etwas merkwürdige Wege und führt dazu, daß - nimmt man das alles beim Wort - gar keine Wissenschaft mehr getrieben werden kann, weil alles Eines ist. Denn wenn vom Teil gilt, was für das Ganze gilt und vom Ganzen gilt, was für den Teil gilt, so gilt laut de Morgans Definition der Identität Alles von Allem.; daher ist der zweite Syllogismus legitim, wenn es der erste ist.

Erste Figur
A Jedes Y ist Z A Jedes Y ist Z
A Jedes X ist Y I Einige Xs sind Ys
A Jedes X ist Z I Einige Xs sind Zs
E Kein Y ist Z E Kein Y ist Z
A Jedes X ist Y I Einige Xs sind Ys
E Kein X ist Z O Einige Xs sind nicht Zs
Zweite Figur
E Kein Z ist Y (Co) E Kein Z ist Y (Co)
A Jedes X ist Y I Einige Xs sind Ys
E Kein X ist Z O Einige Xs sind nicht Zs
A Jedes Z ist Y A Jedes Z ist Y
E Kein X ist Y (Co) O Einige Xs sind nicht Ys
E Kein X ist Z O Einige Xs sind nicht Zs
Dritte Figur
A Jedes Y ist Z E Kein Y ist Z
A Jedes Y ist X (Co+) A Jedes X ist Y (Co+)
I Einige Xs sind Zs O Einige Xs sind nicht Zs
I Einige Ys sind Zs (Co+) O Einige Ys sind nicht Zs
A Jedes Y ist X A Jedes X ist Y
I Einige Xs sind Zs O Einige Xs sind nicht Zs
A Jedes Y ist Z E Kein Y ist Z
I Einige Ys sind Xs (Co) I Einige Xs sind Ys (Co)
I Einige Xs sind Zs O Einige Xs sind nicht Zs
[18]
Vierte Figur
A Jedes Z ist Y (+) I Einige Zs sind Ys
A Jedes Y ist X A Jedes Y ist X
I Einige Xs sind Zs I Einige Xs sind nicht Zs
Der Schlußsatz ist natürlich falsch und lautet: Einige Xs sind alle Zs
A Jedes Z ist Y E Kein Z ist Y (Co)
E Kein Y ist X A Jedes Y ist X (Co+)
E Kein X ist Z O Einige Xs sind nicht Zs
E Kein Z ist Y (Co)
I Einige Ys sind Xs (Co)
O Einige Xs sind nicht Zs

Dies ist die hergebrachte Methode, die Syllogismen aufzuteilen. Aber für den gegenwärtigen Zweck ist es ausreichend, die sechs zu in Betracht zu ziehen, aus denen der Rest abgeleitet werden kann. Und da einige der sechs ein X und nicht ein Z im Prädikat des Schlußsatzes haben, werde ich sie mit den sechs Syllogismen verbinden, die man durch die Vertauschung von Z und X findet. Die vollständige Liste der Syllogismen mit den schwächsten Prämissen, in denen ein Vergleich von X und Z durch den Vergleich beider mit Y erhalten wird, ist also folgende:

Jedes X ist Y Jedes Z ist Y Einige Xs sind Ys Einige Zs sind Ys
Jedes Y ist Z Jedes Y ist X Kein Y ist Z Kein Y ist X
Jedes Y ist Z Jedes Z ist X Einige Xs sind nicht Zs Einige Zs sind nicht Xs
Jedes X ist Y Jedes Z ist Y Jedes X ist Y Jedes Z ist Y
Kein Y ist Z Kein Y ist X Einige Zs sind nicht Ys Einige Xs sind nicht Ys
Kein X ist Z Kein Z ist X Einige Zs sind nicht Xs Einige Xs sind nicht Zs
Einige Xs sind Ys Einige Zs sind Ys Jedes Y ist X Jedes Y ist Z
Jedes Y ist Z Jedes Y ist X Einige Ys sind nicht Zs Einige Ys sind nicht Xs
Einige Xs sind Zs Einige Zs sind Xs Einige Xs sind nicht Zs Einige Zs sind nicht Xs

Die Liste auf Seite 12 war nur eine Wiederholung von Formen, die alle eine Veränderung durch Vertauschung von X und Z erlaubten. Nachdem wir diese Vertauschung gemacht haben und die Ergebnisse wie oben zusammengestellt haben, nehmen wir jeden Fall, in dem Z das Prädikat ist oder durch erlaubte Konversion zum Prädikat gemacht werden kann und [19] erhalten folgendermaßen eine Sammlung aller möglichen schwächsten Formen, in denen das Ergebnis eines der vier ist: "Jedes X ist Z", "Kein X ist Z", "Einige Xs sind Zs", "Einige Xs sind nicht Zs". Die Prämissen werden in der am natürlichsten erscheinenden Form aufgeschrieben, ohne Unterscheidung zwischen Obersatz und Untersatz.

Jedes X ist Y
Jedes Y ist Z
Jedes X ist Z
Einige Xs sind Ys Einige Zs sind Ys
Jedes Y ist Z Jedes Y ist X
Einige Xs sind Zs Einige Xs sind Zs
Jedes X ist Y Jedes Z ist Y
Kein Z ist Y Kein X ist Y
Kein X ist Z Kein X ist Z
Einige Xs sind Ys Jedes Z ist Y Jedes Y ist X
Kein Z ist Y Einige Xs sind nicht Ys Einige Ys sind nichtZs
Jedes X ist Y Jedes X ist Y Einige Xs sind nichtZs

Alles, was von zwei Dingen im Vergleich zu einem dritten behauptet werden kann, also jede einfache Schlußfolgerung, kann auf diese Formen zurückgeführt werden. Wenn eine der Prämissen weggelassen wird, also nur eine Prämisse und der Schlußsatz genannt werden, dann ist die Prämisse impliziert, die den Schluß gültig macht. Wenn ich also sage, "Diese Rasse muß einige der Lebenskünste besessen haben, weil sie aus Asien kam", dann ist klar, daß behauptet wird, daß alle Rassen, die aus Asien kamen, irgend welche Lebenskünste besessen haben müssen. Der Syllogimus lautet dann folgendermaßen:

Diese Rasse ist 'eine Rasse asiatischen Ursprungs.' Jede 'Rasse asiatischen Ursprungs' ist 'eine Rasse, die irgend welche Lebenskünste besessen haben muß.' Daher ist diese Rasse eine Rasse, die irgend welche Lebenskünste besessen haben muß.

Jemand, der die vorstehende Behauptung aufstellt, impliziert entweder schon vor dem Schlußsatz, daß alle Asiaten Künste besessen haben müssen, oder er erzählt Unsinn, wenn er den Schlußsatz [20] positiv behauptet. "X muß Z sein, weil es Y ist", kann nur dann eine Schlußfolgerung sein, wenn "Jedes Y ist Z" gilt. Diesen Satz könnte man als unterdrückte Prämisse bezeichnen; und in diesen unterdrückten Prämissen liegt die größte Fehlergefahr. Es liegt auch an solchen unterdrückten Sätzen, daß Menschen Meinungen vermitteln, die sie freiwillig nicht vertreten würden. So würde der aufrichtige Zeuge, der sagte, "Ich hielt ihn immer für einen ehrbaren Mann, er behielt seinen Job (gig?)", sicher nicht das gleiche in dieser Weise ausgedrückt zugeben: "Jeder, der einen Job behält, muß ehrbar sein."

Ich werde nun einige Veranschaulichungen von solchen Schlußfolgerungen geben: "Seine Charakterschwäche (imbecility of character) mag durch seine Neigung zu Günstlingen hervorgerufen worden sein; denn alle schwachen Prinzen haben diesen Fehler." Das Gesagte würde sehr gut auf die Geschichte passen, und viele würden es als sehr gute Schlußfolgerung bezeichnen. Als geschriebener Syllogismus jedoch lautete es

Alle schwachen Prinzen sind Günstlingen geneigt
Er ist Günstlingen geneigt
Daher: Er war ein schwacher Prinz

was offenkundig falsch ist (Regel 1). Der Schreiber eines solchen Satzes mag meinen, daß alle, die diesen Fehler haben, schwache Prinzen seien; in diesem Fall hätte er richtig geschlossen. Jeder sollte wissen, daß es sehr viele Formfehler beim Schlußfolgern gibt, die durch einen schlechten Stil zustandekommen, was für den ungeübten Leser genauso schädlich ist wie die Irrtümer aus logischen Fehlern im Kopf der Autors.

"X ist kleiner als Y; Y ist kleiner als Z; daher: X ist kleiner als Z". Das scheint auf den ersten Blick ein Syllogismus zu sein. Aber wenn er auf die übliche Form zurückgeführt wird, finden wir

X ist (eine Größe kleiner als Y)
Y ist (eine Größe kleiner als Z)
Daher: X ist (eine Größe kleiner als Z)

was kein Syllogismus ist, weil da kein Mittelbegriff ist. Wir wissen von Euklid: Zwei Größen gleichen einander, wenn sie ein und derselben dritten Größe gleichen. Das ist nicht nur die Grundlage aller mathematischen Beweise, sondern auch der gesamten Logik. Was aber haben wir hier für Größengleichungen? +X = K mal +Y |K<1 +Y = L mal +Z |L<1 Zwei Größen +X und L mal +Z gleichen nicht einer dritten, sondern je einer anderen, K mal +Y und +Y, können also nicht einander gleich sein! Ärgerlich, aber wahr. Mit der Größenlogik ist dieser Schluß kein Problem, denn der ganze Teil des Y ist identisch mit dem Teil des ganzen Y, so daß das ganze X identisch ist mit einem Teil des Teils von Z: +X=(+)Y +Y=(+)Z +X=(+)Z Wie beim vorigen Schluß ist klar, daß die folgende zusätzliche Prämisse gebildet werden muß, um einen logisch richtigen Sachverhalt zu ergeben. "Wenn Y eine Größe kleiner als Z ist, dann ist jede Größe kleiner Y auch kleiner Z". Es besteht also, bevor wir das vostehende in eine syllogistische Form bringen können, die Notwendigkeit der Ableitung [21] und Einsetzung des Ergebnisses anstelle der zweiten Prämisse.

X ist kleiner als Y
Kleiner als Y ist kleiner als Z, was aus Y ist kleiner Z folgt
Daher: X ist kleiner als Z

Aber wenn man die Zusatzannahme untersucht, nämlich, wenn Y kleiner als Z ist, ist das, was kleiner als Y ist, kleiner als Z, dann findet man heraus, daß exakt dieselbe Überlegung widerholt werden muß. Denn die ursprüngliche Schlußfolgerung bestand aus nichts anderem. Tatsächlich kann man leicht sehen, daß der vorliegende Satz mehr beinhaltet als ein einfacher Syllogismus ausdrücken kann. Wenn wir sagen, daß X kleiner als Y ist, dann sagen wir, wenn X auf Y angewendet würde, müßte jeder Teil des X mit einem Teil des Y übereinstimmen, und es gäbe Teile des Y, die übrigblieben. Aber wenn wir sagen, "Jedes X ist Y" und es als Prämisse eines gewöhnlichen Syllogismus verstehen, dann sagen wir, daß jeder Fall des X ein Fall des Y ist, ohne zu sagen, ob noch weitere Fälle von Y übrigbleiben oder nicht, nachdem man die, die X sind, weggenommen hat. Richtig. Wenn wir darauf beharren, die genauste Wissenschaft ungenau zu gebrauchen und statt "Alle X sind eine Teil von Y" sagen "Alle X sind Y, möglicherweise einige, möglicherweise alle". Daß de Morgan ausgerechnet an dieser Kinderei der Tradition festhält, liegt an seinem Streit mit Hamilton. Man muß dies bei vielen eher merkwürdigen Stellen des Texts wie diesen im Kopf behalten: Obwohl er sie ständig anwendet, will er die beiderseitige Quantifikation irgendwie zum Verschwinden bringen, was zwar einige Erkenntnisse, aber mehr Verwicklungen mit sich bringt. Wollen wir dann einen gewöhnlichen Syllogismus aufschreiben, der "X ist kleiner als Y, Y ist kleiner als Z, daher: X ist kleiner als Z" entspricht, dann müssen wir präzisere Behauptungen einführen (a more definite amount of assertion), als wir es bisher gemacht haben. Etwa so:

Jedes X ist Y, und es gibt Ys, die keine Xs sind
Jedes Y ist Z, und es gibt Zs, sie keine Ys sind
Daher: Jedes X ist Z, und es gibt Zs, die keine Xs sind

Oder so:

Die Ys beinhalten alle Xs und noch mehr
Die Zs beinhalten alle Ys und noch mehr
Die Zs beinhalten alle Xs und noch mehr

Die most technical Form ist jedoch:

Aus Jedes X ist Y; [Einige Ys sind nicht Xs]
Jedes Y ist Z; [Einige Zs sind nicht Ys]
folgt: Jedes X ist Z; [Einige Zs sind nicht Xs]

Solche Argumente nennt man à forteriori Argumente, weil die Prämissen mehr beinhalten als für den Schlußsatz erforderlich ist, und der Umfang des Schlußsatzes umfaßt daher mehr als es die einfache Form anzeigen würde. So bedeutet: "X ist kleiner als Y, Y ist kleiner als Z, [22] daher ist X à forteriori kleiner als Z", daß der Umfang, um den X geringer als Z ist, größer sein muß als der, um den X geringer als Y oder Y geringer als Z sein muß. Im letzten Syllogismus kann jede der in eckigen Klammern stehenden Prämissen weggestrichen werden, ohne den Schlußsatz zu zerstören, er wäre jedoch abgeschwächt. So, wie er da steht, folgt der Schlußsatz "Einige Zs sind nicht Xs" à forteriori.

Das à forteriori-Argument könnte man als einen allgemein positiven Syllogismus definieren, in dem gezeigt wird, daß beide Prämissen weniger (less) oder mehr (greater) als die ganze Wahrheit sind. So implizieren wir in "Jedes X ist Y, Jedes Y ist Z, daher: Jedes X ist Z", nicht mit Sicherheit, daß es mehr Ys als Xs gibt oder mehr Zs als Ys, so daß wir nicht wissen, ob es mehr Zs als Xs gibt. Aber wenn es uns freisteht, den Syllogismus folgendermaßen aufzustellen:

Alle Xs sind ein Teil (und nur ein Teil) der Ys Jedes Y ist Z,

dann können wir mit Sicherheit sagen,

Alle Xs sind ein Teil (und nur ein Teil) der Zs.

Und wenn es uns weiter freisteht zu sagen:

Alle Xs sind ein Teil (und nur ein Teil) der Ys Alle Ys sind ein Teil (und nur ein Teil) der Zs

dann können wir schließen

Alle Xs sind (nur) ein Teil des Teils der Ys,

wobei die kursiven Wörter die Eigenschaft des Schlußsatzes kennzeichnen, wegen der die Beweisführung à forteriori genannt wird.

Im Schluss [+]X=(+)Y [+]Y=(+)Z [+]X=(+)Z sind die Forderungen de Morgan’s verwirklicht. Es gibt in den Seinsgleichungen keine überstehenden Teile, die nicht zum Satz gehören (02/2018).

Die meisten Syllogismen, die einen positiven Schlußsatz ergeben, sind allgemein so gemeint, daß sie à forteriori-Beweise implizieren, Ausnahme ist die Mathematik. Selten stoßen wir - außer in den exakten Wissenschaften - auf einen Satz "Jedes X ist Z", den wir nicht unmittelbar mit "Einige Zs sind nicht Xs" verbinden können.

Wenn eine Beweisführung vollkommen aufgestellt ist, mit Ausnahme nur eines Satzes, so daß der Schluß gezogen werden kann, sobald dieser eine Satz aufgestellt wird, dann wird das Ergebnis in einer Form ausgedrückt, die den Namen hypothetischer Syllogismus trägt. Das Wort Hypothese bedeutet nichts anderes als Annahme. Und diese Syllogismen­art stellt als erstes die Behauptung auf, daß eine Schlußfolgerung wahr ist, wenn eine bestimmte Bedingung erfüllt ist und [23] stellt dann entweder die Erfüllung dieser Bedinung und damit der Schlußfolgerung fest oder aber leugnet die Schlußfolgerung und damit die Erfüllung der Bedingung. Wenn wir also wissen

Wenn: X ist Z, folgt: P ist Q,

dann können wir schließen, sobald wir wissen, X ist Z, daß: P ist Q. Oder wenn wir zeigen können, P ist nicht Q, dann wissen wir, X ist nicht Z.Wenn wir aber finden, X ist nicht Z, können wir nichts schließen, denn das Vorstehende behauptet nicht, daß P nur dann Q ist, wenn X ist Z. Auch wenn wir herausfinden, P ist Q, können wir nichts schließen. Dieser bedingte Syllogismus kann folgendermaßen in einen normalen Syllogismus umgewandelt werden. K sei irgendein "Fall, in dem X ist Z" ist und V ein "Fall, in dem P ist Q" ist, dann beläuft sich die vorstehende Behauptung auf "Jedes K ist V". L sei ein bestimmter Fall, in dem dessen X ist Z sein kann oder auch nicht. Wenn die Fälle X ist Z oder X ist nicht Z zutreffen können, dann haben wir sowohl

Jedes K ist V Jedes K ist V
L ist ein K L ist nicht ein K
Daher: L ist ein V kein Schlußsatz

Und als eingeschränkten Fall: M ist oder ist nicht V, erhalten wir

Jedes K ist V Jedes K ist V
M ist ein V M ist nicht ein V
kein Schlußsatz M ist nicht ein K
Diese Ehrenrettung der stoischen Logik für Doofe gerät zur Farce, wenn man z. B. im ersten Schluß für K, V, L Gleichungen einsetzt: X=Z und P=Q X=Z und X=Z X=Z und P=Q

Das bedeutet, die Behauptung einer Hypothese ist die Behauptung ihrer notwenigen Folgerung, die Leugnung der notwendigen Folge ist die Leugnung der Hypothese: aber die Behauptung der notwendigen Folge gibt nicht das Recht, die Hypothese zu behaupten, noch gibt die Leugnung der Hypothese das Recht, das zu leugnen, was die notwendige Folge wäre, wenn die Hypothese wahr wäre.

Ein Beweis kann auf zwei Arten geführt werden: was daraus folgt, daß jeder Satz einen Widerspruch hat, und von diesen beiden muß einer falsch, der andere wahr sein. Wir können entweder beweisen, daß ein Satz wahr ist oder daß sein Widerspruch falsch ist "Wahr ist: Jedes Y ist X, und falsch ist: Einige Xs sind nicht Ys", sind derselbe Satz; und den Beweis des einen nennt man den indirekten Beweis des anderen.

[24] Aber wie beweist man, daß irgend ein Satz falsch ist, außer durch den Nachweis der Wahrheit des widersprüchlichen Satzes? Indem man nachweist, daß eine notwendige Folge des Satzes falsch ist. Aber das ist keine vollständige Antwort, weil sie notwendigerweise dasselbe [den Nachweis der Wahrheit des widersprüchlichen Satzes] beinhaltet; kann ein Satz solange nicht als falsch bewiesen werden, bezogen auf das jetzige Beispiel, bis nicht ein anderer als falsch nachgewiesen wird. Aber es kann vorkommen, daß eine notwenige Folgerung erlangt werden kann, die offensichtlich und selbstverständlich falsch ist, in welchem Fall kein weiterer Beweis der Falschheit der Hypothese mehr notwendig ist. So Euklids Beweis, daß alle gleichwinkligen Dreiecke gleichseitig sein müssen De Morgan meint die Aufgabe 6 aus dem ersten Buch der Elemente. Dort ist zwar nur von einem gleichschenkligen Dreieck die Rede, aber der Beweis für das gleichseitige Dreieck folgt daraus: "Wenn in einem Dreieck zwei Winkel einander gleich sind, müssen auch die den gleichen Winkeln gegenüberliegenden Seiten einander [AB und AC] gleich sein...Wäre nämlich AB ungleich AC, so wäre von ihnen die eine größer...das kleinere dem größeren [gleich]; dies wäre Unsinn". ; er ist logisch gesehen folgendermaßen aufgebaut:

1. Gäbe es ein gleichwinkliges Dreieck, das nicht gleichseitig ist, so gäbe es ein Ganzes, das nicht größer als sein Teil wäre. In diesem Satz erschöpft sich nahezu der gesamte Beweis Euklids.

2. Es ist falsch, daß es irgend ein Ganzes geben könnte, das nicht größer als sein Teil wäre (sebstverständlich).

3. Daher ist es falsch zu sagen, es könne irgend ein gleichwinkliges Dreieck geben, das nicht gleichseitig wäre, oder: alle gleichwinkligen Dreiecke sind gleichseitig.

Wenn ein Beweis durch die Wahrheit der Dinge, die er enthält, aufgestellt wird, so nennt man diesen Beweis direkt. Wenn durch den Beweis der Falschheit jedes widersprechenden Satzes, wird er indirekt genannt. Diese Beweisart ist genauso logisch wie die direkte aber nicht so einfach. Deshalb wendet man wo immer möglich den direkten Beweis an.

Der Gebrauch des indirekten Beweises in Euklids Elementen ist fast ausschließlich auf die Sätze beschränkt, in denen die Konversionen einfacher Sätze bewiesen werden. Es geschieht oft, daß aus einer aufgestellten Behauptung der Form

Jedes X ist Z (1)
leicht die Bedeutung von
Jedes (Ding nicht X) ist nicht Z (2)
gefolgert werden kann, was schließlich
Jedes Z ist X (3)
Das trifft nur zu, wenn X und Y identisch sind. Andernfalls kann man nur folgern, daß alle nicht-Z (Teil der) nicht-X sind.

ergibt.

[25] Die Konversion des zweiten Satzes in den dritten wird normalerweise durch einen indirekten Beweis so geführt: Es sei ein Z De Morgan faßt die beiden Seiten des allgemein negativen Satzes als allgemein auf, "ein Z" wäre also eingeschränkt und demnach falsch. möglich, das nicht X ist, und (2) sei wahr. Dann gibt es ein Ding, das nicht X ist und das Z ist; aber jedes Ding, das nicht X ist, ist nicht Z; also gäbe es ein Ding, das Z und nicht Z wäre, was absurd ist. Folglich ist es absurd, daß es ein Ding gibt, das nicht X ist, oder, "Jedes Z ist X".

Der folgende Beweis enthält eine häufig gebrauchte Methode.

Hypothese. Gegeben sei eine Anzahl von Sätzen oder Behauptungen, etwa drei, X, Y und Z, von denen eine und nur eine wahr sein muß. Weiter seien drei andere Sätze P, Q und R gegeben, von denen ebenfalls einer und nur einer wahr sein muß. Ferner sei eine Verbindung zwischen diesen Behauptungen gegeben:

Wenn X wahr ist, ist P wahr
Wenn Y wahr ist, ist Q wahr
Wenn Z wahr ist, ist R wahr
Konsequenz: Dann folgt daraus
Wenn P wahr ist, ist X wahr
Wenn Q wahr ist, ist Y wahr
Wenn R wahr ist, ist Z wahr

Denn wenn P wahr ist, müssen Q und R falsch sein; folglich können weder Y noch Z wahr sein, weil dann Q und R wahr wären. Aber eins von den Dreien X, Y oder Z muß wahr sein, daher muß X wahr sein. Oder, wenn P wahr ist, ist X wahr. Und ähnlich können die übrigen Behauptungen bewiesen werden.

Fall 1: P = Q X = Z
P ≠ Q X ≠ Z
Daraus folgt X = Z P = Q
X ≠ Z P ≠ Q
Fall 2: X > Z P > Q
X = Z P = Q
X < Z P < Q
Daraus folgt P > Q X > Z
P = Q X = Z
P < Q X < Z

[26]

Kapitel 2, Gegenstände, Ideen und Namen

Logik ist von einem griechischen Wort (logos) abgeleitet, und bedeutet die Verbindung der Gedanken, normalerweise durch die Sprache. Es ist der Name, der normalerweise dem Zweig der Forschung (nenne sie Wissenschaft oder Kunst) gegeben wird, in dem die Handlung des Geistes beim Denken the act of the mind in reasoning betrachtet wird, besonders in Verbindung des Denkens mit der Sprache. Aber keine bisher gegebene Definition in wenigen Worten war bislang für die Mehrzahl der denkenden Menschen zufriedenstellend.

Alle existierenden Gegenstände dieser Erde, die ein Bewußtsein ihrer eigenen Existenz haben, die einen mehr, die anderen weniger haben, die Kraft des Denkens, begleitet accompanied durch die Wahrnehmuung, was die Erwekkung des Denkens durch die Einwirkung äußerer Gegenstände auf die Sinne ist. Mit Denken meine ich hier alle geistigen Handlungen, nicht nur die vergleichsweise hochentwikkelten, die dem Menschen eigen sind, sondern auch die auf den gleichen Gegenstand gerichteten eines niedrigeren Grades, die alle Tiere zu haben scheinen.

In bezug auf den Geist, als komplizierten Apparat betrachtet, den es zu studieren gilt, sind wir nicht so gut ausgerüstet, wie jemand, der den Mechanismus einer Uhr studieren wollte, und der nur die Funktionen der Zeiger sehen dürfte, aber nicht, was sich im Inneren abspielt. Ein Mechaniker, dem zum ersten Mal eine Uhr vorgelegt würde, wäre in der Lage, uns durch seine Kenntnis anderer Erfindungen einen Eindruck ihrer Struktur zu geben Vermutlich könnte er, sobald er das Bewegungsgesetz der Zeiger untersucht hätte, auf 50 verschiedene Weisen ein Instrument mit ähnlichen Eigenschaften erfinden. Aber im Falle des Geistes haben wir nur Erscheinungen, ohne die geringste Fähigkeit der Bezugnahme auf ähnliche Dinge oder das geringste Wissen der Struktur oder Vorgänge, außer dem, was aus diesen Erscheinungen abgeleitet werden kann. Es ist das Problem mit der Uhr für die, die noch nie irgend einen Mechanismus gesehen haben.

[27] Wir haben nicht mehr mit der Wissenschaft des Geistes zu tun, die man gewöhnlich Metaphysik Alle Systeme machen die Voraussetzung, daß der Prozeß in allen Geistern gleichermaßen ablaufe und zu einem gewissen Maß ausgeführt wird, das zu untersuchen der Gegenstand einer speziellen Untersuchung sei. Es gibt wenige Autoren, die uns so viel Muß mit so wenig Warum geben wie die Metaphysiker. Wenn Personen, die nur das Äußere der Uhr gesehen hätten, Maschinen erfinden müßten, die ihren Zweck erfüllen sollten, so könnten sie zu ihrem Gegenstand auf sehr vielen Wegen gelangen. Der eine könnte das Pendel und Gewicht benutzen, der andere die Federung und das Gleichgewicht; ein anderer könnte die Kombination der Zahnräder entdecken, wieder ein anderer kompliziertere Aktionen von Hebeln über Hebeln. Sind wir sicher, daß es in unserem Geist nicht ebensolche Unterschiede gibt, wie dieses Beispiel per Analogie suggerieren könnte? Und wenn ja, wie sind wir sicher? Wenn unser Geist ein Tisch mit vielen Beinen wäre, wissen wir dann, daß ein Gewicht, legte man es auf verschiedene Tische, von allen Tischen in der gleichen Weise getragen würde? Könnte nicht das gleiche Bein im einen Geist das meiste oder das ganze Gewicht tragen und wenig oder gar nichts im anderen? Ich habe treffende Beispiele wie dies bei denen, die die Grundlagen der mathematischen Wissenschaft untersuchen, gesehen. Ich würde keinen Studenten von metaphysischen Untersuchungen abbringen; im Gegenteil ich würde mich bemühen, den Wunsch nach Befasung mit diesen Gegenständen zu fördernn: aber ich würde ihn davor warnen sich vorzusehen, daß er sich nicht den eigenen Kopf verbrennt, wenn er mit einer Kerze in der Hand in seinen eigenen Hals hinunterleuchtet. nennt, als einige sehr wenige notwendige distinctions aufzuzeigen, die, welche Namen wir ihnen auch immer geben, sachlich mit unserem Gegenstand verbunden sind. Die einen bevorzugen dieses, die anderen jenes System der Metaphysik, um sie auszudrücken; but still they are matters of observed fact. Unsere Wörter müssen sehr unvollkommene Symbole sein, die aus dem Vergleich der Gedankenerscheinungen mit den Dingen des körperlichen Seins gezogen werden. Zum Beispiel sprach ich gerade vom Geist als einem Apparat oder Mechanismus. Er ist eine Struktur bestimmter Art, die die Mittel hat, die verschiedensten Ziele zu verwirklichen; und insofern ähnelt sie der Hand, die durch die Anordnung von Knochen und Muskeln dazu gebracht werden kann, eine immense Vielfalt von verschiedenen Bewegungen und Griffen auszuführen. Wo die Ähnlichkeit beginnt aufzuhören und warum, können wir nicht wissen.Aller Wahrscheinlichkeit nach bräuchten wir neue Wahrnehmungsorgane neben dem Sehen, Hören und Fühlen, damit wir den Gedanken kennen, wie wir die Farbe, Größe oder die Bewegung kennen. Aber der Zweck der vorliegenden Abhandlung ist nur die Untersuchung einiger Erscheinungen der Denkfähigkeit in ihrer Beziehung zur Sprache, in der sie ausgedrückt werden. Die Erkenntnis des Denkens und die Erkenntnis der Ergebnisse des Denkens [28] sind zwei vollkommen verschiedene Dinge. Die Funktion der Zeiger der erwähnten Uhr mag entdeckt, sie mag dazu gebraucht werden, die Längen (oder gar Breiten) auf der ganzen Welt herauszufinden, ohne daß man die geringste Idee von ihrer inneren Struktur hat.

Daß unser Geist, unsere Seele oder unsere Denkfähigkeit (wir mögen es nennen, wie wir wollen) existiert, ist von allen Dingen etwas, über das jeder sicher ist. Gleich daneben kann nichts sicherer sein als daß andere Dinge ebenso existieren, unser Geist, unser eigener Körper, die ganze materielle Welt. Aber zwischen dem Charakter dieser beiden Sicherheiten ist ein enormer Unterschied. Jeder, der seine eigene Existenz ernsthaft leugnete, würde für indiskutabel gehalten werden: er kennt entweder die Bedeutung seiner Worte nicht, lügt oder ist verrückt. Aber wenn derselbe Mensch leugnen würde, daß alle anderen Dinge außer ihm selbst existierten, das bedeutet, daß die ganze Schöpfung ein Traum seines eigenen Geistes wäre, dann wäre er absolut unwiderlegbar. Wenn ich (der weiß, daß er unrecht hat, weil ich meiner eigenen Existenz sicher bin) mit ihm streite und ihn zum Schweigen bringe, dann könnte das nicht mehr sein als das, was in seinem Traum passiert Es ist nicht unmöglich, daß sich jemand in einem wirklichen Traum sich einen Gegner erschaffft, der ihn in einem Argument schlägt oder beweist, daß er wach ist.. Ein gefeierter Metapysiker, Berkeley, behauptete, daß das obige in Bezug auf die Materie der Fall sei: daß unser Eindruck von der Materie nur ein durch den Schöpfer vermittelter Eindruck wäre, ohne irgendwelche Ursache der Vermittlung.

Unser überzeugendster vermittelbarer Beweis der Existenz anderer Dinge ist nicht die Erscheinung der Objekte, sondern die Notwendigkeit zuzugeben, daß es neben unserem eigenen den Geist anderer gibt. Die äußeren nicht belebten Dinge könnten Schöpfungen unseres eigenen Verstandes sein oder Denk- oder Wahrnehmungsfunktionen. Sie sind es auch manchmal, im Wahnsinn, in dem sich der Geist oft selbst teilweise oder ganz seine eigene äußere Welt schafft. Aber wenn wir andere Wesen sehen, die ähnliche Funktionen ausführen wie wir selbst es tun, so kommen wir unwiderstehlich zu dem Schluß, daß es andere Empfindungsfähige außer uns selbst geben muß und daß wir jemanden, der das bezweifelt, eher mit jemandem vergleichen müßten, der seine eigene Existenz bezweifelt, als mit jemandem, der die äußere Existenz der materiellen Welt bezweifelt.

[29] Haben wir einmal verschiedene und unabhängige Geister [minds, der Plural hört sich im Deutschen blöd an, muß aber hier stehen] zugegeben, dann folgt die Realität äußerer Gegenstände (außerhalb aller dieser Geister) als selbstverständlich. Denn verschiedene Geister empfangen gleichzeitig Eindrücke, deren Ähnlichkeit als ähnlich zu erkennen ihre Kommunikationsfähigkeit ihnen erlaubt, soweit irgend welche Eindrücke, einer in jedem Geist, als ähnlich erkannt werden können. Es muß ein Etwas unabhängig von diesen Geistern geben, das so auf alle gleichzeitig und ohne ihre geringste Wahlmöglichkeit auf sie wirkt. Dieses Etwas nennen wir einen äußeren Gegenstand; und ob er aus Berkeley's Art herrührt oder irgendeiner anderen, spielt hier keine Rolle.

Wir werden also als erwiesen annehmen, daß äußere Gegenstände wirklich existieren, unabhängig von dem Bewußtsein, das sie wahrnimmt. Und das bringt uns zu einer wichtigen Distinktion, die wir durch diese ganze Arbeit mit uns führen [carry with] werden. Neben dem wirklichen äußeren Gegenstand ist auch das Bewußtsein, das ihn empfindet und das wir (in Ermangelung besserer Wörter oder der Erkenntnis, ob sie gute oder schlechte Wörter sind) das Bild dieses Gegenstandes im Bewußtsein nennen müssen oder die Idee, die sie vermittelt. Der Begriff Subjekt wird von den Metaphysikern auf das empfindende Bewußtsein angewandt. So sagt man, daß ein Ding für subjektiv gehalten werde (in Bezug auf das, was im Bewußtsein ist), oder für objektiv (in Bezug auf das, was unabhänig von jedem einzelnen Bewußtsein ist). Aber die Logiker gebrauchen das Wort Subjekt in einem anderen Sinn. In einem Satz wie "Brot ist gesund", wird das Ding, "Brot", von dem gesprochen wird, das Subjekt des Satzes genannt. Und tatsächlich wird in der Umgangssprache das Wort Subjekt oft mit dem Gegenstand [object] durcheinandergebracht, daß es fast hoffnungslos ist, zu Anfängern über sich selbst deutlich als Subjekte zu sprechen. Ich werden daher die Wörter ideell und gegenständlich [objective], Idee und Gegenstand [object] für so gut wie irgend welche anderen Begriffe, aber für besser als Subjekt und Objekt für eine Arbeit über die Logik halten.

Das Wort Idee, wie es hier gebraucht wird, hat nicht den unklaren Sinn, in dem es allgemein benutzt wird, als ob es eine Meinung wäre, die richtig oder falsch sein kann. Es ist das, was der Gegenstand dem Bewußtsein gibt, oder der Zustand des Bewußtseins, der durch den Gegenstand erzeugt wird. So ist die Idee des Pferdes das Pferd im Bewußtsein: und wir kennen kein anderes Pferd. Wir geben zu, daß es einen äußeren Gegenstand gibt, ein Pferd, der ein Pferd im Bewußtsein 20 verschiedener Personen ergibt, aber keiner dieser 20 kennt den Gegenstand; jeder kennt nur seine Idee. [30] Es gibt diesen Gegenstand, weil jeder der 20 Personen eine Idee empfängt, ohne mit den anderen zu kommunizieren. Also ist da etwas Äußeres, das sie ihnen gibt. Aber wenn sie über sie unter dem Namen des Pferdes sprechen, so sprechen sie über ihre Idee. Sie beziehen sich alle auf den Gegenstand, der das Ding sei, über das sie sprechen, bis zu dem Moment, wo sie anfangen, unterschiedlicher Meinung zu sein. Und dann fangen sie an, nicht über äußere Pferde zu sprechen, sondern über Eindrücke auf ihr Bewußtsein; wenigstens ist das bei denen der Fall, die wissen, was Erkenntnis ist, der positive (?) und gedankenlose Teil von ihnen spricht immer noch von einem Pferd. Und diese letzteren haben einen großen Vorteil Der eine behauptet eine Tatsache seines eigenen Bewußtseins, ein anderer versichert seine volle Überzeugung der gegenteiligen Tatsache. Beide benutzen die Evidenz ihrer Sinne: aber der zweite weiß, daß volle Überzeugung alles ist, was der Mensch haben kann. Der erste wird die Angelegenheit vor einen Gerichtshof tragen, in dem die Personen ständig gezwungen sind zu schwören, nicht nur, daß sie einen Eindruck haben, sondern daß der Eindruck richtig ist; das heißt, der Eindruck ist, den die Menschheit im allgemeinen haben würde und haben muß und haben sollte. gegenüber den anderen mit denen, die wie sie selbst sind.

Warum führen wir den Begriff Gegenstand überhaupt ein, wo doch alle unsere Erkenntnis in Ideen liegt? Aus demselben Grund, aus dem wir den Begriff Materie in die Naturphilosophie einführen, wo doch alles, was wir kennen Form, Größe, Farbe, Gewicht usw. ist, von denen kein einziges Materie ist, noch alle zusammen. Es ist zweckmäßig [convenient], ein Wort für die äußere Quelle zu haben, materiell oder nicht, aus der alle sinnlichen Ideen erzeugt werden. Und es ist genauso zweckmäßig, ein Wort für die äußere Quelle zu haben, materiell oder nicht, aus der jede Idee erzeugt wird. Noch einmal, warum sprechen wir von unserer Fähigkeit, Dinge entweder ideell oder gegenständlich zu bedenken, wenn, wo wir nichts außer Ideen kennen können, wir nicht das Recht haben, über irgend etwas anderes zu sprechen? Die Antwort ist, daß, wenn wir von einem Gegenstand sprechen, wir von der Idee eines Gegenstandes sprechen.Wir lernen, von der äußeren Welt zu sprechen, weil es andere außer uns selbst gibt, die zweifelsohne Ideen aus denselben Quellen beziehen wie wir selbst. Daher kommen wir zu der Idee dieser Quellen, die Idee der äußeren Gegenstände, wie wir sie nennen. Aber wir kennen diese Quellen nicht; wir kennen nur die Ideen von ihnen.

Wir können die Begriffe ideell und gegenständlich sogar in einer metaphysisch scheinenden Weise gebrauchen. Wenn wir wie hier in diesem Kapitel von uns selbst sprechen, als wären wir Beobachter unseres eigenen Geistes, dann sprechen wir gegenständlich [31] von unserem Geist. Dabei muß man im Kopf behalten, daß das Wort Gegenstand nicht nur einen materiellen Gegenstand bedeutet. Der Geist eines anderen, irgend einer seiner Gedanken oder Gefühle, eine Beziehung eines Geistes zu einem anderen, ein Friedensvertrag, eine Schlacht, eine Diskussion über ein kontroverses Thema, das Recht, Grundbesitz zu übertragen, - das alles sind Gegenstände, die unabhängig von den Personen oder Dingen sind, die an ihnen beteiligt sind. Sie sind Dinge außerhalb unseres Bewußtseins, von denen wir eine Idee haben Weil er die Größe nicht findet bzw. sich gegen sie sträubt aber weiß, daß die Logik einen Gegenstand haben muß, der allen untersuchten A, B, C gemein ist, findet er die Ideen der externen Objekte und die Ideen der Ideen, die andere auch haben, als gemeinsames "Maß". Der Geist des jeweils anderen Logiktreibenden, Ideen, Gefühle geschichtliche Fakten, also alles, was explizit jetzt nicht in meinem Hirn ist, ist auch außerhalb des eigenen Geistes und somit irgendwie mit den materiellen und nicht materiellen Dingen als objektiv und außerhalb des Geistes des Logiktreibenden zu betrachten. Das ist aber reine Tautologie. Eine Erklärung für die Kommensurabilität der Welt und der Logik, Idee und Materie, ist das nicht. Die Logik der Größen backt zunächst kleinere Brötchen – qualitativ. Quantitativ die größten, indem sie als gemeinsames Maß die Größe aller Dinge, also die Größe des Alls nimmt und zeigt, daß hier tatsächlich Objekt und Idee kommensurabel sind..

Ein Gegenstand vermittelt eine Idee, aber daraus folgt nicht, daß jede Idee durch einen Gegenstand vermittelt ist. Der Geist kann auf viele Arten Ideen schaffen, oder er kann wenigstens durch die Kombination von Dingen, die nicht in der äußeren Welt zu finden sind, neue Ideen zusammenstellen. Wir haben eine vollkommen distinkte Vorstellung von einem Einhorn oder einem fliegenden Drachen. Wenn wir sagen, solche Dinge gibt es nicht, dann meinen wir das nur gegenständlich; ideell haben sie ebenso Existenz wie ein Pferd oder ein Schaf; ?to a herald, more.? Nimm jetzt noch hinzu, daß der Geist Ideen in Teile zerlegen kann und zwar so, daß die Teile allein nicht mehr Ideen eines getrennten materiellen Gegenstands sind, genausowenig wie die Buchstaben eines Wortes nicht die konstituierenden Teile der Bedeutung des Ganzen sind. So erhalten wir das, was man Qualität und Relation nennt. Ein Ball kann hart und rund sein oder kann Härte und Rundheit haben, wir können aber nicht sagen, daß Härte und Rundheit getrennte äußere materielle Gegenstände sind, obwohl sie Gegenstände sind, die unsere Wahrnehmung bestimmter Gegenstände notwendig begleiten. Diese Ideen werden abstrakt genannt, weil sie von der komplexen Idee, die sie erzeugt, abgezogen oder abstrahiert werden. Die Abstraktion wird durch den Vergleich oder die Beobachtung von Ähnlichkeiten gemacht. Wenn jemand noch nie einen runden Gegenstand mit Ausnahme eines Apfels gesehen hat, würde er die Rundheit vielleicht nie als distinkten Gegenstand der Erkenntnis ansehen. Sieht er dann aber einen anderen runden Gegenstand, der kein Apfel ist, würde er sofort durch die Wahrnehmenung der Ähnlichkeit eine getrennte Idee der Sache erlangen, in der sie einander ähneln.

Abstraktion wird nicht nur von den Ideen materieller Gegenstände vorgenommen. Zum Beispiel erhalten wir von der Durchführung irgend eines Verhaltens, das eine bestimmte Anzahl von Handlungen durch eine Anzahl von Personen durchführt, die Idee der Güte, Schlechtheit, des Talents oder Mutes. Aber wir dürfen nicht denken, daß wir eine ideelle äußere Repräsentation dieser Wörter machen können. Sie sind Gegenstände, das heißt, der Geist betrachtet sie als außer sich selbst (seiend); aber sie sind keine materiellen Gegenstände. [32] Einige Leute leugnen ihre Existenz und sehen sie nur als abstrakte Wörter an, oder als Wörter, bei denen wir nur von Geistern oder Körpern sprechen, ohne dabei irgend etwas anderes anzugeben, als das, was eine der Ideen durch einen dieser Geister oder Körper hervorgerufen hat. Zum Beispiel behaupten sie, wenn wir sagen, "Wissen ist Macht", daß es richtig sei, daß Personen mit Wissen fähig seien oder Macht hätten, etwas zu erzeugen oder zu tun, was Leute ohne nicht könnten. Um solche Fragen will ich mich hier nicht kümmern.

Wenn man sieht, daß der Geist die Fähigkeit hat, neue Ideenkombinationen herzustellen und auch, aus komplexeren Ideen die einfacheren zu abstrahieren, so scheint es natürlich zu sagen, daß sie zusammengesetzt sind. Lange war es eine Streitfrage unter den Metaphysikern, ob der Geist eigene Ideen besitzt, die er unabgängig von jedem äußeren Einfluß hat. Es ist nicht nötig, daß ich dem Studenten irgend einen Schluß über diese Angelegenheit nahelege Auf mich hat diese Frage immer den folgenden Eindruck gemacht: Es gibt Haken, die mit Gewißheit Fische fangen, wenn man sie ins Wasser hält und die mit Sicherheit ins Wasser gehalten worden sind. Also gibt es Fische unter den Haken. Möglicherweise hingen diese Fische an einigen von den Haken, als sie ins Wasser gehalten wurden. Die Untersuchung der Frage, ob das so war oder nicht, ist solange zwecklos, bis eine Unterscheidung zwischen den Fischen gemacht wird, etwa, ob einige von ihnen in dem Wasser gezüchtet worden sind, in das die Haken gehalten wurden. Der Geist hat mit Sicherheit die Fähigkeit, Ideen zu erwerben und sich zu merken, eine Fähigkeit, die er ausüben muß, wenn er in Kommunikation mit der Außenwelt tritt. Man kann keinen Geist untersuchen, außer einen, der bereits eine solche Kommunikation ausgeführt hat. Kann man da Ideen finden, die zu der Vermutung Anlaß geben, daß sie nicht durch diese Kommunikation erworben worden seien? Metaphysiker scheinen anzunehmen admit, daß, wenn es irgend welche angeborenen Ideen gibt, dies die von Raum und Zeit seien und von Ursache und Wirkung. Sie scheinen auch anzunehmen, daß, wenn es Ideen gibt, die nicht angeboren sind, diese erworben worden sind, they are these very ones??, denn unser Zweck, die Unterscheidung zwischen Ideen und Gegenständen, auch wenn sie falsch wäre, ist von größerer Wichtigkeit als die zwischen angeborenen und erworbenen Ideen, auch wenn sie wahr wäre. Nur eines dieser beiden Dinge muß wahr sein: Entweder haben wir Ideen, die wir nicht durch die Vermittlung der äußeren Welt (Experiment, Versuch oder unsere Sinne) erwerben, oder es gibt eine Fähigkeit des Geistes, Sicherheit und Allgemeingültigkeit zu erlangen, die das Experiment allein nicht richtig geben könnte. Zum Beispiel sind wir wie von unserer eigenen Existenz davon überzeugt, daß Sieben und Drei zusammengenommen dasselbe ergeben wie Fünf und Fünf, was immer die Gegenstände sein mögen, [33] die gezählt werden: Es ist wahr für Finger, Kiesel, Zähler, Schafe Lange vor der Entdeckung der Zahlen und der Mathematik konnte der sumerische Schafhirte mit Sicherheit feststellen, ob die Anzahl seiner Schafe, die er morgens auf die Weide getrieben hat mit der, die er abends wieder in den Stall brachte, identisch war oder nicht: Morgens nahm er eine Handvoll Kieselsteine (lat: calculus) und legte für jedes Schaf, das er auf die Weide ließ, einen Kiesel in einen Behälter, aus dem er ihn abends in umgekehrter Reihenfolge wieder herausnahm. Blieben Kiesel übrig, so fehlten noch Schafe, kamen mehr Schafe als Kiesel im Behälter, so hatte er welche von seinem Nachbarn eingefangen. Vgl. Georges Ifrahs Universalgeschichte der Zahlen. Diese schlichteste aller mathematischen Operationen die Eins:Eins-Zuordnung zweier Mengen, hat in Cantors Größen- oder Mengenlehre und in der modernen Zahlentheorie wieder ihren blabla gefunden., Bäume, usw.usw.usw. Wir können die Sicherheit darüber nicht durch die Erfahrung erlangen. Wir wissen zum Beispiel, daß es am Nordpol Kieselsteine gibt, obwohl wir noch nie dort waren, wir sind uns dessen so sicher wie unserer eigenen Existenz. Wir haben nicht nur die rationale Überzeugung, daß dies für den Nordpol zutrifft, weil es so an jedem Ort ist, an dem es untersucht wurde; wenn wir sonst nichts hätten, hätten wir dies. Aber wir fühlen, daß diese geringere durch eine größere Überzeugung verschlungen wird. Wir haben die geringere Überzeugung, daß die Kieselsteine am Pol auf den Boden fallen, wenn sie losgelassen werden, wir sind dessen ganz sicher, ohne zu behaupten, daß es nicht anders sein kann. Wir glauben nicht, daß es unmöglich ist, daß diese Kiesel immer dort in der Luft bleiben, wo sie auch immer abgelegt werden Die Metaphysiker halten dies oft nur für eine Unterscheidung innerhalb ihrer Systeme, als könne man ein Ding je nach System annehmen oder zurückweisen, anstatt sie als wirkliche und unbestreitbare Tatsache zu sehen, die für jedes beliebige System erklärt werden muß. Dr. Whewell [William Whewell, 1794-1866, History of the Inductive Sciences] ist von allen englischen Autoren über Naturwissenschaft, die ich kenne, der, bei dem diese Tatsache als Tatsache das ganze Werk durchzieht, manchmal auf ein System angewandt, manchmal nicht. Die folgenden Bemerkungen über dieses Thema verdienen die Aufmerksamkeit: "Wenn man über dieses Thema spricht, ist es tatsächlich äußerst schwierig, Worte zu finden, die befriedigend sind. Die Realität der Gegenstände, die wir wahrnehmen, ist ein tiefgreifendes, offensichtlich unlösbares Problem. Wir können nicht umhin anzunehmen, daß die Existenz etwas von unserer Erkenntnis der Existenz verschiedenes ist. Daß das, was existiert, nicht nur in unserem Wissen existiert, daß es ist. Wahrheit ist Wahrheit, ob wir sie kennen oder nicht. Jedoch wie können wir Wahrheit anders als als etwas Gewußtes begreifen? Wie können wir Dinge als existierend begreifen, ohne sie als Wahrnehmungsgegenstände zu begreifen? Ideen und Dinge sind immer entgegengesetzt und dennoch notwendig koexistent. Wie sie entgegengesetzt und dennoch identisch sein können, ist das ultimative Problem aller Philosophie. Die aufeinanderfolgenden Stufen der Philosophie bestanden in der Trennung und wieder der Vereinigung der beiden entgegengesetzten Elemente. Mal hielt sie sich bei dem einen, mal bei dem anderen als dem Haupt- oder Originalelement auf, dann wieder entdeckte sie, daß eine solche Betrachtungsweise unbefriedigend war that such an account of the state of the case was unsufficient. Erkenntnis erfordert Ideen. Realität erfordert Dinge. Ideen und Dinge koexistieren. Wahrheit ist und wird erkannt. Aber die vollständige Klärung dieser Punkte scheint für uns unerreichbar zu sein.". Aber daß Sieben und Drei nicht etwas anderes als Fünf unf Fünf sind und daß das so sein muß, ist eine Tatsache, die wir ebenso sicher von den Kieseln am Nordpol behaupten müssen wie von unseren eigenen Fingern. Woher kommt eigentlich dieser wirkliche Unterschied in unserer Art und Weise, [34] verschiedene Arten von Sätzen zu betrachten und zu erkennen? Die Wahrheit der letztgenannten scheint nicht angeboren zu sein, weil Kinder sie nicht kennen und sie durch Erfahrung lernen. Das es muß so sein kann aber nicht durch Erfahrung im üblichen Sinn erlangt werden, denn die gleiche Erfahrung, auf die wir uns verlassen, lehrt uns, wie oft auch immer ein Ding als wahr herausgefunden wird, welches Gesetz auch immer durch wiederholte Beispiele aufgestellt wird, daß schließlich doch eine Ausnahme auftreten kann. Es scheint also im Bewußtsein eine Fähigkeit zu geben, die aus den Ideen, die uns die Erfahrung gibt, eine wirkliche und wahre Unterscheidung zwischen notwendig und nicht notwendig, möglich und nicht möglich trifft. Die Dinge die immer ohne uns sind, bestätigen unsere notwendigen Sätze: Aber zu sagen, wie wir daraus die vollständige Gewißheit gewinnen, daß sie es genauso zuverlässig tun werden, wie sie es bisher getan haben, liegt nicht in unserer Macht.

Mit den Ideen verbunden sind die Namen, die wir ihnen geben, die gesprochenen oder geschriebenen Laute, mit denen wir sie denken und mit anderen über sie kommunizieren. Eine Idee zu haben und sie als Idee zu einem Gegenstand des Denkens zu machen, sind zwei vollkommen verschiedene Dinge: die Idee einer Idee ist nicht die Idee selbst. Ich glaube nicht, daß wir ohne Sprache das Denken als Gegenstand des Denkens hätten machen können. Wenn wir sagen, wir geben unseren Ideen Namen, dann ist mit Name nicht nur ein einzelnes Wort gemeint, sondern jede Gruppe von Wörtern, die die Idee von einem Bewußtsein in ein anderes anderes übermittelt. So ist ein-Mann-mit-schwarzem-Mantel-auf-einem-braunen-Pferd-die-Hauptstraße-entlangreitend genauso ein Name wie Mann, schwarz oder Pferd. Wir können Wörter nach unserem Belieben verbinden oder könnten ein einziges Wort für den vorstehenden Ausdruck erfinden, wenn es denn einen Nutzen hat.

Namen werden indifferent gebraucht, sowohl für die Gegenstände, die die Ideen erzeugen, als auch für die Ideen, die durch sie erzeugt werden. Das ist ein Mangel, und es wird oft nötig sein zu sagen, ob wir ideell oder gegenständlich sprechen. In der normalen Unterhaltung sprechen wir ideell und denken, wir sprächen gegenständlich: wir halten es für selbstverständlich, daß unsere eigenen Ideen mit denen anderer übereinstimmen und ihnen dieselben Ideen übermitteln, wie es die Gegenstände selbst getan haben würden. Damit dies der Fall sein kann, ist es erstens notwendig, daß der Gegenstand uns wirklich dieselbe Idee gibt wie anderen. Zweitens, daß unsere Wörter dieselben Ideen zu unserem Gesprächspartner transportieren, die wir durch sie ausdrücken wollten. Wie und in welchen Fällen die erste oder die zweite Bedingung nicht [35] erfüllt ist, kann unmöglich erkannt oder aufgezählt werden. Aber hier müssen wir nur sagen, daß solche Dinge nur gelegentlich in Logikarbeiten besprochen werden. Wir setzen fixe und - wenn gegenständlich (objective) - objektiv (objectively) wahre Ideen voraus, die mit bestimmten Namen verbunden sind, so, daß nie bezweifelt wird, ob ein Name mit einer Idee richtig verbunden ist oder nicht. Diese Vorgehensweise muß in allen Wissenschaften gewählt werden: zuerst wird vorausgesetzt, daß ein annehmbares erreichbares Ziel erreicht wird, dann werden die Folgen seiner Verwirklichung studiert. Danach schließlich folgt die Frage, ob dieses Ziel immer erreicht wird und wenn nicht, warum. Bei der Untersuchung, wie man gute Straßen baut, kommt die Frage, wie man schlechte repariert, zum Schluß und nicht am Anfang.

Jeder Name hat eine Beziehung zu jeder Idee, entweder bejahend oder negativ. Der Begriff Pferd wird auf jeden Gegenstand angewandt, entweder positiv oder negativ. Dies da (ganz gleich, wovon ich spreche) ist entweder ein Pferd oder ist nicht ein Pferd. Gäbe es darüber irgendeinen Zweifel, so wäre entweder die Idee nicht eindeutig, oder der Begriff Pferd ist nicht verstanden. Ein Name sollte wie eine Grenze sein, die klar und unbestreitbar jede Idee, die vorstellbar ist, entweder einschließt oder ausschließt. Die Unvollkommenheit unseres Geistes, unserer Sprache und unserer Erkenntnis äußerer Gegenstände bewirkt, daß diese klare und unbestreitbare Einschließung oder Ausschließung nur selten bewerkstelligt werden kann, außer bei Ideen, die klar innerhalb der Grenzen sind; in der Nähe der Grenze selbst ist alles unklar. Es gibt ein klares blau und ein klares grün, aber zwischen den beiden Farben sind unbestimmte Schattierungen, bei denen durch allgemeine Übereinkunft festgelegt werden muß, zu welcher der beiden Farben sie gehören. Für das Auge geht grün in blau in nicht wahrnehmbaren Abstufungen über; unsere Sinne können keinen Ort angeben, an dem alle übereinstimmend sagen, hier hört die eine auf und fängt die andere an.

Aber der Fortschritt der Erkenntnis hat eine Tendenz, die Methoden exakter Definitionen hervorzubringen. <-blöd formuliert Wollaston und Fraunhofer haben die schwarzen Linien entdeckt, die immer an derselben Stelle im Sonnenspektrum sind, das durch ein Glasprisma geleitet wird. Es gibt definite Stellen im Spektrum, durch die der Ort jeder Farbschattierung definiert werden kann Sicherlich wird die Wissenschaft eines Tages mit Hilfe des Spektrums und den darin vorkommenden Linien in jedem Tuchgeschäft dazu benutzt werden, die Farben zu bestimmen. [Die Grundlage der Spektralanalyse, der Identifizierung chem. Elemente anhand der Fraunhoferschen Linien wurde um 1860 durch Kirchhoff und Bunsen gelegt.].

Wenn ein Name komplex (complex) ist, läßt er oft eine symbolische oder reale [36] (nominal or real) Definition zu. Man kann einen Namen als symbolisch definiert bezeichnen, wenn wir für ihn andere Begriffe zulässig einsetzen können. In einem solchen Fall kann einer Person die Bedeutung des Wortes kenntlich gemacht werden, die keinen Zugriff auf den Gegenstand hat, der die Idee erzeugt hat. So ist Insel vollständig durch "mit Wasser umgebenes Land" definiert. Mit Definition ist nicht notwendig gemeint, daß wir ganz genaue Begriffe des zu erklärenden definierten Namens haben müssen; sondern wie die Begriffe der Definition, so der definierte Name. Je nachdem die einen präzise oder vage sind, klar oder obskur, so die anderen. Die Bedeutung des Wortes Land könnte fraglich sein: ist der aus dem Wasser ragende Sumpf eine Insel? Einige werden sagen, daß der Sumpf als Gegensatz zum Wasser Land ist, andere können den Sumpf als Mittelding zwischen dem, was man gewöhnlich [trockenes] Land und Wasser nennt, bezeichnen. Gibt es hier eine Unklarheit, so muß der Begriff Insel daran teilhaben, denn Insel ist nur die Kurzform von "mit Wasser umgebenes Land", sei dieser Ausdruck nun vage oder präzise. Diese Art der Definition ist symbolisch, als Substitution von Namen für Namen. Sie ist vollständig, weil sie alles gibt, was der Name bedeuten soll. Eine Insel als solche kann nichts notwendig zu ihr Gehöriges haben, außer was notwendig zu "mit Wasser umgebenes Land" gehört. Unter einer realen Definition verstehe ich eine Erklärung des Wortes, sei es in seiner ganzen oder nur teilweisen Bedeutung, die zureichend ist, das Ding, das unter das Wort fällt, von allen anderen zu trennen. So ist glaube ich das folgende eine vollständige Definition eines Elefanten, "ein Tier, das trinkt, indem es das Wasser in seine Nase zieht und es dann ins Maul spritzt". Wie sich herausstellt, ist der Elefant das einzige auf der Erde bekannte Tier, das dies tut. Solange dies der Fall ist, genügt diese Definition für jeden Fall. Aber sie ist weit davon entfernt, alle Ideen zu beinhalten, die von diesem Wort ausgehen. Weder Weisheit, noch Nützlichkeit, noch Elfenbeinproduktion sind notwendig mit Trinken mit Hilfe der Nase verbunden. Und diese Definition ist rein gegenständlich. Wir meinen damit nicht, daß jede Idee über ein so trinkendes Tier als Elefant bezeichnet werden muß. Würde ein neues Tier entdeckt, das so trinken würde, so wäre es eine reine [37] Frage der Wahl, ob man es einen Elefanten nennt oder nicht. Es müßte dann festgelegt werden, ob es Elefant genannt wird und ob diese Gattung in zwei Tierarten mit unterschiedlichen Definitionen geteilt wird. Oder ob es einen anderen Namen haben soll und die obige Definition unvollständig sein soll, weil sie keine vollständige Unterscheidung zwischen dem Elefanten und allen anderen Dingen gibt Denn neben den Elefanten, so de Morgan, gibt es nun noch andere Nasemaultrinker, so daß dieses da nicht eindeutig ein Elefant oder nicht ein Elefant wäre. Tatsächlich ist hier bloß der bisherige Artbegriff Nasenmaultriker zum Gattungsbegriff und Elefant und das neue Tier zusammen die Arten der Gattung geworden. Die Definition bleibt so präzise wie bisher. Von allen dreien kann man eindeutig sagen, ob sie Nasenmaultrinker, Elefanten oder das neue Tier sind oder nicht, so daß de Morgans folgender Satz falsch ist..

Man sieht, daß die symbolische Definition die reale einschließt, sobald die Begriffe der Substitution richtig definiert sind, während die reale Definition für die symbolische unzureichend sein mag.

Wenn ein Name vollkommen verstanden ist, womit wir meinen, wenn wir von jedem Gegenstand des Denkens mit Bestimmtheit sagen können, dieser Name enthält diesen Gegenstand oder nicht - dann haben wir gesagt, daß der Name auf alles in der einen oder anderen Weise zutrifft. Das Wort Mensch trifft auf Alexander und Bucephalus zu, der erste war ein Mensch, der zweite nicht. Bei der Sprachentwicklung entsteht eine große Anzahl von Begriffen, die in Beziehung auf ihre ursprüngliche Bedeutung einen rein negativen Charakter annehmen. So sind Parallelen Geraden, die sich nicht treffen, Ausländer (in unserem Land) sind Menschen, die keine Briten sind. Angenommen, die Sprache wäre so vollkommen und ergiebig, wie wir uns das vorstellen können, so hätten wir für jeden Namen, der eine positive Bedeutung hat, eine anderen, der nur alle anderen Dinge impliziert. So wie wir also einen Namen für einen Baum haben, hätten wir einen anderen der alles bezeichnet, was nicht ein Baum ist. Im Moment aber haben wir manchmal einen Namen für das positive, aber nicht für das negative Ding, wie bei Baum. Manchmal dagegen haben wir einen Namen für das negative, nicht aber für das positive Dinge, wie bei Parallelen. Manchmal für beide, wie beim häufigen Gebrauch von Person und Ding. In der Logik wäre es gut, mit den Namen der Einschließung die korrespondierenden Namen der Ausschließung in Betracht zu ziehen. Und genau das werde ich in einem weitaus größeren Ausmaß als üblich tun, indem ich durch Voranstellung des Präfix "Nicht-" Namen der Ausschließung erfinde, wie Baum und Nicht-Baum, Mensch und Nicht-Mensch. Nennen wir sie konträre Ich werde zwischen diesen beiden Wörtern nicht unterscheiden. Das stiftet hier zwar keinen Schaden, da de Morgan den Widerspruch (Kontradiktion) natürlich meidet. In der Physik (Naturphilosophie), die Aristoteles streng logisch betreibt, auch wenn sich die bewegte Welt noch so störrisch gegen die Logik der fixen Größen zeigt, spielt es eine wichtige Rolle: dort sind zwei Dinge gegensätzlich, konträr, wenn Zeit zwischen ihnen liegt, also beide sein können, nur zu verschiedenen Zeiten und an verschiedenen Orten, und widersprüchlich, kontradiktorisch, wenn keine Zeit zwischen ihnen liegt, sie also nicht zugleich sein können, da nur ein Ding mit sich selbst denselben Ort einnehmen kann. Aristoteles definiert ganz ohne Einstein das Zugleich als eine Funktion des Ortes und den Widerspruch als eine Funktion des Zugleich: das gleichzeitige Einnehmen ein und desselben Ortes Zweier (wobei das "gleichzeitig" Tautologie ist, weil das Einnehmen des Ortes die Gleichzeitigkeit ist). Ich werde das Wort gegenteilig oder gegensätzlich für konträr und widersprüchlich für kontradiktorisch benutzen. <-nachbessern-> 2018 bin ich in der Neubearbeitung der Analytik und der Metphysik über dieses Anfängerstadium aus dem Schulunterricht hinaus. Aristotels gelingt mit dieser unscheinbaren Gegenüberstllung die Formulierung der Gesetze der Kontraposition für alle Seinsgleichungen, die über eine Kontraposition verfügen (quelle A1). oder kontradiktorische Namen.

Nehmen wir ein gegenteiliges Wortpaar wie Mensch und Nicht-Mensch. Es ist klar, daß sie alles vorstellbare oder wirkliche im Universum repräsentieren. Aber die Gegenteile der Alltagsprache umfassen nicht das ganze Universum, sondern eine allgemeine Idee. So sind bei den Menschen Briten und Ausländer Gegenteile, jeder Mensch muß eines der beiden sein, kein Mensch kann beides sein. Nicht-Briten und Ausländer sind identische Namen, genauso Nicht-Ausländer und Briten. [38] Das gleiche kann man bei den Zahlen über Brüche und ganze Zahlen sagen, im Königreich über Adlige und Bürger, männlich und weiblich bei den Tieren und so weiter. Nennen wir die ganze in Betracht stehende Idee das Universum (wobei damit nur das Ganze gemeint ist, dessen Teile wir betrachten) und nennen die Namen, die nichts gemeinsam haben die aber zwischen sich die ganze in Betracht stehende Idee beinhalten, gegenteilig im oder in Bezug auf dieses Universum. Wenn also das Universum die Menscheit ist, sind Briten und Ausländer Gegenteile, so wie es Soldaten und Zivilisten, männliche und weibliche Menschen sind usw. Ist das Universum Lebewesen, sind Menschen und Tiere Gegenteile usw. Die Umgangssprache denkt sicher nicht an das Universum, wenn sie Hund oder Katze sagt, da hat de Morgan recht. Nur darf sie nicht der alleinige Maßstab der Logik sein. Der Maßstab der Logik muß das Universum sein, wenn sie ihrem Anspruch gerecht werden will, universell zu gelten. Nicht-Hund und Nicht-Katze müssen daher so lange das Universum restlos mit Hund respektive Katze ausfüllen, wie de Morgan selbst sagt (quelle), bis die Logik vollständig aufgestellt ist. Das so genannte "unendliche Urteil" muß als solches bis in den kleinsten Winkel der Welt durchleuchtet und von allen Seiten erforscht werden. Vom Teil gilt, was für das Ganze gilt, nicht umgekehrt. Also muß die Logik das Ganze untersuchen.

Namen können durch Buchstaben vertreten werden: so können A, B usw. für irgend welche einfache oder komplexe Namen stehen. Die Gegenteile können durch Nicht-A, Nicht-B usw. repräsentiert werden, aber ich werde gewöhnlich vorziehen, sie durch Kleinbuchstaben zu kennzeichnen a, b, c. So ist alles im Universum (was immer das Universum umfassen mag) entweder A oder Nicht-A, entweder A oder a, entweder B oder b usw. Nichts kann beides zugleich, B und b sein, jedes Nicht-B ist b, und jedes Nicht-b ist B, und so weiter.

Wie man sich leicht vorstellen kann, ist keine Sprache für die Bedürfnisse metaphysischer Systeme gebildet worden. In den meisten ist aber die Notwendigkeit befolgt worden, sie mit Begriffen zu versorgen, die das Gegenteil anzeigen. So hat unsere eigene Sprache sowohl vom Lateinischen wie von ihren Erzeugern Wörter geborgt. So haben wir imperfect (unvollständig), disagreeable (unzufrieden) oder ungeformt oder witzlos übernommen. Es gibt einige Gegenteile, bei denen die Anwendung nicht so klar ist und die für verschiedene Grade des Gegenteils stehen. So haben wir not perfect, was kein so starker Begriff wie imperfect ist; und not imperfect, das Gegenteil eines Gegenteils, ist nicht so stark wie perfect. Die Bedürfnisse der Umgangsspache haben manchmal an einem Begriff festgehalten und dem Gegenteil erlaubt, in Nichtgebrauch zu versinken, haben manchmal am Gegenteil festgehalten und den ursprünglichen Begriff vergessen, haben manchmal sogar das Gegenteil eingeführt, ohne Ausdruck für den ursprünglichen Begriff und damit keine andere Möglichkeit offengelassen, den ursprünglichen Begriff auszudrücken als durch das Gegenteil des Gegenteils. Könnten wir uns eine vollkommene Sprache vorstellen, so enthiele sie einen Modus, für jeden Begriff das Gegenteil zu bezeichnen. Man könnte sogar sagen, unsere eigene Sprache enthielte ihn bereits, wenn auch manchmal in unglücklicher und [39] unidiomatischer Art. Eine Endung oder ein zusätzliches Wort kann dazu dienen, für jedes andere Wort das Gegenteil zu bezeichnen. So bezeichnet Nicht-Mensch alles andere außer den Menschen. Es gibt aber einen umfassenderen Mangel, der nur zum Teil behoben werden kann, weil seine vollständige Behebung Wörter benötigte, die fast über die Fähigkeit der Arithmetik hinausgingen, Wörter zu zählen. Und das alles wurde in unserer sowie in jeder anderen Sprache getan, to make it less consists, meist durch die Bildung zusammengesetzter Begriffe, seien sie Substantive oder Adjektive, doppelte Substantive oder andere. Eine Objektklasse (class of objects) hat eine Teilklasse (sub-class), die in ihr enthalten ist, deren Individuen sich durch ein ihnen und nur ihnen gemeinsames Merkmal von allen anderen der Klasse unterscheiden. Wenn dieses unterscheidende Merkmal getrennt separated wurde und ein Wort gebildet wurde, das die abstrakte Idee bezeichnet, dann wird dieses Wort oder ein aus ihm gebildetes Adjektiv (wenn es nicht selbst ein Adjektiv ist) mit dem allgemeinen Namen der Klasse verbunden. So haben wir starke Männer, weiße Pferde usw. Oder es kommt vor, daß die Individuen einer Teilklasse nach dem unterscheidenden Merkmal einen völlig neuen Namen bekommen, der nach den unterschiedlichsten Regeln gebildet werden kann. Ein Korn mahlender Mann wird nach dem Gerät, das er benutzt, ein Müller genannt. Ein Fleisch tötender Mann nach dem Gegenstand, den er liefert, ein Fleischer (butcher, wenn die etymologische Herleitung stimmt: griech. bous, lat. bos=Rind). Andere Menschen gebrauchen Mühlen, und andere handeln mit Nahrung; jedoch hat die Gewohnheit diese Begriffe festgelegt, obwohl der erste nur durch die Schreibweise, der andere durch die Ableitung aus einer anderen Sprache mit seinem Ursprung verbunden ist. Sehr oft kommt es aber vor, daß ein Unterscheidungsmerkmal, das nur zu einigen gehört, keinen bestimmten Namen für diese einige ergibt, die daher ein unbenanntes etwas Im Englischen heißen "einige" und "etwas" "some", Größe und Menge fallen in Eins. aus dem Ganzen übriglassen, was durch die Beschreibung seines Merkmals getrennt werden könnte, statt das alles eines erfundenen Namens sein zu müssen, der sie und nur sie ausdrückt. In einer solchen Lage sind beispielsweise Menschen, die nie das Meer gesehen haben, von denen unterschieden, die es gesehen haben. Die eingeschränkten Sätze scheinen in ihrem wirklichen Charakter also nicht so verschieden von den allgemeinen zu sein, wie sie üblicherweise hingestellt werden. Wenn ich sage, "einige As sind Bs", so sieht der Leser leicht, daß es meistens nicht nötig ist, darauf hinzuweisen; wäre es so, dann würde eine Name erfunden werden, der genau "die As, die Bs sind" kennzeichnete. Wäre dieser Name C, dann hieße der Satz, "jedes C ist B".

[40] Die gleiche Zweckmäßigkeit, die die Bildung eines Namens für eine Teilklasse diktiert und nicht für eine andere, herrscht bei der Bildung von gegenteiligen Begriffen, wie bereits bemerkt. Und diese Launen der Sprache - denn logisch gesehen sind sie nichts anderes, obwohl ihre Entstehung von Gesetzlosigkeit weit entfernt ist - machen es in einer formalen Abhandlung wünschenwert, die vollständigste Behandlung aller Sätze, nicht nur in Bezug auf ihre Begriffe, sondern auch auf die Gegenteile dieser Begriffe einzuschließen. Jeder negative Satz ist affirmativ, und jeder affirmative Satz ist negativ. Macht der eine eins von den beiden vollständig: Einschließen oder Ausschließen, so tut es auch der andere. Wenn ich sage, "kein A ist B", dann sage ich "jedes A ist b" [+A=(-)B], wobei b alles in dem Satzuniversum ist, was nicht B ist. Und wenn ich sage "jedes A ist B", sage ich "kein A ist b" [(-)A=-B] Ich erlaube mir, die Notation der Größenlogik hin und wieder einzufügen, die de Morgans und Hamiltons Entdeckungen vereint und die Fehler beider in Bezug auf Teil und Ganzes vermeidet. Vor allem, wenn wie hier bei "no A" oder dem "is B" Mißverständnisse bei de Morgan aufkommen können.. Ob eine Sprache zufällig den Namen B oder b oder beide Namen besitzt, hängt von Umständen ab, die mit Ausnahme von wissenschaftlichen Arbeiten stets außerlogischer Natur sind. Die Engländer mögen einen Begriff für B, die Franzosen nur einen für b besitzen, so daß dieselbe Idee von einem Engländer positiv ausgedrückt werden muß, wie in "jedes A ist B", und von einem Franzosen negativ, wie "kein A ist b". Aus alldem folgt, daß es Zufall ist, ob ein Satz in einer Sprache allgemein oder eingeschränkt, positiv oder negativ ist. Wenn wir die Namen A und B haben, können wir sagen, "jedes A ist B"; eine andere Sprache, die nur dem Gegenteil von B einen Namen gibt, muß "kein A ist b" sagen. Eine dritte Sprache, in der die As keinen eigenen Namen haben, sondern nur Individuen der Klasse C sind, muß sagen, "einige Cs sind Bs" [(+)C=(+)B], während eine vierte, die das zusätzliche Problem hat, nur b zu benennen, sagen muß, "einige Cs sind nicht bs" [(+)C=(-)-B, wenn (-)-=(+) ist]. Wenn wir zur Betrachtung der Syllogismen kommen werden, werden wir die vollständige Bestätigung der Richtigkeit und Vollständigkeit dieser Sicht finden.

Man könnte einwenden, daß die Einführung von rein negativen Begriffen der positiven Ideen eine Art Fiktion wäre. Ich antworte, erstens, daß die Fiktion, wenn es eine Fiktion ist, in der Sprache ist und ihre Auswirkungen erzeugt, noch ist es, wie leicht zu sehen ist, mehr Fiktion, als die Erfindung von Lauten, die für Dinge stehen. Zweitens aber gibt es eine viel folgenreichere more effective Antwort, die ein wenig Entwicklung erfordert.

Wenn Logikautoren bis auf die heutigen Tage solche Gegenteile wie Mensch und Nicht-Mensch benutzen, dann meinen sie mit der Alternative die Menschen und alles außer den Menschen. Es kann nur wenig effektive Bedeutung und [41] kein Nutzen in einer solchen Klassifikation liegen, die, weil sie nicht Menschen sind, in dem einem Wort Nicht-Menschen einen Planeten, eine Nadel, einen Felsen, Wünsche und Dinge, die man sich wünscht, beinhaltet. Wenn wir uns aber erinnern, daß in vielen, vielleicht den meisten Sätzen die Reichweite des Gedankens viel geringer ausgedehnt ist als das ganze Universum, dann finden wir, daß die ganze Ausdehnung eines Untersuchungsgegenstandes für den Zweck der Untersuchung das ist, was ich ein Univerum nannte, also ein Ideenbereich, der den ganzen Untersuchungsgegenstand beinhaltet. In solchen Universen sind Gegenteile ganz normal, es sind Begriffe, deren jeder jeden Fall des jeweils anderen ausschließt, während beide zusammen das Ganze beinhalten. Und es ist zu beachten, daß, obwohl es in einem begrenzten Universum eine hinreichende Definition des einen ist, nicht der andere zu sein, oft von beiden eine positive Definition gebildet wird. So sind im Universum Besitz persönliches und Grundeigentum Gegenteile, und eine Definition des einen ist eine Definition des anderen. Aber obwohl beide nur als negative Begriffe mit dem anderen verglichen werden, wird niemand sagen, daß die durch sie übermittelten Begriffe reine Negationen seien. Geld ist nicht Grund und Boden, aber es ist etwas. Und wenn der gegenteilige Begriff sogar nur als Negation erfunden wurde, kann und wird er positive Eigenschaften haben. So sind Ausländer genau die Nicht-Briten. Aber stellen Sie sich einen Mann unterWaffen gegen die Krone auf irgendeinem Fleck ihrer Dominions vor, der für sich beansprucht, ein Kriegsgefangener zu sein. Seine Antwort darauf, daß er ein Britischer Untertan ist, ist eine Negation. Um seinen Anspruch durchzusetzen, muß er zunächst beweisen, daß er ein Ausländer ist und mehr noch, daß er in einer anderen positiven Lage (predicament) ist, nämlich daß er Angehöriger einer Macht ist, die sich im Kriegszustand mit Großbritannien befindet Vielleicht ist das Beispiel des einsamen Aufständischen doch kein so geeignetes "Prädikament" der Logik, sondern eher der kolonialen Überheblichkeit. Oder meint de Morgan diesen Absatz ironisch, da er dem Adel eher reserviert gegenübersteht?. Folglich muß bei zwei Gegenteilen keins von beiden die einzige Negation des anderen sein, außer wenn das betrachtete Universum so weit und der positive Begriff so begrenzt ist, daß die Dinge, die unter dem gegenteiligen Namen enthalten sind, nichts außer der negativen Eigenschaft gemeinsam haben.

Die Wahrnehmung von Übereinstimmung (agreements) und Nicht-Übereinstimmung (disagreements) ist die Grundlage jeder Behauptung (assertion). Die Erlangung einer Wahrnehmung in bezug auf zwei Ideen durch Vergleich beider mit einer dritten ist der Vorgang aller Schlußfolgerung (inference). Aus dem Vergleich von abstrakten Ideen Schlüsse zu ziehen, ist das Privileg des Menschen Die aus der Tatsache, daß zwei Dinge nicht denselben Ort einnehmen können, folgenden Tatsachen sind zum einen ohne Abstrakta erkennbar und zum andern auch für Tiere und Pflanzen oder Steine gültig. Daß die einen dabei nur Futter, die anderen die natürlichen Logarithmen finden, ist vom logischen Standpunkt aus unerheblich.; Schlüsse zu benötigen, ist seine Unvollkommenheit. Wieweit der Mensch Schlüsse ziehen könnte, wenn er keine [42] Sprache hätte, oder wie weit es niedrigere Tiere bringen würde, wenn sie Sprache hätten, sind Fragen, über die zu spekulieren müßig ist Richtig. Aber die Frage, ob Menschen und Tiere den gleichen natürlichen Umständen ausgesetzt sind, die die Logik erst erzeugen, ist alles andere als müßig. Der Löwe sieht Stoff und Form des Zebras und seiner Gattin. Daraus zieht er den Schluß, daß das eine mit einigem Glück Nahrung, das andere zu respektieren ist. Alles kommt nun darauf an, die gemeinsame Grundlage des Metaphysik treibenden Löwen und unsereinem, der eine Wissenschaft daraus macht, herauszufinden.. Die Wörter ist und ist nicht, die die Übereinstimmung oder Nicht-Übereinstimmung implizieren, müssen in jeder Behauptung entweder implizit oder explizit da sein. Und was wir Übereinstimmung und Nicht-Übereistimmung nennen, kann zurückgeführt werden auf Identität oder Nicht-Identität. Wenn wir sagen, Johannes ist ein Mensch, dann haben wir die erste und gegenständlichste Form einer Behauptung vor uns. Rein gegenständlich betrachtet bedeutet es nur, Johannes ist einer der individuellen Gegenstände, die Mensch genannt werden. Ideell ist der Satz allgemeiner. Die aus Beispielen gewonnene Idee Mensch stellt sich selbst als kollektive Masse von Ideen dar, aus der wir uns ein Exemplar vorstellen können (figure an instance), ohne dazu notwendigerweise die Idee aller jemals existierenden Menschen aufrufen zu müssen. Im idealen Begriff des Menschen ist Achill genauso wie der Duke of Wellington ein Mensch, ob der erste nun wirklich existiert hat oder nicht: bei allen Ideen über den Menschen, die sich der Geist vorstellen kann, ist der erste genauso ein Mensch wie der zweite.

Die Abtrennung von Ideen oder die Bildung abstrakter Ideen und einer Behauptung mit ihrer Hilfe stellt für unseren Zweck nichts dar, was sich von dem früheren Fall (?) unterschiede. Wenn wir sagem, "dieses Bild ist schön", dann ist diese bloße Redewenung unvollkommen, weil "schön" nur ein Attribut ist, ein rein ideeller Bezug auf eine Klassifikation, die dem Geist durch sein eigenes Urteil diktiert wird. Das Bild als materieller Gegenstand, kann nichts anderes sein, als ein Gegenstand, kann nicht zu einer Klasse von Begriffen gehören, solange die Klasse keine Gegenstände enthält.Was der Satz bedeuten mag, ist bis zu einem bestimmten Maß abhängig von dem Substantiv, zu dem "schön" gehört, das heißt, zu der Klasse der Gegenstände, die der Satz im Geist als in schöne und nicht schöne zu trennende impliziert. Das Bild kann ein schönes Bild sein oder ein schönes Kunstwerk, das nicht nur die Bilder, sondern Statuen, Gebäude, Reliefs in schöne und andere aufteilt; oder eine "schöne" (beautiful) Schöpfung des menschlichen Geistes, die in Werke der Kunst, Phantasie oder Wissenschaft usw. unterteilt wird; oder schließlich kann es ein schönes Ding sein, das mit allen Wahrnehmungsgegenständen in einer ähnlichen Unterteilung untergebracht ist.

Bei allen Sätzen ist jedoch darauf zu achten, daß die formale Logik, der Gegenstand dieser Abhandlung, von Namen handelt und weder von Ideen oder Dingen, zu denen diese Namen gehören. Wir [43] beschäftigen uns mit den Eigenschaften von "A ist B", und "A ist nicht B", soweit sie eine Idee vorstellen, die unabhängig von irgend einer Spezifikation ist, was A oder B bedeuten, mit solchen Ideen über Sätze, wie sie durch ihre Formen vorgestellt werden und die allen Formen derselben Art gemeinsam ist. Die (reality of) Logik ist die Untersuchung des Gebrauchs von ist und ist nicht, das Ziehen der Schlüsse aus der Anwendung dieser Wörter Falsch, das "ist nicht" oder das Nichtsein im Sinne von Nichtexistenz gibt es in der Logik nur im Sinne von "falsch". Ansonsten ist die Untersuchung stets die Untersuchung eines "ist" oder eines Seienden. Nicht-A ist genauso wie A ist. Die die beiden Seiten des logischen Satzes verbindende »Kopula« heißt ausnahmslos "ist" oder "=".. Der Beweis, "Wenn die Sonne scheint, ist es Tag. Nun ist es aber nicht Tag. Daher scheint die Sonne nicht.", enthält eine Theorie und zwei Tatsachen, deren letzte so eingerichtet ist, daß sie aus der ersten folgt. Daß die Folgerung so eingerichtet ist, sieht man an dem Wort daher: und der Satz kann durch logische Überprüfung auf seine Wahrheit oder Falschheit hin auf die Probe gestellt werden. Aber diese Überprüfung rejects die Bedeutung von Sonne und Tag, die Wahrheit der Theorie und der Tatsachen und fragt nur nach dem Recht, das uns der Satz allein aus seiner Struktur gibt, das Wort daher einzuführen. Sie geht nur ein auf: "wenn A ist, ist B; aber B ist nicht; daher ist A nicht", und entscheidet dann, daß dies eine korrekte Verbindung von Voraussetzung und Folge (precedent and consequent) ist, eine Darlegung einer notwendigen Verbindung von etwas, was daher vorher und nachher vor sich geht und eine Enwicklung im letzteren, von dem, was virtuell, nicht aktuell im ersteren ausgedrückt ist. Was A und B bedeuten, ist ohne Bedeutung für die Folgerung oder dem Recht, "A ist nicht", einzubringen.

So sind A und B, von aller besonderen Beteutung entledigt, wirklich Namen als Namen, unabgängig von Dingen, oder können wenigsten so angesehen werden. Weil der Satz unter allen Bedeutungen wahr ist, haben wir das Recht zu unterstellen (suppose), daß die Namen die Bedeutungen sind - das heißt, wir können sagen, "Wenn der Name A ist, dann ist der Name B; aber der Name B ist nicht; daher ist der Name A nicht."

Es ist daher nicht Aufgabe der Logik herauszufinden, ob Schlußfolgerungen wahr oder falsch sind, sondern ob als Schlußfolgerungen behauptete Sätze Schlußfolgerungen sind. Schlußfolgerung bedeutet das, was in bestimmte andere vorangegangene und aufgestellte Dinge eingeschlossen ist und sein muß. Es ist das, was in einen Satz getan werden muß, weil bestimmte andere Dinge eingebracht worden sind. Eine Schlußfolgerung zu ziehen bedeutet, (verbal) einzubringen, was bereits durch die direkte Aussage vorher eingeschlossen wurde. Wenn wir sagen, "A ist B, B ist C, dann schließen wir A ist C". Es wäre richtiger zu sagen "Aus A ist B, B ist C, haben wir geschlossen, A ist C". Wir sollten nie [44] so denken: "Wir haben das Oberbekleidungsstück eines Mannes in eine Box getan, die die Farbe der Bäume hat, daher müssen wir einen grünen Mantel hineintun"; - wir sollten sagen, "wir haben ihn hineingetan". Eine Schlußfolgerung zu ziehen ist also die Feststellung dessen, was wir geschlossen haben.

Die Schlußfolgerung gibt uns nicht mehr, als vorher da war, aber sie kann uns mehr sehen machen, als wir vorher sahen. Ideell ausgedrückt gibt sie uns (im Geist) also nicht mehr, als bereits vorher da war. Aber diese schlichte Wahrheit, daß nicht mehr herauskommen kann, als drin ist, obwohl sie für alle materiellen Gegenstände sogar von den Metaphysikern akzeptiert wird, - die im allgemeinen sehr zufrieden sind, wenn sie einen Schlüssel zu einer Box finden, die das enthält, was sie wollen, auch wenn sicher ist, daß er nicht mehr hineintut, als bereits drin ist, - wurde in der Logik und sogar der Mathematik als Abwertung ihres eigenen Wissenschaftszweiges behandelt. Die, die diese sonderbarsten menschlichen Irrtümer begangen haben, müssen eine ideale Allwissenheit angenommen haben und nur die menschliche Unvollkommenheit im Auge gehabt haben. Allwissenheit braucht weder Ideen vergleichen, noch Schlüsse zu ziehen. Der Schluß, den wir aus den Prämissen ziehen, ist immer mit ihnen gegenwärtig. Wahrheit ist eine Begleiterscheinung, keine Folge. Wenn wir sagen, daß ein Satz aus dem anderen folge, dann ist das rein ideell gemeint und beschreibt nur eine Unzulänglichkeit unseres Geistes. Es bedeutet nicht, daß der Schlußsatz aus den Prämissen folgt, sondern daß unsere Wahrnehmung der Schlußfolgerung unserer Wahrnehmung der Prämissen folgt. Objektiv gesagt ist die Schlußfolgerung in und mit und bei den Prämissen. Wir reden falsch, wenn wir ideell sprechen, wenn wir sagen, "A ist C", ist in "A ist B, und B ist C". In Wirklichkeit ist es nur dadurch, daß wir dem Argument eine objektive Sicht geben, so daß wir behaupten könne, daß wir es sehen werden. Für einen unkultivierten Geist ist diese einfache Schlußfolgerung niemals eine Begleiterscheinung der Prämissen und nur mit einiger Schwierigeit eine Schlußfolgerung Will uns de Morgan durch dieses Radebrechen darauf aufmerksam machen, daß seine Polemik gegen die Größen auf schwachen Füßen steht? 24.09.2002: Schlechte Fußnote, weil de Morgan in dem Absatz eine wichtige Aussage macht, nämlich die der Identität von Prämissen und Schlußsatz. Also weg damit!.

Aus der Gewißheit, daß man es so einrichten kann, daß eine Schlußfolgerung herauskommt, was ein allegorischer Gebrauch des Wortes heraus ist, nehmen wir in der gleichen allegorischen Form das Recht an zu behaupten Meiner Meinung nach ist es folgerichtiger, in Analogie zu sagen, daß die Hypothese in ihrer notwendigen Folge enthalten ist, als zu sagen, die erste enthalte die zweite. Meine Überlegung wird im Lauf der Arbeit klar werden., es sei darin gewesen. Die Prämissen enthalten daher die Schlußfolgerung. Das haben dann einige so ausgelegt, als ob durch das Studium des Schlüsseziehens das studiert würde, was wir vorher gewußt haben. Alle Sätze der reinen Geometrie, die sich so rasch vermehren, daß es nur eine kleine und [45] isolierte Gruppe unter den Mathematikern gibt, die alles wissen, was in dieser Wissenschaft getan wurde, sind sicher, das heißt notwendig aus sehr wenigen einfachen Begriffen deduzierbar. Aber aus den Prämissen erkannt werden und mit ihnen erkennen ist etwas völlig verschiedenes.

Eine andere Behauptung geht dahin, daß die Folgerungen virtuell in den Prämissen enthalten sind oder (vermute ich) so gut wie in den Prämissen enthalten. Menschen, die nicht durch Sophistik verdorben sind, lächeln, wenn ihnen gesagt wird, daß, sobald sie nur wüßten, daß zwei Geraden keine Fläche einschließen können, daß das Ganze größer als der Teil ist usw. - sie genauso wüßten, daß die drei Schnittpunkte gegenüberliegender Seiten eines in einen Kreis eingeschriebenen Sechsecks auf derselben Geraden liegen müssen (the three intersections of opposite sides of a hexagon inscribed into a circle must be in the same straight line? kapier ich nicht). Viele meiner Leser werden dies zum ersten mal erfahren, und es wird sie sehr trösten, wenn ihnen durch viele hohe Autoritäten versichert wird, daß sie dies virtuell schon immer seit ihrer Kindheit wußten. Sie können über den Unterschied zwischen ihren eigenen Geistern zwischen virtuellem Wissen und absoluter Ignoranz nachdenken.

Es muß zwischen den Studenten immer einen gewissen Streit über den relativen Wert ihres eigenen Wissens geben über die Dinge, die sie sehen, wie sie vorher waren oder wie sie auch hätten anders sein können. Wie weit der Unterschied auf unsere Unwissenheit zurückzuführen ist, kann niemand sagen. In der Zwischenzeit ist es nützlicher to point out the advantage, as thingas are, beide Arten des Wissens zu studieren, als zu versuchen einen Wettkampf zwischen ihnen zu veranstalten. Die, die das Studium der notwendigen Folgen geringschätzen, haben sich bei der Illustration ihrer Beweise Formulierungen (phrases Manchmal gewinnt man bei ihnen den Eindruck, als ob das Studium der notwendigen Verbindung in Mathematik, Logik usw. zumindest nutzlos, wenn nicht schädlich wäre. Nun sollten wir annehmen, daß eine enge Verbindung - wenn es das ist, was sie meinen - ohne absolute Notwendigkeit doch irgendwie an etwas mit dem gleichen Charakter teilhaben muß. Wenn schon die absolute mathematische Notwendigkeit, daß die drei Winkel eines Dreiecks zwei rechte Winkel ergeben vermieden werden muß, dann werden wir beim Studium der Physik, in der wir die Notwendigkeiten durch die Naturgesetze beschreiben, einigen Schaden anrichten. Die Geschichte, bei der wir uns so oft darauf verlassen können, daß Absichten Handlungen erzeugen, kann nicht ganz fehlerfrei sein. Und es gibt Gesetze der Sprachbildung, die beiseite gelassen werden könnten, weil sie fast im Einklang mit den Naturgesetzen vor sich gehen. Wahre Wissenschaft muß im Studium eines Wahnsinnigen bestehen. Daß ein bestimmter Mann sich einbildet, Cäsar zu sein, wo er genauso Newton oder Nebukadnezar sein könnte, muß ein Stück des wirklichen Wissens sein, nicht virtuell ganz oder teilweise in irgendetwas enthalten.<-ist das Durcheinander eine Schilderung von Mills Ansichten?) erlaubt, die, wörtlich genommen, vielleicht mehr bedeuten, als sie beabsichtigen.

[46] Das Studium der Logik in Beziehung auf das menschliche Wissen steht daher in genauso geringer Achtung wie dürftigen (humble) Regeln der Arithmetik in Beziehung auf das enorme Ausmaß der Mathematik und ihrer physikalischen Anwendungen. Keine ist weniger bedeutend für ihre Einfachheit less important for its lowliness: aber nicht jeder kann das sehen. Autoren über dieses Thema nehmen oft einen Standpunkt ein, der es ihnen erlaubt, die Logik an einen der obersten Plätze zu setzen. Sie beschränken sich nicht auf die Verbindung der Prämissen und des Schlußsatzes, sondern gehen auf das periculum et commodum (Gefahr und Bequemlichkeit) der Gestaltung der Prämissen selbst ein. In den Händen von Mr. Mill (und zu gewissem Maß auch in denen von Dr. Whateley) ist Logik die Wissenschaft, Wahrheit von Unwahrheit zu unterscheiden, um sowohl die Prämissen zu beurteilen und den Schluß zu ziehen, Namen mit Namen nicht nur als Identität oder Unterschied zu vergleichen, sondern in allen vielfachen Gedankenverbindungen, die aus diesem Vergleich hervorgehen.

Kapitel 3, Die abstrakte Form des Satzes

Im letzten Kapitel habe ich mich bemüht, alle Überlegungen über die wirklichen Quellen unserer Erkenntnis zusammenzustellen, um dem Leser die Mittel an die Hand zu geben, selbst zu überlegen, welche Punkte uns jedes wie auch immer begrenzte Logiksystem notwendig aufdrängen muß. Wir können nicht versuchen, unseren Gebrauch der Wörter mit unseren Begriffen von den Dingen zu verbinden, ohne das Auftreten enorm vieler Schwierigkeiten, enorm vieler gegensätzlicher Theorien und nie endender Streitigkeiten De Morgan würde uns - ohne böse Absicht - an den Anfang des Stoizismus und der scholastischen Streiterei zwischen "Realismus" und "Nominalismus" zurückwerfen, nähmen wir die Wörter als den Gegenstand der Logik ernst. Entstanden ist diese Ansicht lange vor der Scholastik aus der richtigen Einsicht, daß die Gedanken oder Platons "Ideen" zu wenig konkret sind, um den Gegenstand der konkretesten Wissenschaft abzugeben. Dagegen sind Wörter als Buchstabenfolge oder als Klang etwas Konkretes und zugleich doch noch ein wenig etwas, was die Selbstverliebtheit des Forschers mit seinem Kopf ausdrückt. Das ist aber genauso falsch wie Platons Idealismus. Ist die Wissenschaft, die von allen Dingen handeln soll, erst einmal von den Dingen getrennt, nenne sie Ideen, Wörter oder gaga, kriegst du sie nicht mehr in die Dinge zurück. Der Versuch, das Arbeiten unserer Hirnwindungen aus dem Stegreif zu erörtern, muß dann tatsächlich unweigerlich zu dem Unsinn führen, den de Morgan andeutet. Immerhin hat man sich damals und in der vorscholastischen und scholastischen Zeit noch Gedanken über den Gegenstand der Logik gemacht, was heute völlig außer der Mode ist. So hat Thomas die Größe als den Gegenstand der Logik ausgermacht, so Prantl in seiner Geschichte der Logik. Die Größe spielt auch in Thomas’ Summa eine wichtige Rolle. Man kann die katholische Theologie getrost zum großen Teil als eine Interpretation der Physik des Aristoteles bezeichnen. De Morgan wird sich beim Versuch, den Zahlen gegenüber den Größen "Priorität" einzuräumen, ziemlich verheddern. Das Perfideste an der ganzen Angelegenheit ist: Die "Rückschrittlichen", die die Universalien für reale Wesen wie Hund und Katze hielten/halten, haben sich den Aristoteles unter den Nagel gerissen, während die "Fortschrittlichen", die die Universalien für bloße Worte halten, sich auf Schwätzer wie Cicero oder die stoische Logik für Doofe berufen. Kein Wunder, daß die Philosophie so auf den Hund gekommen ist.. Wir können nicht einmal Erscheinungen als Erscheinungen beschreiben außer in der Sprache irgendeines Systems, selbst wenn es ein falsches ist. Die Überzeugung von der Richtigkeit dieser jeweiligen Systeme, die ihre Befürworter haben, ist ein zureichender Grund, den Prozeß des jeweiligen Verstehens so distinkt wie möglich zu verfolgen und soweit das in der exakten Wissenschaft möglich ist. Denn sie unterscheiden sich weit voneinander, und wenn sie in einem klar [47] verständlichen Punkt übereinstimmen, so wird es in Namen von großen Autoritäten der Anhänger jeder Schule eingerollt.

Um die Gesetze der Schlußfolgerung zu untersuchen, der Möglichkeit, klar das Recht wahrzunehmen zu sagen "daher", "so daß", "weshalb es sein muß" usw. usw, in einer Art, die von allen anerkannt werden kann, müssen wir diese Trennung vollständig vornehmen. Jeder gibt Sätze zu wie, "Mensch ist Tier", "Kein Mensch ist fehlerlos"; alle sind nach kurzem Nachdenken mit den Schlußmodi einverstanden; aber über die Bedeutung eines einfachen Satzes gibt es jede nur denkbare Meinungsverschiedenheit. Wie viel wir meinen, wenn wir sagen "Mensch ist Tier" und wie wir zu unserer Meinung kommen, ist Gegenstand von Bänden offener Fragen.

Um die Schlußgesetze oder irgend etwas anderes richtig zu untersuchen, müssen wir zunächst versuchen, zu einer klaren Abstraktion von so viel von der Idee, mit der wir befaßt sind, zu gelangen, as is itself the precedent reason, wenn man so sagen kann, dem zu untersuchenden Gesetz. Das ist ein einfacher Vorgang bei vertrauten Dingen. Wir legen beim Beförderer von Gütern keinen großen Wert auf Tiefsinnigkeit, wo es doch nur darauf ankommt, daß er weiß, daß bei gegebener Straße sich ein Paket von dem anderen durch sein Gewicht unterscheidet; weiter, wenn er ein Pfund befördert, es keine Rolle spielt, ob er Zucker oder Eisen transportiert. Diesen Prozeß wollen wir bis zum äußersten auf den einfachen Satz übertragen. Logikautoren, angefangen von Aristoteles, haben einen großen und wichtigen Schritt getan, indem sie bestimmte Namen mit allen ihren Vorstellungen über sie nur durch die Buchstaben A, B, C usw. des Alphabets ersetzt (substitute) haben. Diese Buchstaben sind Symbole und allgemeine Symbole. Jeder steht für irgend ein beliebiges (Individuum) seiner Klasse. Aber was sind sie, Symbole von Namen, Ideen Das bedeutet natürlich (Seite 28) Ideen von Ideen und Ideen von Gegenständen., oder von den Gegenständen, die diese Ideen bewirken? Die Antwort ist, daß dies genau eine der Überlegungen ist, die wir hinter uns lassen können, indem wir zusammenfassen, was für eine Untersuchung der Schlußgesetze notwendig ist. Die einzige Bedingung ist, daß wir uns auf die eine oder die andere beschränken müssen. Wenn wir sagen, Mensch ist Tier, dann kann es sein, daß der Name Mensch im Namen Tier enthalten ist, die Idee des Menschen in der des Tieres oder der Gegenstand Mensch im Gegenstand Tier. Oder wenn es noch zwanzig weitere Anwendungen des [48] Symbols gäbe, so von allen das gleiche gesagt werden. Dies war, soweit ich weiß, das erste mal, daß ein allgemeines Symbol benutzt wurde, ein algebraischer Gebrauch von Buchstaben oder Symbolen, um um eine abgeleitete und subsequent Menge zu bezeichnen.

Wenn wir daher sagen "jedes X ist Y", dann verstehen wir unter X ein Symbol, das ein Beispiel (eine Instanz: instance) eines Namens, einer Idee, eines Gegenstands repräsentiert, je nachdem. Es kann mehr oder weniger solcher Beispiele geben, sie können zählbar oder unzählbar sein. Und das gleiche gilt für Y. Die Sprache der Logiker war allgemein für die deutliche Wahrnehmung ihrer Begriffe, die distributiv auf Klassen von Instanzen anwendbarsind, sehr ungeeignet. Sie war eher quantitativ als quantuplikativ(!). Wenn sie etwa sagen, daß Tier der weitere Begriff als Mensch ist, dann beziehen sie ihre Sprache aus der Idee zweier Flächen, von denen die eine größer als die andere ist, anstatt aus zwei Ansammlungen unteilbarer Einheiten, von denen eine der Anzahl nach größer als die andere ist distributiv: wörtl. verteilend; in Logik und Mathematik, Urteil oder Operation, die auf jedes einzelne Individuum einer Klasse, Gattung oder Art anwendbar ist. Ist die Klasse, Gattung oder Art zum Beispiel a+b+c+d+..., so ist die Multiplikation von x mit der Klasse distributiv, weil x(a+b+c+d+...)=xa+xb+xc+xd+... gilt. Nicht für die Logiker der Größen,- da gab es bis auf Aristoteles keinen nennenswerten (Daß z.B. Thomas nach Prantl die Größen als den Gegenstand der Logik ausmachte, liegt zum einen daran, daß er ein treuer Aristoteles-Schüler war, aber zum andern wohl hauptsächlich daran, daß er die materielose Größe für seinen Arbeitgeber und die Engel reserviert hat), - sondern für die Logiker, die als Gegenstand der Logik die "unteilbaren" Begriffe oder die diskrete Eins haben, gibt es da ein Problem, denn wie willst du die aufteilen? Lautet der Gattungsbegriff "Mensch", und es gibt n Menschen, dann wäre der Begriff dieses Manschen da ein rationaler Bruch "1/n Mensch". Bei der Größe gibt es da kein Problem. Zu gegebener Zeit oder zu gegebenem Zeitraum besteht die Gattung aus genau n Individuen mit genau der Größe Ym, die sich restlos auf alle n Individuen verteilt. Daß die Individuen der Logik nicht den Gefallen tun, alle gleichgroß zu sein, so daß nXm=Ym wäre, wollen wir ihnen nicht verübeln. Wohl aber den Mathematikern, die heute wie weiland die Theologen glauben, die Logik sei ihr Privatbesitz. Den Kubikmeter kannst du in genau eine Million Kubikzentimeter teilen, wie aber kriegst du den Kubikmeter aus der Eins her? Die Zahl folgt natürlich der Größe und nicht die Größe der Zahl. Diese Idiotie haben viele Mathematiker, denen das Rechnen lieb, aber das Denken ein Greuel ist, von der idealistischen Logik unbesehen übernommen. Ich halte es hier mit Leuten wie Euklid oder Euler.. Sie haben das sogar soweit getrieben, daß sie except from context Zweifel darüber aufkommen ließen, ob ihre Unterscheidung zwischen allgemein und eingeschränkt die von alle und einige oder die von das Ganze und der Teil wären. Wären etwa ihre Instanzen weiße Quadrate gewesen, so hätte ihr "alles A ist B" und "einiges A ist B" sowohl "das ganze Quadrat ist weiß" und "ein Teil des Quadrats ist weiß" lauten können als auch "alle Quadrate sind weiß" und "einige Quadrate sind weiß". Ich werde in der ganzen Arbeit besonders darauf achten, die Sprache rein numerisch zu gebrauchen, als unterschieden vom größenmäßigen (magnitudinal) Gebrauch und natürlich den Plural Xs, Ys, Zs usw. einführen.

Ich erwähne hier noch eine andere Art des Sprachgebrauchs all derer, die die Größen behandeln, die ich für nicht einwandfrei halte. Wenn eine zusammengesetzte Idee (compound idea) zwei oder mehr einfache enthält, dann hielten es einige Logiker für legitim, die Verbindung durch arithmetische Addition wiederzugeben. So hätte die Verbindung der Ideen Tier und vernünftig die Idee Mensch ergeben müssen, weil die beiden Begriffe bei nichts anderem, was wir kennen, ko-existieren. Folglich schreiben manche Tier+vernünftig=Mensch. Wenn das so gemeint ist, daß die arithmetische Notation hier bloß abstrakt für einen völlig anderen Zweck benutzt wird, dann íst dagegen natürlich nichts einzuwenden, was ich hier erörtern müßte. Aber es scheint mir mehr damit gemeint zu sein, und daß die, die diese Notation benutzt haben, eine große Ähnlichkeit zwischen der Kombination (Verbindung) und [49] der Kumulation (Mischung) von Ideen gesehen haben. Worin der Unterschied besteht, kann ich nicht sagen, sowenig, wie ich sagen kann, worin der Unterschied zwischen der Verbindung zweier Volumina von Sauerstoff und Wasserstoff besteht, so, daß sie Wasser ergeben und der einfachen Kumulation beider im selben Gefäß, so, daß sie nur ein Gasgemisch ergeben. Jeder Anfänger weiß, daß der elektrische Funke oder irgendeine andere unerklärbare Wirkung nötig ist, um das Gasgemisch in eine neue chemische Verbindung zu verwandeln. Daß aber dieser Unterschied auch in dem eben erwähnten Fall existiert, ist für mich so klar wie alles nur Vorstellbare. Sogar in der Chemie hat die kumulative Notation, von der man lange annahm, daß sie für alle Forschungsergebnisse hinreichend sei, mit dem Fortschritt des Wissens versagt. Zwar erfüllt die Einführung der kumulativen Methode auch in der Chemie bis zu einem beträchtlichen Ausmaß ihren Zweck, es bleiben aber dennoch isomerische Verbindungen isomerische Verbindung: chem. Verbindungen, die trotz gleicher Summenformel wegen ihrer verschiedenen Struktur oder räumlichen Anordnung der Atome unterschiedliche physikalische und chemische Eigenschaften haben. zum Beispiel Weisäure (tartaric acid) und Traubensäure racemic acid(?), von denen Prof. Graham sagt (Elemente der Chemie, S. 158), "Eine größere Annäherung an die Identität kann wohl kaum finden, als sie bei diesen beiden Stoffen zu finden ist, die in Form und Verbindung tatsächlich beide gleich sind ... Aber kein Versuch kann die eine Säure in die andere umwandeln." The Columbia Encyclopedia: Sixth Edition 2000. tartaric acid: HO2CCHOHCHOHCO2H, white crystalline dicarboxylic acid. It occurs as three distinct isomers, the dextro-, levo-, and meso- forms. The dextro- and levo- forms are optically active; the meso- form is optically inactive, as is racemic acid, a mixture of equal parts of the dextro- and levo- forms. Tartaric acid is found in many plants, e.g., grapes; this natural acid is chiefly the dextrorotatory D-tartaric acid called also D-2,3-dihydroxysuccinic acid or L-2,3-dihydroxybutanedioic acid. Wäre die obige Vermengung von Kumulation und Kombination zulässig, dann könnten wir uns, glaube ich, leicht das Recht geben zu sagen daß

2 + 2 +Addition = 4

wäre, eine Gleichung, über die die Mathematiker staunen würden.

Soviel zu den Eigenschaften der Begriffe eines Satzes, die für die abstrakte Form des Schließens notwendig sind. Bleibt noch die Betrachtung der verbindenden Kopulae ist und ist nicht.

Der vollständige Versuch, den Begriff ist zu behandeln, müßte wenigstens Stoff und Form alles Existierenden beinhalten, wenn nicht sogar die möglichen Formen alles nicht Existierenden aber existieren Könnenden. Das ergäbe die Große Enzyklopädie, und ihre jährliche Ergänzung wäre für einige Zeit die Geschichte der menschlichen Gattung. Daß es die Logik als Wissenschaft gibt, geht aus den Eigenschaften des Wortes hervor, die für das Studium des Schließens notwendig abstrahiert werden müssen und die leicht und einfach zu verstehen sind. Es kann in vielen Bedeutungen gebraucht werden, die alle eine gemeinsame Eigenschaft haben. Namen, Ideen und Gegenstände benötigen es in drei verschiedenen Bedeutungen. Sprichst du von Namen und sagst "Mensch ist Tier", so ist das ist hier ein ist der Anwendbarkeit; auf welche Idee, [50] welchen Gegenstand usw. der Name Mensch angewandt werden kann, auf dieselbe Idee, denselben Gegenstand usw. kann auch der Name Tier angewandt werden. In Bezug auf Ideen bedeutet das ist den Besitz aller wesentlichen Eigenschaften; die Idee Mensch ist besitzt, enthält, zeigt alles, was für die Idee Tier konstitutiv ist. Für äußere Gegenstände bedeutet das ist ein ist der Identität, die gebräuchlichste und positivste Anwendung des Wortes. Jeder Mensch ist eines der Tiere; berühre ihn, und du berührst ein Tier, zerstöre ihn, und du zerstörst ein Tier An dieser aristotelischen Auffassung hätte de Morgan festhalten müssen. In Wahrheit tut er es auch, mag es nur nicht beim Namen nennen. Die numerische Quantität ist nur zu begreifen über die stetige Größe. Du berührst keinen rationalen Bruch, wenn du das Tier im Menschen berührst, sondern ein Wesen aus Fleich und Blut..

Diese Bedeutungen sind nicht alle austauschbar. Nimm das ist der Identität und den Namen Mensch ist nicht als Namen und den Namen Tier, oder die Idee Mensch ist nicht als Idee und die Idee Tier. Wir müssen jetzt fragen, welche gemeinsame Eigenschaft alle drei Begriffe des ist haben, von der die Gesetze des Schlußfolgerns abhängt. Mit Sicherheit gibt es gemeinsame Gesetze des Schlußfolgerns. Wenn die Anwendbarkeit des Namens A immer von der des B begleitet ist und die von B immer von der des C, dann wird die von A immer von der des C begleitet sein. Wenn die Idee A alles enthält, was für die Idee B wesentlich ist und B alles, was für C wesentlich ist, dann enthält A alles, was für C wesentlich ist. Wenn der Gegenstand A wirklich der Gegenstand B ist, und wenn B wirklich C ist, dann ist A wirklich C Das sind nicht drei verschiedene Gebrauchsweisen von ist, sondern ein und dieselbe Gebrauchsweise und drei verschiedene Schlüsse: + A=(+)B (+)A= + B + A= + B + B=(+)C (+)B= + C + B= + C + A=(+)C (-)A=(-)C + A= + C.

Das folgende sind die Eigenschaften des Wortes ist, die, in jeder vorgeschlagenen Bedeutung von ihm die Bedingungen der Logiker erfüllen, wenn sie den Satz "A ist B" aufstellen. Um das zu verdeutlichen, sei der Satz doppelt singulär oder beziehe sich auf eine Instanz des A und eine des B; sagen wir dazu "dieses eine A ist dieses eine B".

Erstens muß dieser doppelt singuläre Satz und jeder solche doppelt singuläre gegen die Konversion indifferent sein. Das "A ist B" und das "B ist A" müssen dieselbe Bedeutung haben und müssen beide wahr oder beide falsch sein.

Zweitens, wenn die Verbindung ist zwischen einem und je zwei anderen besteht, so muß sie auch zwischen diesen beiden anderen bestehen. So muß "A ist B" und "A ist C" "B ist C" ergeben.

Drittens, die wesentliche Bedeutung des Ausdrucks ist nicht ist lediglich die, daß ist und ist nicht kontradiktorische Alternativen sind, eine muß, beide können nicht wahr seinErstens: Der doppelt "singuläre" Satz des letzten Schlusses, der numerische und quantitative Unteilbarkeit in einen Topf wirft und natürlich die beiderseitige Quantifikation vornimmt, ist der +A=+B. Er ist wie jeder andere Satz gegen die "Konversion" indifferent. "Singuläres" Urteil: Urteil, das nur ein Individuum einer Art oder Klasse betrifft. Auch so ein Lieblingsspielzeug der Scholastik. In unserem Fall wäre Sokrates ist Mann der Xanthippe, und Mann der Xanthippe ist Sokrates ein doppelt "singulärer" Satz, Sokrates ist ein Grieche ein einfach "singulärer", während die Griechen sind Teil der Menschen ein allgemein bejahender Satz wäre. Dabei verhalten sich Sokrates und die Griechen zu den Menschen gleichermaßen wie der Teil zum Ganzen. Zweitens: A=B=C, die eine Grundlage aller Schlüsse, neudeutsch Transitivität, erstes Axiom des Ersten Buchs der Elemente Euklids. Drittens: Das ist und ist nicht spielen in diesem Satz nun eine völlig andere Rolle als bisher, nämlich nicht die Kopula zwischen zwei Begriffen, sondern die Behauptung zweier Sätze, die nicht zugleich wahr sein können. Das ist der Satz des Widerspruchs, die andere Grundlage der Logik, den Aristoteles aus gutem Grund in der Metaphysik und nicht in der Logik behandelt, weil er etwas ist, was von allem Seienden gilt; er wird in der Größenlogik in der Wahrheitswertetabelle untersucht, wo alle Möglichkeiten zweier gleichzeitig wahrer oder nicht wahrer Sätze behandelt werden..

Jede Verbindung, die man sich ausdenken und durch die Begriffe ist und ist nicht kennzeichnen kann, so, daß sie diese drei Bedingungen erfüllen, macht alle Regeln der Logik wahr (A!). Ohne Zweifel war die absolute Identität [51] die naheliegende Verbindung, aus der alle anderen hervorgegangen sind, genau wie die Arithmetik das Medium war, aus dem die Formen und Gesetze der Algebra gewonnen wurden. Aber wie wir heute durch Abstraktion der Formen und Operationsgesetze Algebraen erfinden, und wie wir ihnen neue Bedetutungen geben können, so haben wir die Fähigkeit, neue Bedeutungen für alle Formen des Schließens zu erfinden, in dem Maße, in dem das ist und ist nicht die obigen Bedingungen erfüllen. Es seien zum Beispiel X, Y, Z die Symbole, die mit jeder Instanz je einer Klasse materieller Gegenstände verknüpft sind. Das ist, das zwischen zwei gesetzt ist, wie in "X ist Y", bedeute, das die beiden etwa durch ein Seil zusammengebunden sind Das ist eine merkwürdige Bedeutung von "ist". Jeder Millimeter von X ist nicht Y, wenn sie "aneinandergebunden" sind. Da ist ein Grund für die Abneigung de Morgans gegen die Größen. Er kann sie sich nur durch ein Materielles, Größenerfüllendes vorstellen und kann so nicht zu der Identität von X und Y gelangen, weil zwei materielle Gegenstände in jedem Fall einen anderen Ort einnehmen, nicht zugleich, identisch sein können. Zudem würde eine solche Betrachtung uns hier ein noch ungelöstes naturpgilosophisches Problem aufhalsen, nämlich das der Grenze, an der beide zusammentreffen. Gehört die zum einen, zum andern, zu beiden oder zu keinem von beiden?. Und das X sei an Z gebunden, wenn es an Y gebunden ist, das an Z gebunden ist usw. Unter diesen Bedingungen bleibt kein Syllogismus als wahr übrig. So ist

der Syllogismus wahr in dem Sinn
Jedes X ist Y Jedes X ist an ein Y gebunden
Einige Zs sind nicht Ys Einige Zs sind nicht an Ys gebunden
Einige Zs sind nicht Xs Einige Zs sind nicht An Xs gebunden

Diesen Fall kann man als die materielle Repräsentation der Ideenverbindung im Geist bezeichnen.

Wir müssen klar erkennen, daß nicht jeder Schluß alle diese Eigenschaften erfordert. So ist in dem bekanntesten Fall, "Jedes A ist B, jedes B ist C, jedes A ist C", von den drei Bedingungen nur die zweite erforderlich, um die Gültigkeit dieses Falls zu sichern. Obwohl es selten für nötig erachtet wird, darüber nachzudenken, ist es die allgemeine Praxis, in der formalen Logik offensichtliche Widersprüche ihrer eigenen Regeln einzuführen. Zum Beispiel läßt man die folgenden als Syllogismen in der gewöhnlichen Wortbedeutung durchgehen:

"Jedes A ist größer als irgend ein B; jedes B ist größer als irgend ein C, daher: jedes A ist größer als irgend ein C". Und das gleiche, wenn anstelle von größer als, gleich oder kleiner als gelesen wird. Die Form, die so am häufigsten auftaucht, ist ein Paar doppelt singulärer Sätze, "A (ein Ding) ist größer als B; B ist größer als C; daher: A ist größer als C". Hier gilt "größer als größer" ist "größer", die zweite Regel ist erfüllt und keine andere nötig. Aber die Bedeutung des ist (oder die Substitution für es, was der Leser mehr mag), erfüllt nicht alle [52] Bedingungen "Jedes A ist größer als irgend ein B" ist nicht ein log. Satz, sondern eine Menge von Ungleichungen: A1>Bk, A2>Bk, A3>Bk,... (unter der Voraussetzung, daß sich alle An auf dasselbe Bk beziehen). Die erste Ungleichung als log. Satz lautet: (+)A1=+Bk, wenn +A1 und +Bk als Individuen genommen werden (aber auch, wenn "jedes A" als "ganz A" betrachtet wird). Wird +Bk dagegen als Teil von B betrachtet, so lautet die erste Prämisse (+)A1=(+)B usw. Entsprechend die zweite Prämissenschaar.+Bk als Individuum ist rein formal nicht als Teil von +B zuerkennen, ergibt also mit der zweiten Prämisse, die von allen und damit dem ganzen B handelt, keinen Schluß. Im zweiten Fall wären die Prämissen zwei eingeschränkte Sätze, also auch kein Schluß. Der doppelt "singuläre" Schluß: +A>+B, +B>+C,+A>+C lautet: +A=(+)B, +B=(+)C, +A=(+)C. Er erfüllt genau wie A=B=C alle Forderungen der Logik, wenn die beiderseitige Quantifikation nicht unterdrückt wird, aus der Ungleichung eine Gleichung gemacht wird. und kann daher nicht auf alle Schlußformen angewendet werden.

Aber das ist im Sinne von "ist gleich" erfüllt alle Bedingungen. Diese Bedeutung des ist, nämlich Übereinstimmung in der Größe (agreement in magnitude), ist die Kopula des Syllogimus des Mathematikers, der nur die Größe (Menge, quantity) behandelt Die einfache Einsicht, daß die Menge der Größe und nicht die Größe der Menge folgt, könnte so viel Umstandspinselei ersparen. Aber davor bewahren uns Jahrhunderte von Sesselfurzern, die den Aristoteles "platonisch" zurechtgestutzt haben.<-entschärfen?.

Es wird sicher zugegeben, daß die Verallgemeinerung im Begriff des Wortes ist für die Zwecke des Schließens, die so gemacht wurde oder zumindest als möglich aufgezeigt wurde, sich nur auf einen sehr häufigen, wenn nicht ganz normalen Gebrauch des Wortes bezieht, nämlich als Kennzeichnung einer bestimmten Art, nicht der Identität, sondern der qualitativen(!) Übereinstimmung. So, wenn wir sagen, "Diese beiden Dinge sind gleich - in der Farbe", oder "Das eine Ding ist das andere - in der Farbe"; daß der Name Mensch der Name Tier ist - in einer bestimmten Beziehung, nämlich auf die die letztere angewandt werden kann: Daß die Idee Mensch ist Tier, indem beide bestimmte Eigenschaften haben, daß jeder Gegenstand Mensch seinem wirklichen Wesen nach ein Gegenstand Tier ist. Daß A ist B der Größe nach ist, wenn wir sagen, A ist gleich B, und so weiter. Ich lasse aber nur das Umgekehrte zu, nämlich das jede dieser Gebrauchsweisen die Bedingungen erfüllt.Wohl niemand könnte behaupten, es wäre möglich, jeden nur denkbaren Gebrauch des Wortes ist, der alle diese drei so einfachen Bedingungen erfüllt, jemals auszuschöpfen. Sogar das eben gegebene materielle Beispiel kann nicht mit irgendeinem üblichen oder einfach vorstellbaren Gebrauch des Verbs identifiziert werden.Aber wenn keine andere erdachte Bedeutung, die die Bedingungen erfüllt, gefunden werden kann, als die, die bereits existiert und mehr oder weniger in Gebrauch ist, dann (?) sind diese Bedingungen die Gesetze, denen sich das Wort im logischen Sinn fügen muß.

Es gibt übliche Gebrauchsweisen des Wortes, die in der Logik nicht zugelassen sind. Die häufigste ist die Verbindung eines Gegenstandes mit seiner Qualität oder die einer Idee mit einer ihrer konstituierenden oder mit ihr verbundenen Ideen. So wenn wir sagen Rose ist rot, Besonnenheit ist wünschenswert. Hier sind die logischen Bedingungen nicht erfüllt. So ist "Rot ist die Rose", obwohl poetische Inversion des ersten Urteils, logisch nicht wahr Doch: + Rose=(+) rote Dinge, (+)rote Dinge=+Rose. +Besonnenheit=(+)wünschenswerte Dinge, (+)wünschenswerte Dinge=+Besonnenheit. Die Größenlogik kann ohne weiteres die numerische Identität behandeln, umgekehrt wird die Eins nie zu 1cm, das Individuum + 1 Rose zur Gattung Rose, weil der rohe Materialismus, der die Summe aller Rosen kurzum zur Gattung hier und jetzt erklärt, die Einzigartigkeit und Unteilbarkeit des hehren Gattungsbegriffs im Sesselfurzerhirn kaputtmacht, sich mit den vorgefundenen Gattungen und Arten begnügt und es den Einzelwissenschaften überläßt, jede in ihrer Art ihre Gattungen und Arten zu untersuchen. Aristoteles ist von solchem Blödsinn natürlich meilenweit entfernt; lesen Sie nur seine biologischen Schriften über die Gattungen und Arten der Lebewesen. . In der Logik nennt man solche Urteile gewöhnlich elliptisch. So wird "Die Rose ist rot" als "Die Rose ist ein roter Gegenstand oder ein Gegenstand mit roter Farbe" betrachtet, wobei das ist jetzt den Sinn bekommt, der eine Konversion erlaubt1 Rot=1/n ROT, 1/n ROT= 1 Rot, wobei ROT bzw. nRot alles Rote ist.. Ähnlich wird in allen anderen Fällen dem Subjekt und dem Prädikat Das Prädikat in die Rose ist rot heißt "ist" und nicht "rot". De Morgan meint die rechte und die linke Seite der Satzgleichung. Aber gewöhnen Sie sich besser an den Namen Prädikat, weil kein Logiker diesen Quatsch als Quatsch beim Namen nennt. die gleiche Eigenschaft zugewiesen, beide Namen, beide Ideen oder beide Gegenstände. Diese Reduktion erweist sich als nicht notwendig, das Studium [53] der vielfältigen Bedeutungen des Wortes ist (die Vielfalt, die sich aus dem oben aufgezählten Bedingungsbereich ergibt) und auch der Bedeutungsübergänge innerhalb dieses Kreises, die die Schlußfolgerung nicht berühren.

Die gebräuchlichsten Anwendungen des Verbs sind erstens die absolute Identität, wie in "Das Ding, das er dir verkaufte, ist das, das ich ihm verkaufte"; zweitens die Übereinstimmung in einer bestimmten Besonderheit oder Besonderheiten, wie "Er ist ein Neger (negro)", von einem Europäer in bezug auf seine Farbe gesagt; drittens der Besitz einer Qualität, wie in "Die Rose ist rot"; viertens die Beziehung einer Art zu ihrer Gattung, wie in "Mensch ist Tier"1. + Uhr, die du kaufst= + Uhr, die ich verkaufe 2. + Satchmo=(+)der Schwarzen 3. (+)Rose=(+)ROT 4. + Art=(+)Gattung. Alle diese Gebrauchsweisen sind unabhängig vom Gebrauch des Verbs allein, wenn es die Existenz kennzeichnen soll, wie in "Mensch ist [d.h. existiert]". Bei diesen Bedeutungen und bei den in Übereinstimmung mit den Bedingungen auf Seite 50 hinzufügbaren kann der Sinn des ist manchmal abgewandelt werden, manchmal nicht. So kann das ist der Übereinstimmung in Besonderheiten bei negativen Sätzen rechtmäßig in das der Identität umgewandelt werden. Wenn gilt "Kein A ist B der Farbe nach", so gilt "Kein A ist B". Aber "Jedes A ist B der Farbe nach" ergibt nicht "Jedes A ist B".<-scheint beides falsch zu sein, prüf Aber das erste Paar kann durch einen Syllogismus verbunden werden.

Durch die Änderung des Prädikats kann das ist der Übereinstimmung in einer Besonderheit (agreement in particulars) immer auf das ist der Identität reduziert werden. So ist "Jedes A ist B der Farbe nach" das gleiche wie "Jedes A ist ein Ding, das die Farbe eines der Bs hat". Wenn der Syllogismus einen negativen Schlußsatz hat, und der Mittelbegriff ist das Prädikat beider Prämissen oder wird dazu gemacht, dann kann der ganze Syllogismus von einem, in dem nur das ist der Übereinstimmung steht, in einen transformiert werden, in dem nur das ist der Identität steht. Stelle dir zum Beispiel die Prämissen vor: "Kein X ist Y (der Farbe nach); jedes Z ist Y (der Farbe nach)", wobei nicht notwendig alle Ys dieselbe Farbe haben, sondern "Kein X hat die Farbe irgend eines der Ys; jedes Z hat die Farbe eines der Ys" gelesen wird. Der Schlußsatz lautet, "Kein Z ist X (der Farbe nach), oder "Kein Z ist von der Farbe irgend eines der Xs". Aber daraus folgt, Kein Z ist X, denn wenn irgend ein Z absolut X wäre, dann hätte Der Leser darf während dieses Vorgangs keinen der Buchstaben aufmalen. Die Bedeutung, in der wir etwa sagen, eine Tür ist dieselbe Tür wie vorher, nachdem sie in einer anderen Farbe gestrichen wurde, ist nicht die Bedeutung der logischen Identität. Sie ist dieselbe in allem außer der Farbe und der färbenden Materie, und das ist ist ein ist der Übereinkunft. Außer als Spaß als hinreichende Antwort auf einen verfänglichen Einwand oder eine Falle, darf bei den Begriffen eines Schlußsatzes niemals eine Änderung vorkommen. Der Amerikaner, der boy, Zerah, Colburn zählte, wurde gefragt, wie viele schwarze Bohnen es bräuchte, um zehn weiße zu ergeben, worauf er sehr richtig antwortete "Zehn, wenn du sie schälst". Aber die geschälten Bohnen wären nicht dieselben Bohnen wie vorher, außer natürlich für die, für die schwarz weiß ist. es die Farbe von diesem X. Dieser [54] letzte Schlußsatz kann aus geänderten Prämissen gezogen werden: Ist als ist der Identität ergibt "Kein X ist [ein Ding, das die Farbe eines der Ys hat]; jedes Z ist [ein Ding, das die Farbe eines der Ys hat]; daher: kein Z ist X". Aber angenommen, wir nehmen die beiden folgenden Prämissen: "Einige Ys sind nicht Xs (der Farbe nach); jedes Y ist Z (der Farbe nach)". Daraus folgt, "Einige Zs sind nicht Xs (der Farbe nach); jedes Y ist Z (der Farbe nach)", Daraus folgt, einige Zs sind nicht Xs (der Farbe nach) und folglich, einige Zs sind nicht Xs. Aber wir können die Prämissen nicht so abändern, daß sie diesen Schlußsatz aus X und Z und einem Mittelbegriff ergeben.

Zusammenfassung: dM erkennt wohl, daß die Identität von A und B der Schlüssel zum richtigen Formalismus des Satzes ist, bleibt aber in der vermeintlich numerischen Identität stecken und sieht in der "materiellen" Identität nur ein Kuriosum, daß zwar den Anfang der Logik ausmache, aber schnell zu vergessen sei. Das verwickelt ihn notwendig in Widersprüche und läßt das Ende des Kapitels etwas aus dem Ruder geraten. Dafür werden wir im vierten Kapitel umso reichlicher belohnt. Hier kommt die Revolutionierung der Logik, wie man es ohne Übertreibung nennen kann, die Grundlage der vollständigen Logik der endlich und unendlich großen Größen.

Kapitel 4, SätzeDas Kapitel On Propositions ist die eigentliche Wende in der Geschichte der Logik. Mit der Aufstellung der Sätze 3 bis 10 und der Äquivalente der Sätze 3 bis 6 (S. 61), der Sätze als Universum (S. 61) und der Wahrheitswertetabelle (S. 61, 63) legt de Morgan den Grundstein der vollständigen Logik der endlich und unendlich großen Größen.

Ein Name ist ein Symbol, das mit einem oder mehreren Gedankenobjekten in bezug auf eine Ähnlichkeit oder Gemeinsamkeit von Eigenschaften verbunden wird. Oder es ist ein Symbol, das mit einem oder mehreren Gedankenobjekten verbunden wird, um es von anderen zu unterscheiden, die die gleichen Eigenschaften haben. Gegenstände desselben Namens sind, soweit es den Namen betrifft, ununterscheidbar. Und ein Gegenstand kann viele Namen haben, wenn er in vielen Objektklassen des Denkens vorkommt.

Namen sind, wie in Kapitel 2 erklärt, der ausschließliche Gegenstand der formalen Logik. Die Identität und der Unterschied zwischen Dingen wird beschrieben durch das Recht, Namen zu bejahen oder zu leugnen.Und Namen, seien sie einfach oder komplex, werden durch die Buchstaben des Alphabets X, Y, Z repräsentiert.

Ein Satz ist die Feststellung einer größeren oder geringeren Übereinstimmung oder Nicht-Übereinstimmung zwischen zwei Namen. Er drückt aus, daß es von den Xs genannten Gedankengeobjekten einige gibt, die unter den Ys genannten Gedankenobjekten sind oder nicht sind; [55] daß es Objekte gibt, die beide Namen haben oder die nur einen, aber nicht den anderen haben oder die keinen von beiden haben.

In den meisten Fällen sind die Gegenstände des Denkens, die in einen Satz eingehen, nicht aus dem Universum aller möglichen Gegenstände genommen, sondern nur aus einer begrenzten begrenzten Ansammlung von ihnen. Wenn wir etwa sagen "Alle Tiere benötigen Luft", oder daß der Name Luft benötigen zu allem gehört, zu dem der Name Tier gehört, dann sprechen wir von Dingen auf dieser Erde, und die Planeten usw., von denen wir nichts wissen, sind darin nicht eingeschlossen. Mit dem Universum eines Satzes meine ich den ganzen Umfang von Namen, in dem es ausgedrückt oder verstanden wird that the names in the proposition are found. Wenn es einen solchen Ausdruck oder ein Verständnis nicht gibt, dann ist das Universum des Satzes der ganze Umfang möglicher Namen. Wenn wir, das Universum heiße U, das Recht haben zu sagen, "Jedes X ist Y", dann können wir das Univerum nur so ausdehnen, daß es alle möglichen Namen beinhaltet, indem wir sagen, "Jedes X, das U ist, ist eins von den Ys, die Us sind", oder etwas äquivalentes.

Gegenteilige Namen eines Universums sind die, die nicht beide zugleich angewandt werden können, aber von denen aber der eine oder der andere immer zutrifft. So sind im Universum Mensch Briten und Ausländer Gegenteile, im Universum Eigentum sind persönliches und Grundeigentum Gegenteile. Namen, die in einem Universum Gegenteile sind, sind es nicht notwendig in einem größeren. Wenn etwa in der Geometrie das Universum eine Ebene ist, dann sind dort Geradenpaare entweder Parallelen oder sich schneidende Geraden, aber nie beides. Parallelen und sich schneidende Geraden sind dann Gegenteile. Aber wenn der Student dann zur räumlichen Geometrie kommt, in der der ganze Raum das Universum ist, dann gibt es Geraden, die weder Parallelen, noch sich schneidende Geraden; und diese Wörter sind dann keine Gegenteile. Aber Wörter, die im größeren und enthaltenden Universum Gegenteile sind, sind es notwendig auch im kleineren und enthaltenen, außer wenn das kleinere Universum einen Namen absolut ausschließt, dann ist der andere Name das Universum Das ergibt nur einen Sinn, wenn das vom kleineren Universum Ausgeschlossene das All und somit das Ganze und das "Eingeschlossene" der Teil ist. Vom All darf in den Sätzen der Größenlogik ebensowenig gehandelt werden wie bei de Morgan, weil es kein Nicht-All gibt..

Ich werde im weiteren ein Universum immer so auffassen, daß es alle Namen enthält und auch (was sehr wichtig ist), daß kein Name eines Satzes das Universum ausfüllt oder auf alles in ihm angewandt werden kann. Nichts ist einfacher als die Supposition eines Namens so zu behandeln, als wäre er das Universum. Und ich werde Gegenteile [56] durch große und kleine Buchstaben kennzeichnen. Wenn also X eine Name ist, so ist x sein gegenteiliger Name. Und alles (im vorgestellten Universum) ist entweder X oder x, und nichts ist beides.

Ein Satz kann entweder einfach und unvollständig oder komplex und vollständig sein. Der einfache Satz stellt nur fest, daß Xs Ys sind oder nicht Ys sind. Der komplexe Satz, besteht immer aus zwei einfachen - mit Ausnahme eines komplexen Satzes, der aus vier einfachen besteht Der echte eingeschränkte Satz, alle vier Kombinationen von (!)X=(!)Y.. Er verteilt sich in der einen oder anderen Art auf alle X und alle Y. So ist "Jedes X ist Y" ein einfacher Satz, bildet aber einen Teil zweier komplexer Sätze. Er kann entweder zu "Jedes X ist Y, und jedes Y ist X" gehören oder zu "Jedes X ist Y, und einige Ys sind nicht Xs".

Fußnote Anfang: Mit der Konstruktion der einfachen und komplexen Sätze geht de Morgan einen wichtigen Schritt in die richtige Richtung, irrt aber, wie jeder Pionier, der Neuland betritt, in einzelnen Fragen. Jeder Satz hat mehrere stets geltende Nebenbedeutungen. Sagst du "Alle A sind einige B", so gilt stets "Einige Nicht-A sind einige B", "Einige A sind einige B" und "Einige Nicht-A sind einige Nicht-B", wenn die Welt aus +A und -A, aus +B und -B besteht. Diese Entdeckung de Morgans des vorher verschämt genannten unendlichen oder unbestimmten Urteils, wenden wir konsequent auf de Morgans Text an. Nur unterliegt das jeweilige Universum nicht unserer Willkür, sondern wir unterliegen dem Universum. Das sind Bruchstücke der Erkenntnis, von denen de Morgan weiß, daß sie zu ein und derselben Wahrheit gehören, weil es nur eine Wahrheit gibt, die er aber erst als Bruchstücke in den Händen hält. Daß bei der Erforschung von Neuland notwendig scheinbar Unzusammenhängendes und auch Falsches unvermnittelt nebeneinandersteht, ist selbstverständlich. Wichtig für uns ist nur, jetzt seinem Gedanken zu folgen, um das "innere Band", das er konstruiert, zu verstehen. Nur so können wir das innere Band, wenn es das gibt, auch finden. Verdeutlichen wir uns eimal de Morgans Gedanken über die zwei komplex allgemein positiven Sätze (zeichnen Sie Kreise!. Zunächst der eine): 'Every X is Y and some Ys are not Xs.': Ganz X ist Teil von Y. Ein anderer Teil von Y ist nicht X. Beide Sätze zusammen sind der "komplexe" Satz. Der Teil von Y, der genau +X, nicht mehr und nicht weniger ist, ist einer der beiden "simplen" Sätze.Seine scheinbar strenge Unterscheidung zwischen simple und complex propositions wird de Morgan sofort in Teufels Küche bringen. Denn einmal: So sehr man einen Satz auch simple nennen mag; wenn du vom Teil redest oder denkst, meinst du den Teil, der Teil des Ganzen ist, oder du redest Unsinn. Zum andern aber ist schon hier ist zu sehen, daß die Konstruktion der komplexen Sätze nicht einheitlich ist, einmal wie hier als Summe zweier Sätze zum andern als Interpretation: Der zweite komplexe Satz: Ganz X ist Y, und ganz Y ist X, der in der Mathematik und auch bei de Morgan zur Definition der Identität benutzt wird, tanzt aus der Reihe, ist eine logische Zumutung. In der Zeichnung des einen komplexen Satzes kann man den komplexen Satz als die Vereinigungsmenge von dem Teil von Y, der X ist und dem, der nicht X ist, sehen. Zwei Größen werden addiert. Den zweiten komplexen Satz kann man zwar auch zeichnen, nämlich als einen einzigen Kreis um die identischen +X und +Y, von einem Teil des Ganzen kann aber hier keine Rede sein, sondern nur von zwei Ganzen, die identisch sind. Würden wir auch hier die beiden Sätze, die vorgeblich zur Herleitung dienen sollen, addieren, 'every X is Y and every Y is X,' käme Unsinn heraus, nämlich genau die doppelte Größe des komplexen Satzes. Die complex propositions kommen später ausführlich dran. Das alltägliche Denken in Teil:Ganzes-Relationen ist hier der Wissenschaft voraus, was de Morgan leider nicht erkennt: "The propositions advanced in common life are usually complex, with one simple proposition expressed and one understood: but books of logic have hitherto considered only the simple proposition." S.56 De Morgan bringt hier auf den Nenner, wovor sich die Logik vornehm drückt, er nennt das Problem beim Namen: Einerseits darf der log. Satz nur exakt die Größe behandeln, von der er tatsächlich spricht, andrerseits kann vernünftig von Teilen nur gesprochen werden, wenn sie Teile des Ganzen sind. Beides muß der log. Satz aber zugleich leisten: Die mathematische Exaktheit der Gleichung, bei der auf der linken und der rechten Seite die gleiche Größe steht und die exakte Wiedergabe der Teil:Ganzes-Relation zwischen den beiden Satzgrößen. Was jedes Kind versteht, wenn es "A ist Teil von B" sagt, muß doch auch die Logik fertigbringen! Fußnote Ende

Die Sätze, die im täglichen Leben gebraucht werden, sind normalerweise komplex, nämlich ein ausgesprochener und ein gedachter einfacher Satz. Aber die bisherigen Logikbücher haben nur den einfachen Satz behandelt. Daher sollte er auch hier zuerst behandelt werden.

Der einfache Satz muß auf Vorzeichen, relative Quantität und Reihenfolge (order) untersucht werden.

Einfache Sätze haben zwei Vorzeichen: affirmativ und negativ. Es heißt entweder "Xs sind Ys", oder "Xs sind nicht Ys". Die Ausdrücke sind und sind nicht, oder ist und ist nicht, die den Unterschied kennzeichnen, werden Kopulae genannt"The phrases are and are not, or is and is not, which mark the distinction, are called copulae." S.56 Einer der großen wenn nicht der größte Fehler der Logik. Worauf beruht der große Erfolg der mathematischen Gleichung, eines der "logischsten" Gebilde, das wir kennen? Auf der Gleichheit, nicht auf der Ungleichheit, auf dem "=" zwischen rechts und links. Auch de Morgan wird von dem Schicksal der Logiker nicht verschont bleiben, die die Vorzeichen in die Mitte des Satzes verfrachten und dann eine Schaar von "copulae" statt des einen "ist" erhalten..

Die relative QuantitätIch bleibe beim Wort Quantität, weil de Morgan zwar sagt, er handele nur von diskreten Mengen aber oft genug die stetige Größe behandelt, was klar ist, weil es ohne Größe keine Menge gäbe. eines Satzes bezieht sich auf die Anzahl der Fälle der verschiedenen Namen, die in sie eingehen. Der Unterschied in der Quantität wird gewöhnlich durch alle und einigeEinige in der Logik bedeutet eines oder mehrere, womöglich alle. Wer sagt, einige sind, muß damit nicht meinen, die restlichen sind nicht. "Einige Menschen atmen", "Einige Pferde sind duch ihre Gestalt von ihren Reitern zu unterscheiden", hielte man in der normalen Sprache für falsch. Das kommt daher, daß die Umgangssprache den eingeschränkten immer als den oben geschilderten komplex eingeschränkten Satz annimmt und "einige sind nicht" impliziert, wenn "einige sind" gesagt wird. Der Student kann nicht genügend auf diesen Unterschied achten. Ein eingeschränkter Satz ist nur ein "möglicherweise-eingeschränkter". Dann hätten wir neben "gleich" und "ungleich" noch "kleiner-gleich" als copula, und ein Satz könnte mal dies, mal jenes bedeuten. Wir bleiben aber stur und wollen immer und unterschiedslos "=" haben. Der logische Satz darf nicht auslegbar sein. Sagst du: Alle Menschen sind Tiere, so sagst du zugleich: Einige Nicht-Menschen sind Tiere. Wäre das nicht so, so wären alle Menschen alle Tiere. Und trotzdem muß gelten: Einige bedeutet genau einige, und: Alle bedeutet genau alle. Es ist offensichtlich, daß de Morgan hier irrt. Das alltägliche Denken sagt sich, daß hier von einem Teil die Rede ist, wo doch vom Ganzen, nämlich allen Menschen oder allen Pferden die Rede sein müßte. Die beiden eingeschränkten Sätze werden gerade nicht als Teile des komplex eingeschränkten, der alle vier Bedeutungen des eingeschränkten Satzes hat, gedacht, sondern als Teil des allgemeinen Satzes "Alle Menschen sind Teil der Atmenden", der neben dem genannten nur noch zwei der eingeschränkten Nebenbedeutungen hat. kenntlich, was zur Unterscheidung zwischen allgemein und eingeschränkt führt. So sind "Jedes X ist Y" und "Jedes X ist nicht Y" der allgemein bejahende und der allgemein negative Satz, wobei der letztere gewöhnlich als "Kein X ist Y" ausgedrückt wird. Und "Einige Xs sind Ys", und "Einige Xs sind nicht Ys" sind der eingeschränkt bejahende und der eingeschänkt negative Satz. Und wenn die Sätze strikt auf diese vier Formen reduziert werden, dann wird [57] der erste Name X, das Subjekt und der zweite Y, das Prädikat genannt.

Man hat vorgeschlagen, die allgemeinen Sätze als in ihrer Quantität klar bestimmt zu betrachten. Aber das ist nicht ganz korrekt. Der Ausdruck "Alle Xs sind Ys" sagt uns nicht, wie viele Xs es gibt, aber daß die Anzahl der unbekannten existierenden Xs, was immer sie sein möge, und die Anzahl der im Satz angesprochenen Xs dieselbe ist. Was klar ist, ist das Verhältnis (ratio) der Anzahl der Xs des Satzes zur Anzahl der Xs des Universums. So gesehen kann die "definite Quantität" als zu den allgemeinen Sätzen gehörende Abkürzung betrachtet werden. Und die Unbestimmtheit des eingeschränkten Satzes ist nur hypothetisch. Es liegt in unserer Macht uns vorzustellen, daß einige eine Hälfte des Ganzen (whole) oder zwei Drittel oder irgend ein anderer Bruchteil (fraction) ist.

Die Quantität des Subjekts wird ausgesprochen, die des Prädikats wird auch ohne sprachlichen Ausdruck notwendig durch die Sprachbedeutung impliziert. Das Prädikat eines bejahenden Satzes ist eingeschränkt, das eines neagtiven ist allgemeinHier hält de Morgan wiegesagt an einem alten Vorurteil fest und macht es sich und uns unnötig schwer, weil er die beiderseitige Quantifikation nicht zulassen will. +X=(-)Y, Jedes X ist Teil dessen, was nicht Y ist, ist eindeutig, fügt sich in den restlichen Formalismus, und das "Prädikat" ist eingeschränkt. Jeder Versuch, Subjekt und "Prädikat" in diesem logischen Satz allgemein zu machen, schlägt fehl: "Kein Mensch ist ein Stein." Alle Steine? Unsinn. Anders. "Alle Menschen sind nicht Steine." Alle Nicht Steine? Auch Unsinn. Nur das Äquivalent: Ein Teil der Nicht-Menschen sind alle Steine hat ein allgemeines "Prädikat". Der allgemein negative Satz ist neben einigen philosophischen Schrullen einer der Gründe, warum die Logiker vor der beiderseitigen Quantifikation zurückschrecken. Selbst Hamilton, der die beiderseitige Quantifikation am konsequentesten durchführte, erlag dem Irrtum, daß der allgemein negative Satz auf der rechten Seite beim Y allgemein wäre. Dieser Irrtum liegt im Kopf jedes Menschen, der: Kein X ist Y denkt: Zwei getrennte ganze positive Größen als zeichnerische Darstellung des allgemein negativen Satzes, werden als zwei getrennte ganze Größen gezeichnet und als zwei getrennte ganze Größen gedacht. Ganz deutlich und unabweisbar ist vom ganzen X und vom ganzen Y die "Rede" (genau das eben nicht, nur das Bild zeigt zwei ganze Größen). Zu köstlich, daß die Logiker, die sich gegen die Logik der Größen sträuben, an dieser materialistischen Schrulle der beiden ganzen Klümpchen festhalten. Sollen sie. De Morgan wird später selbst das Rätsel lösen, auch wenn er es nicht in seinen Formalismus einbauen wird. Entweder behandelt die simple allgemein negative proposition alle Menschen, dann kann sie (als Satz-Gleichung) nicht zugleich alle Steine behandeln. Das ist eine ganz andere von ihr getrennte Größe. Oder die simple proposition behandelt die Größe "kein Mensch" und setzt sie mit "alle Steine" gleich. Dann wäre die rechte Seite allgemein. Was aber ist "kein Mensch" für eine Größe? Alle Nicht-Menschen? Dann hieße der Satz Alle Nicht-Menschen sind alle Steine! Das Problem ist das: Die Größenbeziehung zweier Größen zueinander können wir nur mit Hilfe der vier Relationen Teil:Ganzes, Ganzes:Teil, Ganzes:Ganzes oder Teil:Teil ausdrücken. Wie soll das aber bei zwei getrennten Größen geschehen? . Wenn ich sage, "Xs sind Ys", selbst wenn ich von allen Xs spreche, dann spreche ich nur von so vielen Ys, die im Vergleich mit den Xs übereinstimmen. Und das müssen nicht alle Ys sein. "Jedes Pferd ist ein Tier" bedeutet, daß, von so ebensovielen Pferden wie Tieren gesprochen wird. Dabei ist völlig offen, ob es noch mehr Tiere gibt oder nicht. Sage ich aber "Xs sind nicht Ys", auch wenn ich nur von einem X spreche, wie in "Dieses X ist nicht ein Y", dann spreche ich dennoch von jedem Y, das existiert. Die Feststellung lautet: "Dieses X ist nicht irgend eines der überhaupt existierenden Ys". Jemand, der den Satz "Diese 20 Xs sind Ys" durch Besichtigung verifizieren wollte, könnte das vielleicht schon nach der Überprüfung von nur 20 Ys bestätigen, wenn er gleich die richtigen Ys getroffen hätte. Aber er könnte "Dieses eine X ist nicht ein Y" nicht verifizieren, solange er nicht jedes existierende Y überprüft hätte. Das ist die allgemeine Lehrmeinung. Aber owohl man natürlich zugeben muß, daß der allgemeine Satz uns nur gestattet, einige Fälle des Prädikats zu folgern, wäre es, wie ich denke, dennoch richtiger zu sagen, daß vom Prädikat des bejahenden Satzes allgemein aber unteilbar und vom Prädikat des negativen Satzes allgemein und teilbar gesprochen wird. "Einige Xs sind Ys" sagt uns, daß jedes erwähnte X entweder das erste Y oder das zweite Y oder das dritte Y usw. ist, wobei kein Y vom Vergleich ausgeschlossen ist. Aber [58] "Einige Xs sind nicht Ys" sagt uns, daß jedes erwähnte X absolut nicht das erste Y, nicht das zweite Y, nicht das dritte Y usw., tatsächlich nicht irgendeines aller der Ys ist"Jedes erwähnte" X im ersten Fall sind "einige X". Es mag zwar sein, daß kein Y vom Vergleich ausgeschlossen ist, aber den Satz interessiert nur, ob einige X einige oder alle Y sind. Sicher einige. Sonst würde der Satz ja nicht gesagt. Ebenso interessiert im zweiten Fall die Quantifikation "nicht irgend eines der: not any one of all the" nicht, sondern nur, daß einige X ein Teil dessen sind, was nicht Y ist.. Trotzdem übermittelt das Prädikat eines positiven Satzes jedoch nicht mehr, als es tun würde, wenn schließlich die als Xs akzeptierten Ys separiert würden und als die einzigen Ys, über die gesprochen wird, betrachtet würdenDiese verschämte Umschreibung für "einige Ys" muß man wie vieles im Text aus dem von Hamilton ausgegangenen und im ganzen unschönen Prioritätenstreit der beiderseitigen Quantifikation verstehen..

Die Relation der allgemeinen Quantität zur ganzen Quantität der existierenden Fälle ist eindeutig (definit), weil sie die ganze Quantität [der existierenden Fälle] selbst ist. Aber die eingeschränkte Quantität ist völlig unbestimmt (indefinit): "Einige Xs sind Ys" gibt weder einen Anhaltspunkt, über welchen Teil (fraction) aller Xs gesprochen wird, noch darüber, welchen Teil der Ys sie ausmachen. Die Umgangssprache macht einige konventionelle Annäherungen an die Eindeutigkeit, die in Logikarbeiten verworfen werden. "Einige" bedeutet gewöhnlich einen recht kleinen Teil des Ganzen. Ein größerer Teil würde etwa durch "sehr viele" ausgedrückt, und etwas mehr als die Hälfte durch "die meisten", während ein noch größerer Teil "eine große Mehrheit" oder "fast alle" sein würde. Ein in der Quantität vollkommen eindeutiger eingeschränkter Satz würde ausdrücken, wie viele Xs existieren, wie viele Ys und wie viele Xs Ys sind oder nicht sind, wie in "70 der 100 Xs befinden sich unter den 200 Ys". In diesem Kapitel werde ich nur die unbestimmt eingeschränkten Sätze behandeln und die eindeutig eingeschränkten für spätere Betrachtungen aufheben.

Die Reihenfolge (order) eines Satzes bezieht sich auf Subjekt und Prädikat. So stellen "Jedes X ist Y", und "Jedes Y ist Y" zwei allgemein bejahende Beziehungen zwischen X und Y fest, sind aber zwei verschiedene Sätze. Sie werden konverse Formen genannt. Wenn Subjekt und Prädikat dieselbe Art der Quantität haben, beide allgemein oder beide eingeschränkt, dann ergibt die konvere Form dieselben Sätze. So sind "Kein X ist Y", und "Kein Y ist X" dasselbe. Keiner der beiden hat irgend eine andere Bedeutung, die der andere nicht hat, vielleicht mit Ausnahme der Betonung. Und "Einige Xs sind Ys" ist dasselbe wie "Einige Ys sind Xs". Der allgemein negative, der in beiden Begriffen allgemein ist und der eingeschränkt positive, in dem beide eingeschränkt sind, - sind notwendig konvertible Sätze. Aber der allgemein positive, in dem das Subjekt allgemein und das Prädikat eingeschränkt ist, ist nicht notwendig konvertibel und wird allgemein inkonvertibel genannt. Er kann in einem Fall konvertibel sein und inkonvertibel in einem [59] anderen. Aber der Begriff inkonvertibel ist aus dem folgenden Grund nicht korrekt.

Die Übereinstimmungen und Nicht-Übereistimmungen, die in der Logik behandelt werden, haben den Charakter: Es kann nur Übereinstimmung mit Einem geben, aber Nicht-Übereinstimmung kann es mit Allen geben. Wenn "dieses X sei ein Y" gilt, dann ist es nur ein Y. "Dieses X ist entweder das erste Y oder das zweite Y oder das dritte Y usw." Wenn es 100 Ys gibt, dann sind für die, die es wissen können, 99 Negationen genauso in dem Satz wie [eine] Position. Und dennoch wird der Satz zweifellos richtig positiv genannt. Gilt aber "dieses X ist nicht ein Y", dann haben wir "Dieses X ist nicht das erste Y, und es ist nicht das zweite Y, und es ist nicht das dritte Y, usw.". Diese Bejahung nennt man üblicherweise disjunktiv, die Verneinung konjunktivEine der Stellen in de Morgans Arbeit, wo er Prädikatenlogik (Satzlogik) betreibt. Leider das einzige, was die meisten Heutigen von seinem epochemachenden Werk wissen. Vermutlich ist in de Morgan's Ansatz die langesuchte Verbindung zwischen Satzlogik und Größenlogik, der Logik der diskreten Einheiten und der Logik der stetigen Größen zu finden. Leider sind die einen auf dem Gebiet der anderen meist Laien.. Eine disjunktive Negation wäre überhaupt kein Satz außer dem, daß ein und dasselbe Ding nicht zwei verschiedene Dinge sein kann. Jedes X ist entweder nicht das erste Y oder nicht das zweite Y. Und ähnlich wäre eine konjunktive Bejahung eine Unmöglichkeit, sie würde behaupten, daß ein Ding zwei oder mehrere Dinge sei.

Wir müssen uns darauf einstellen, Gegensätze zu untersuchen, die auf der einen Seite eine bestimmte Notwendigkeit und auf der anderen die Möglichkeit von Alternativen haben. Und wir müssen uns darauf einstellen, rein etymologisch gesehen mit diesen gegensätzlichen Termen bestimmte Notwendigkeiten gegensätzlicher Merkmale zu kennzeichnen. Das passiert etwa bei dem obigen Fall. Konveribel bedeutet absolut und notwendig konvertibel, inkonvertibel bedeutet konvertibel oder inkonvertibel, je nachdem (!)Die Erläuterug dieser scheinbaren Absurdität folgt auf dem Fuß, nämlich die Aufzählung der Gesetze des "logischen Quadrats", einem weiteren von Boethius verbreiteten beliebten Spielzeug der Scholastik, das aber im Gegensatz zu vielem anderen Gerede einen Ansatz einer Formalisierung in sich birgt, der Wahrheitswertetabelle: Die Gegenüberstellung der 4 log. Sätze und ihr Zusammenhang als "konträr, kontradiktorisch, subkonträr und subaltern". Die Gesetze sind zwar alle richtig, aber nur ein magerer Ersatz der Wahrheitswertetabelle, in der alle Möglichkeiten zweier gleichzeitig wahrer oder nicht wahrer Sätze stehen. Außerdem sind etwa die sog. Umkehrungsregeln nur richtig, solange nicht beide Seiten quantifiziert bzw. Äquivalente gebildet werden. Als inkonvertibel galten seit Aristoteles bis hin zu den meisten Heutigen die Sätze "Alle X sind Y" und "Einige X sind nicht Y". Konvertibel dagegen waren "Alle X sind nicht Y" und "Einige X sind Y". Konvertibel sind Sätze, in denen X und Y die Plätze tauschen können, inkonvertible Sätze lassen das nicht zu. Bei diesen "Gesetzen" war also das alltägliche Denken Maßstab für die Wissenschaft, da ja ohne Formalismus einleuchtet, daß "Alle X sind Y" nicht dasselbe ist wie "Alle Y sind X" und "Alle X sind nicht Y" und "Alle Y sind nicht X" dasselbe zu sein scheinen.. Nehmen wir die vier Formen in einer Reihenfolge, dann finden wir, daß keiner der allgemeinen Sätze mit einem der entgegengesetzten Sätze zugleich sein kann. So kann "Jedes X ist Y" nicht wahr sein, wenn entweder "Kein X ist Y" oder "Einige Xs sind nicht Ys" gilt. Und "Kein X ist Y" kann nicht wahr sein, wenn entweder "Jedes X ist Y" oder "Einige Xs sind Ys" wahr ist. Aber alle eingeschränkten Sätze sind notwendig nur mit dem jeweils entgegengesetzten allgemeinen Satz inkonsistent. So kann "Einige Xs sind Ys" nicht wahr sein, wenn "Kein X ist Y" wahr ist, aber es kann wahr sein, wenn "Einige Xs sind nicht Ys" gilt. Und "Einige Xs sind nicht Ys" kann nicht wahr sein, wenn "Jedes X ist Y" gilt, aber es kann wahr sein, auch wenn "Einige Xs sind Ys" gilt.

Das Paar "Jedes X ist Y" und "Einige Xs sind nicht Ys" wird kontradiktorisch genannt. Ebenso das Paar "Kein X ist Y" und "Einige Xs sind Ys". In jedem Paar kontradiktorischer Sätze muß der eine wahr sein, und [60] der andere muß falsch sein, so daß die Bejahung des einen die Verneinung des anderen ist, und die Verneinung des einen die Bejahung des anderen. Das Paar "Jedes X ist Y" und "Kein X ist Y" wird gewöhnlich konträr genannt. Kontrarität führt zur äußersten Form der Kontradiktion. Konträre Sätze konnen beide falsch sein, aber können nicht beide wahr sein. Die beiden "Einige Xs sind Ys" und "Einige Xs sind nicht Ys", die beide wahr sein können, aber nicht beide falsch sein können, werden gewöhnlich subkonträr genannt. Aber aus Gründen, die noch zu nennen sein werden, werde ich die Unterscheidung zwischen den Wörtern konträr und kontradiktorisch verwerfen und sie als synonym behandeln. Und die Sätze die gewöhnlich konträr genannt werden, "Jedes X ist Y" und "Kein X ist Y" werde ich subkonträr nennen, während ich die gewöhnlich subkonträr genannten "Einige Xs sind Ys" und "Einige Xs sind nicht Ys" superkonträr nennen werdeKeine Panik, es wird einfacher, als es sich zunächst anhört. Daß de Morgan ausgerechnet das "logische Quadrat" als Vorlage nimmt und daran herumdoktort, liegt wohl wieder daran, daß er es für "aristotelisch" hält..

Ich werde nun zu einer erweiterten Betrachtung der logischen Sätze kommen und zu der Struktur ihrer Notation, die für ihre verschiedenen Fälle geeignet ist.

Wie gewöhnlich sei der allgemein positive Satz durch A gekennzeichnet, der eingeschränkt positive durch I, der allgemein negative durch E und der eingeschränkt negative durch O. Das ist der gewöhnliche Umfang symbolischer Ausdrücke logischer Sätze. Ich schlage vor, die folgenden Erweiterungen in dieser Arbeit vorzunehmen: Es sei eine bestimmte Reihenfolge von Subjekt und Prädikat der Standard. Bei den Buchstaben X, Y, Z sei die Reihenfolge immer XY, YZ, XZ. Es seien x, y, z die gegenteiligen Namen von X, Y, Z, und ihre Reihenfolge sei dieselbe wie der Standard. Wenn die vier Satzarten aus X, Y, Z gebildet werden, sollen als sie A, E, I, O, bezeichnet werden. Werden sie dagegen aus den Gegenteilen gebildet, so heißen sie A’ E’ I’ O’. Bezogen auf Y und Z ist also "Jedes Y ist Z" (das Paar in dieser Reihenfolge) der A, während "Jedes y ist z" der A’ istWichtig, gut und richtig ist, daß de Morgan stets die Reihenfolge XYZ im Schluß einhält und folglich auch die Satzteile stets dieselbe Reihenfolge haben. Schon hier zeigt sich aber die Problematik der Adaption des Barbara-Logiker-Sprachgebrauchs (der übrigens nicht auf Petrus Hispanus zurückgeht, wie ich bis vor kurzem auch noch glaubte, sondern die erste Quelle ist bei dem byzantinischen Mönch Psellus zu finden, gest. um 1096, vgl. Prantl): Der A, ist der +Y=(+)Z, während der A’ das Äquivalent des Satzes (+)Y=+Z, nämlich -Y=(-)Z ist. Die beiden allgemein positiven Sätze kannte Aristoteles schon, mußte sich aber mit Umkehrungsregeln und dem indirekten Beweis behelfen, wenn er sie ausdrücken wollte. Februar 2018: 2001 habe ich zum ersten mal das Symbol für das Ganze [ ] benutzt. In der vorliegenden Arbeit von 2000 habe ich es noch nicht. Die obigen Sätze mit Ganzen schreibe ich heute so: [+]Y=(+)Z, (+)Y=[+]Z, [‐]Y=(‐)Z oder [+]X=(-)Y. Das bedeutet, überall, wo in meinen Kommentaren ein Vorzeichen plus oder minus ohne Klammern auftritt, ist in Gedanken [ ] um es herumzulegen. . Ich würde vorschlagen, den A, und A’ sub-A und super-A des Begriffspaars in dieser Reihenfolge zu nennen. Die Hilfen, die das unserem Gedächtnis geben wird, werden sofort klar werden. Das gleiche gilt für I, und I’ usw.

Folgende Abkürzungen sollen gelten:

de Morgan Größenlogik
X)Y bedeutet "Jedes X ist Y" + X=(+)Y
X:Y "Einige Xs sind nicht Ys" (+)X=(-)Y
X.Y "Kein X ist Y" + X=(-)Y
X Y "Einige Xs sind Ys" (+)X=(+)Y
Da die Geistesverwandtschaft zwischen de Morgan und mir größer nicht sein könnte, erlaube ich mir, direkt im Text Erläuterungen meist in der Schrift Arial zu geben, wo ich es für nötig halte. Ich stelle de Morgans Sätze Seidels Sätze zur Seite. Die Sätze gehören natürlich weder mir noch de Morgan, sondern sind Ausdruck der unabhängig vom Hirn des Forschers existierenden oder wahren Zusammenhänge der Dinge. Diese Tatsache war zunächst eine bittre Pille für mich, als ich auf Mennes Anraten de Morgans Arbeiten studierte und sah, daß er im Keim alle Sätze, die ich für meine Entdeckung hielt, bereits gefunden hatte. Sie wich aber schnell der Freude über die Bestätigung, daß es nur eine Wahrheit gibt und daß jeder, der sie ersthaft sucht, zu den gleichen Ergebnissen gelangen muß. Die Rückkehr zu der aristotelischen Form der Sätze ist ein wichtiger Schritt zur Formalisierung der Satzgleichung. Statt der kindischen AEIO werden die beiden Satzteile getrennt. Statt der einen Gleichheit hätten wir aber nun 4 copulae zwischen den X und Y und damit acht Arten der Bejahung/Verneinung! Denn die copulae sollen den Satz ja angeblich als ganzen bejahen/verneinen.

[61] Es gibt acht verschiedene Arten, unabhängig von den Gegenteilen, in denen ein einfacher Satz mit Hilfe von X und Y gebildet werden kann. Diese acht Arten sind X)Y und Y)X; X:Y und Y:X; X.Y und Y.X; X Y und Y X. Aber diese acht sind nur sechs Sätzen äquivalent, denn X.Y und Y.X sind dieselben und ebenso X Y und Y X. Weiter, es gibt sechs einfache Sätze zwischen x und y, sechs zwischen X und y und sechs zwischen x und Y. Nimmt man die Gegenteile hinzu, so gibt es vierundzwanzig klare Arten, einen einfachen Satz aus X und Y zu bilden; aber sie sind nicht alle voneinander verschieden. Acht von ihnen enthalten den ganzen Rest. Diese acht sind die oben beschriebenen A, E, I, O, A’ E’ I’ O’. Das kann man aus der folgenden Tabelle, die sorgfältig studiert werden sollte, erkennen.

de Morgan und Größenlogik jeweils untereinander

A, X)Y = X.y = y)x
+ X=(+)Y + X=(-)-Y - Y=(+)-X
O, X:Y = X y = y:x
(+)X=(-)Y (+)X=(+)(-)Y (-)Y=(-)-X
E, X.Y = X)y = Y)x
+ X=(-)Y + X=(+)-Y + Y=(+)-X
I, X Y = X:y = Y:x
(+)X=(+)Y (+)X=(-)-Y (+)Y=(-)-X
A’ x)y = x.Y = Y)X
- X=(+)-Y - X=(-)+Y + Y=(+)X
O’ x:y = x Y = Y:X
(+)-X=(-)-Y (+)-X=(+)Y (+)Y=(-)X
E’ x.y = x)Y = y)X
- X=(-)-Y - X=(+)Y - Y=(+)X
I’ x y = x:Y = y:X
(+)-X=(+)-Y (+)-X=(-)Y (+)(-)Y=(-)X
De Morgan kommt zu ausnahmslos richtigen Ergebnissen (bis auf das "=" zwischen erster und dritter Spalte bei den allgemeinen Sätzen, den Äquivalenten von Satz 3 bis Satz 6). Daß (-)- = (+) und (+)- = (-) gelten, wird sich in BERECHNUNG zeigen. Zunächst muß ich darum bitten, daß Sie mir auf Kredit glauben, daß in der Mathematik wie in der Logik Gleiches mal Gleiches Plus und Gleiches mal Ungleiches Minus ergibt (mit einigen Einschränkungen in der Logik). Weil de Morgan die mittlerweile vier Kopulae in die Mitte verfrachtet und die beiderseitige Quantifikation scheut, muß er bei den beiden Äquivalenten + X=(+)Y und (-)X= - Y und den folgenden nun doch die Reihenfolge von X und Y vertauschen.

Ich vermute, die meisten Leser werden leicht die Wahrheit der hier behaupteten Identitäten erkennen Die Äquivalente der allgemeinen Sätze (erste und dritte Spalte), die unter Namen wie Kontraposition oder Äquipollenz meist nur für den Satz 5 in der Logik ein Exotendasein fristen, sind zwar immer zugleich wahr, aber sie sind nicht identisch (auch numerisch nicht, wie Sie de Morgans nun folgender Darstellung der Satzuniversen entnehmen können, es sei den +A und –A sind zufällig einmal gleichgroß bzw gleichviel, etwa die positiven und negativen Zahlen im Universum natürliche Zahlen. Aber auch da gilt:) Jedes mü von +A nimmt einen anderen Ort als -A ein, Identität ist aber das Einnehmen desselben Ortes. Vgl. Aristoteles’ Physik, Buch 4, Kap. 10-14, wo die Gleichzeitigkeit als eine Funktion des Ortes und die Zeit als Funktion der Bewegung, des sukzessiven Einnehmens vieler Orte, aufgezeigt wird. Bei den eingeschränkten Sätzen hat de Morgan jedoch recht, (+)A=(-)B und (-)B=(+)A sind identisch.. Wo nicht, kann die folgende Illustration (die sehr von Nutzen sein wird, wenn ich den Syllogismus behandeln werde) ausprobiert werden. Es sei U der Name des Satzuniversums. Schreib so viele Us in eine Zeile, wie viele getrennte Gegenstände es gibt, auf die dieser Name anwendbar ist. Ein Dutzend ist zur Illustration genauso gut wie eine Million. Unter jedes U, das ein X ist, schreib X und natürlich x unter den ganzen Rest. Folge dem gleichen Plan mit Y. Das Auftreten von Buchstaben in derselben Spalte zeigt, daß sie Namen desselben Gegenstands sind. Das Folgende ist ein Muster für die acht Standard-Satzarten, auf die allen anderen zurückgeführt werden können.

de Morgan Größenlogik de Morgan Größenlogik
A, UUUUUUUUUUUU A’ UUUUUUUUUUUU
XXXXXxxxxxxx + X=(+)Y XXXXXXXXxxxx (+)X= + Y
YYYYYYYYyyyy (-)X= - Y YYYYYyyyyyyy - X=(-)Y
O, UUUUUUUUUUUU (+)X=(+)Y O’ UUUUUUUUUUUU (+)X=(+)Y
XXXXXXXxxxxx (+)X=(-)Y XXXXXxxxxxxx (+)X=(-)Y
I, yyyyYYYYYYyy (-)X=(+)Y I’ YYyyyyyyYYYY (-)X=(+)Y
(-)X=(-)Y (-)X=(-)Y
E, UUUUUUUUUUUU E’ UUUUUUUUUUUU
XXXXxxxxxxxx + X=(-)Y XXXXXXXXxxxx (+)X= - Y
yyyyyyyYYYYY (-)X= + Y yyyyyYYYYYYY - X=(+)Y
Die Aufstellung der acht Sätze ist nicht weniger als der direkt an Aristoteles anküpfende Neubeginn der Logik, sieht man einmal von den AEIO ab, die hier zunächst nicht weiter stören. Die vier allgemeinen Sätze A, A’ E, E’ mit ihren Äquivalenten gehen aus de Morgans Universen eindeutig hervor. Ebenso alle (nicht echten) Nebenbedeutungen der allgemeinen Sätze, die ich hier nicht dazugeschrieben habe, um das Bild nicht allzusehr zu verwirren. Nach dem Studium der Wahrheitswertetabelle (S. 63) können Sie de Morgan’s Universen nochmals untersuchen und werden auch die Nebenbedeutungen finden. Bei dem Satz 3 E’: - X=(+)Y, den de Morgan ebenso wie Satz 10 I’: (-)Y=(-)Y entdeckt hat, lassen sich nicht nur die beiden Seiten, sondern unabhängig davon auch die beiden Vorzeichen vertauschen: (+)X= - Y und - X=(+)Y. Diese von Satz 6 E,: + X=(-)Y und Satz 7 I,: (+)X=(+)Y bekannte und scheinbar rätselhafte Erscheinung ist nichts andres als die Ungleichung !X § !Y |*(-1), wobei der Teil zum Ganzen und umgekehrt wird und die für alle allgemeinen Sätze gleichermaßen gilt, etwa + X=(+)Y ergibt (-)X= - Y , da +X < +Y |*(-1) = -X > -Y. Und da das Ganze größer als der Teil ist (-)X= - Y, "ein Teil von -X ist das ganze -Y". Jeder eingeschränkte Satz, der sich als 2 ganze sich schneidende Größen darstellen läßt, die in einer dritten, dem Universum enthalten sind, hat immer auch die anderen 3 als Nebenbedeutung. Deren Summe ist immer das Universum, der "komplex eingeschränkte", wie ihn de Morgan nennt. Das zweite universe für O’ und I’ ist eigtl. überflüssig, da aus beiden Universen alle vier Sätze ablesbar sind. Daß die Größen getrennt werden müssen, ist nicht tragisch. Die Größe "alle Menschen" ist ja auch nicht ein einziger Klumpen. Wichtig ist nur, daß die vier das Universum restlos ausfüllen.

Schreiben wir die Satzuniversen als Wahrheitswertetabelle. Sie wird spaltensweise so gelesen: Wenn E’ wahr ist, dann sind I, O, O’ auch wahr, aber auch das allgemeine Äquivalente, das de Morgan eben in der dritten Spalte seiner Tabelle Seite 61 aufgezeigt hat; ebenso die anderen fünf allgemeinen Äquivalente, für die er keine eigenen Namen hat. Februar 2018: Ich habe vergessen zu sagen, dass, wenn E’ wahr ist, E’ wahr ist. Und ebenso bei allen anderen. Diese Nachlässigkeit unterläuft auch anderen. Sie wird in der mathematischen Logik zu einem Abschneiden der oberen allgemeinen Hälfte der Tabelle führen.
E’ A’ A, E, I, O, O’ I’
E’ w
A’ w
A, w
E, w
I, w w w w w w w
O, w w w w w w w
O’ w w w w w w w
I’ w w w w w w w

[62] Im ersten Schema A, gibt es zwölf Us, von denen die ersten fünf sowohl Xs als auch Ys sind, die nächsten drei Ys aber nicht Xs, die letzten vier weder Xs noch Ys. Dieser so konstruierte Fall, daß X)Y wahr ist, zeigt X.y und y)x.

Die Sätze A, und A’, X)Y und x)y kann man contranominal nennen, weil jeder Name das contrary des Namens im anderen Satz ist. Es scheint also, daß bei inkonvertiblen Sätzen contranominal und konvers Begriffe mit derselben Bedeutung sind, weil X)Y und y)x dasselbe sind und ebenso x:y und Y:X. Und da es natürlicher ist, von den direkten Namen zu sprechen als von ihren Gegenteilen, ist es das beste für A’ und O’ die Ideen Y)X und Y:X Alle Sätze sind als Satzgleichung "konvertibel". zu verwenden, aber nicht um ihre Ableitung aus x)y und x:y zu vergessen. Beachten Sie, daß jeder allgemeine Satz in seiner positiven Form konvertierte contranominals hat. So ist X)Y = y)x Die Negation beider Satzteile funktioniert bei den beiden allgemein positiven Sätzen bei Vertauschung der X und Y. Daß die X und Y im Äquivalent vertauscht werden müssen, ist dagegen nur in de Morgans Formalismus notwendig, weil de Morgan nur eine Art der affirmative form, nämlich ")" kennt. Auch hier haben die Nachfolger eine neue copula: "(" hinzugesetzt und die "Algebra der Logik" mehr und mehr zu einem Kramladen gemacht.. Und obwohl X.Y ist, ist es nicht y.x, bringen wir jedoch X.Y in die positive Form X)y, ist er äquivalent zu Y)x Aus einem alten Manuskript: Da ist jedes Komma richtig, und das ohne den Formalismus! de Morgan bezeichnet den allgemein negativen Satz gelegentlich als in einer affirmative form ausdrückbar. Das ist aber die Ganzes:Teil-Beziehung (links Ganzes, rechts Teil), der allgemein negative Satz ist also nicht auf beiden Seiten allgemein.. Bei den eingeschränkten Sätzen haben die negativen Formen dieselben Eigenschaften. Die contranominals der konvertiblen Sätze E, und I, haben eine völlig verschiedene Bedeutung. Sie wurden bis jetzt noch nie in die Logik eingeführt, und es werden einige Worte der Erläuterung angebracht sein.

Zunächst zu I’ oder x y. Wir drücken hier daus, daß einige nicht-Xs nicht-Ys sind oder daß es Dinge in dem Universum gibt, die weder Xs noch Ys sind. Das heißt, X und Y sind keine Komplemente, das heißt, füllen das Universum nicht aus, noch füllen sie es mehr als aus. Dann E’ oder x.y. Hier sagen wir, daß kein nicht-X nicht-Y ist oder daß alles im Universum entweder X oder Y ist oder beides. Die beiden letzten Wörten sind wichtig: Ließen wir sie weg, so kämen wir zu der Vorstellung daß bei x.y X und Y Gegenteile seien, was nicht notwendig wahr sein muß. "Ganz nicht-X ist Teil von Y", -X=(+)Y. Hier müssen wir dem Entdecker noch etwas Unbeholfenheit zugestehen, zumal er beides, negative Begriffe im gesprochenen Satz und die beiserseitige Quantifikation nicht zur Verfügung hat. Ich habe eine halbe Ewigkeit gebraucht, um den Satz in ein einigermaßen verständliches Deutsch zu bringen. Einige sagen, der Satz sei sinnlos, weil das ganze nicht-X von einer unbenennbaren Größe handelt. Dann ist aber die ganze Logik sinnlos, weil in jedem Äquivalent unendliche Größen stehen und der Satz nur wahr ist, wenn das Äquivalent wahr ist. Sagst du "Alle Menschen sind Tiere", so darf im ganzen restlichen Universum: Nicht-Menschen kein Stückchen Mensch mehr sein, denn das könnte ja eine Pflanze sein. Ob einem die negativen Begriffe dabei behagen oder nicht, spielt keine Rolle. Es ist so.

Folglich sind die acht Standardformen des Ausdrucks in bezug auf die Reihenfolge XY und dargestellt in einer Form, die möglichst bequem und einfach zu denken und auszusprechen ist, folgendermaßen:

A, oder X)Y Jedes X ist Y A’ oder Y)X Jedes Y ist X
O, oder X:Y Einige Xs sind nicht Ys O’ oder Y:X Einige Ys sind nicht Xs
E, oder X.Y Kein X ist Y E’ oder x.y Alles ist entweder X oder Y
I, oder X Y Einige Xs sind Ys I’ oder x y Einige Dinge sind weder Xs noch Ys

Kommen wir zurück auf die Tabelle (S. 61), so sehen wir jetzt folgende allgemeine Gesetze. 1. Jede Triade von Äquivalenten (gut! Ich schwörs bei Gott, glaubte ich an ihn, daß ich den Begriff Äquivalent hatte, bevor ich de Morgan kannte!) enthält zwei Inkonvertible und eine Konvertible. 2. Jede der acht Formen spricht bei den Vieren X, Y, x, y von [63] jeweils Zweien allgemein und von Zweien eingeschränkt. 3. Ein Satz spricht verschieden von jedem Namen und seinem Gegenteil, universell vom einen und partikulär vom andern. 4. Die im gewöhnlichen Sinne kontradiktorisch genannten Sätze, mögen hier in einem anderen Sinn so genannt werden, denn sie sprechen in der gleichen Weise von Gegenteilen. So spricht X)Y allgemein von X und partikukär von Y. Seine Verneinung X:Y oder y:x spricht allgemein von x und eingeschränkt von y.

Und es ist klar, daß die acht Formen entweder nicht zusammen sein können oder daß die eine sein muß, wenn die andere ist oder daß die eine mit oder ohne die andere sein kann. Die Möglichkeiten für jeden Fall sind in der folgenden Tabelle dargestellt.

verneint enthält ist indifferent zu verneint ist enthal- ten in ist indifferent zu
A, O, E, E’ I, I’ A’O’ O, A, E, E’ A’ O’ I, I’
A’ O’ E’ E, I’ I, A,O, O’ A’ E’ E, A, O, I’ I,
E, I, A, A’ O,O’ E’ I’ I, E, A, A’ E’ I’ O,O’
E’ I’ A’ A, O’O, E, I, I’ E’ A’ A, E, I, O’O,

Ich schreibe auch diese Tabelle einmal als Wahrheitswertetabelle in den Text. Verneint=f, (enthält und ist enthalten)=w, indifferent=i, benutze aber die Reihenfolge der Sätze wie in der Größenlogik (3 bis 10), weil die contranominals den Eindruck vermitteln, sie hätten etwas miteinander zu zun, was nicht der Fall ist. Die Wahrheitswerte werden spaltenweise von oben nach unten gelesen, bei "ist enthalten" von links nach rechts. 2018: Die Diagonale E’E’ bis I’I’ ist mit den Wahrheitserten w zu füllen, da jeder Satz sich selbst gleich ist. Aber das Weglassen der oberen Wahrheitswerte wird ab nun zur Tradition.

E’ A’ A, E, I, O, O’ I’
E’ f f i i f
A’ f i f i i
A, f i f f i
E, i f f f i
I, i w w f i i i
O, w i f w i i i
O’ w f i w i i i
I’ f w w i i i i

Alle Wahrheitswerte "w" und "f" sind richtig, die "i" nicht. Sie sind in den unteren vier Zeilen für alle Sätze für alle stets "w", in den oberen vier Zeilen stets "f". Daß alle Sätze mit sich selbst identisch und damit "w" sind, ist klar. Die Indifferenz bei den vier allgemeinen in den vier unteren Zeilen sind genau die "eingeschränkten Sätze mit allgemeiner Nebenbedeutung", ein Irrtum, dem ich jahrelang aufgesessen bin. De Morgan hätte bei seinen Satzuniversen bleiben sollen und aus ihnen dierekt die Wahrheitswerte ablesen müssen. Vermutlich erfindet er die "Indifferenz" für die Konstruktion der Sätze 1 und 2. Jetzt wird vieles umständlich aber auch vieles Neues<-irgendwas in dem Sinn nur in Deutsch!!

Ein Satz, der völlig indifferent ist, sei ein concomitant (Begleiterscheinung Begriffe de Morgans, die ich nicht in meinen logischen Sprachgebrauch übernehme, lasse ich unübersetzt. Teilweise stimme ich nicht überein, teilweise ist de Morgan meinem Ansatz überlegen oder besser: voraus; nämlich da, wo er Satz- und Größenlogik (Prädikatenlogik und Syllogistik) in Eins bringt, weil de Morgan nicht mal eben von der inneren Struktur des Satzes absieht. Teilweise aber sind seine Begriffe auch mehrdeutig. Concomitant kann auch die stets geltende Nebenbedeutung eines Satzes sein.). Dann scheint es, daß jeder allgemeine Satz als concomitants wenigstens sein contranominal und dessen Gegenteil hat; aber jeder eingeschränkte Satz hat alle als concomitants, außer sein eigenes Gegenteil. Jeder allgemeine verneint neben seinem eigenen Gegenteil die beiden allgemeinen mit entgegengesetzten Namen und enthält die beiden eingeschränkten mit dem gleichen [entgegengesetzten] Namen. Die beiden concomitants eines allgemeinen können als sein allgemeines und eingeschränktes concomitant bezeichnet werden.

Es ist eine gewisse Wiederholung in der Wahl unserer vier Formen, die mit den vier XY, Xy, xy, xY kombiniert werden. Wenn irgend eine der vier Formen A, E, A’ E’, auf sie alle angewandt wird, ergibt es die vier Formen abgeleitet aus aus XY. So ergibt der A, mit XY, Xy, xy, xY alle vier A, E, A’ und E’ aus XY. Und der E’ mit XY, Xy, xy, xY ergibt die E’ A’ E, A, aus XY usw.

Setzen wir für ")" in alle Verbindungen zwischen X und Y +=(+) ein, so ergibt sich: de Morgan Größenlogik
X)Y A, ++X=(+)+Y ; +X=(+)Y
X)y E, ++X=(+)-Y ; +X=(-)Y
x)y A’ + -X=(+)-Y ; -X=(-)Y, Äquivalent von (+)X=+Y
x)Y E’ + -Y=(+)+Y ; -Y=(+)Y
Setzen wir für "." in alle Verbindungen zwischen X und Y (+)= - ein, so ergibt sich:
X.Y E’ (+)+X=+-Y ; (+)X=-Y
X.y A’ (+)+X=--Y ; (+)X=+Y
x.y E, (+)-X=--Y ; (-)X=+Y
x.Y A, (+)-X=-+Y ; (-)X=-Y, Äquivalent von +X=(+)Y
De Morgan fährt fort:

Zur Übung wird es nützlich sein, das obige und mehr noch die Fälle, die im folgenden enthalten sind, zu prüfen.

Es gibt vier Dinge in einem Satz, die alle in ihr Gegenteil umgewandelt werden können: Subjekt, Prädikat, Reihenfolge und Kopula. Es sei S die Richtung, das Subjekt in sein Gegenteil zu ändern, P [64] das gleiche für das Prädikat. T sei die Richtung, die Reihenfolge umzuwandeln; und F sei die Richtung, die Form aus affirmativ in negativ oder aus negativ in bejahend zu ändern. Wenn T auftritt, sei diese Änderung bereits vollzogen, um Verwirrung zu vermeiden. S ergibt SPT, auf X)Y angewandt zunächst x)Y aus S, dann x)y aus P und y)x aus T, was wieder X)Y ist, so daß die Umwandlung von Subjekt, Prädikat und Reihenfolge überhaupt keine Umwandlung ist.

SPT mit + X=(+)Y
SP - X=(-)Y
T - Y=(-)X
(-)X= - Y
ergibt das Äquivalent des Ausgangssatzes, aber aus dem Äquivalent eines ganz anderen Satzes. Da wollen wir vorsichtig sein. Denn daraus müßte ein logisches Gesetz "zweimal unwahr ist wahr gefolgert" werden.

Es sei L die Repräsentation von überhaupt keiner Änderung. Um die äquivalenten Änderungen zu untersuchen, beachten Sie erstens, daß F und P allein identisch sind [Identitäten ergeben].

F, das angeblich den Satz als ganzes durch "ist" nach "ist nicht" negiert und P, das die rechte Seite von +Y nach -Y negiert, seien dasselbe.

So ergibt F auf X.Y angewandt X)Y, und P auf X.Y ergibt X.y. Und X)Y = X.y.

F mit + X=(-)Y
F + X=-(-)Y=(+)Y ist nicht erlaubt
mit (-)X= + X
F (-)X= -+X= -X das Äquivalent von X)Y
P mit + X=(-)Y
P + X=(-)-Y=(+)Y der Satz 5 selbst oder X)Y
Die Operation F gelingt, wenn wir das Äquivalent von Satz 6 nehmen, weil die Negation von (-)Y in -(-)Y keine eindeutige Größe ist, nicht (+)Y ergibt. Die Frage, warum aus Satz 6 Satz 5 "werden" soll, stellen wir hier nicht.

Diese vollkommene Identität der Auswirkung von F und P, ergibt sich in allen Kombinationen, in denen T nicht auftritt. Aber wenn T auftritt, dann sind S und F identisch. So ergibt ST, auf Y)X angewandt X)y oder X.Y. Und FT, auf Y)X angewandt, ergibt X.Y.

ST mit + Y=(+)X
S - Y=(+)X Satz 3 und nicht Satz 6
mit -(-)Y= - X nicht erlaubt, da -(-)Y nicht eindeutig
mit (-)-Y= - X wieder Satz 3 und nicht Satz 6
T (+)X= - Y wieder Satz 3 und nicht Satz 6
FT mit + Y=(+)X
F + X=-(+)Y nicht erlaubt
F + X=(+)-Y=(-)Y
T + X=(-)Y
Es ist klar: Solange wir nicht wissen, was die "Negation eines Satzes" von "ist" in "ist nicht" bedeutet und zweierlei Negationen "ist/ist nicht" und "+X-X" nebeneinanderherlaufen, ist der Formalismus nicht eindeutig. Außerdem ist nicht einsichtig, warum man aus einem Satz, etwa "Alle Menschen sind Tiere" durch "S" den Satz "Alle Nicht-Menschen sind Tiere" oder "Alle Menschen sind Nicht-Tiere" machen sollte. Das ist noch mehr Experimentieren mit einem noch nicht ausgereiften Formalísmus.

Der Grund dafür ist, daß T Subjekt und Prädikat vertauscht, so daß F nach T eine Änderung vornimmt, die durch die Änderung des ehemaligen Subjekts ausgeglichen wird. Entspechend erinndern Sie sich, daß jede zweifach durchgeführte Operation überhaupt keine Operation (so ist PP gleich L, und TT ist L), dann haben wir alle Fälle.

P=F, SP=SF, PF=L, SPF=S ST=FT, SPT=FPT, SFT=T, SPFT=PT

die Sie zur Übung ausprobieren sollten. Weiter, in einem konvertiblen Satz ist die Transformation keine Änderung oder T=L. In einem inkonvertiblen ändert die Transformation den Satz in sein contranominal, oder T=SP. Oder so ausgedrückt: L ist in einem konvertiblen Satz T, was im inkonvertiblen Satz SP ist; was wiederum in konvertiblen Sätzen SPT ist; was wiederum in inkonvertiblen TT ist oder L. Schreiben Sie sich diese so auf, daß unter ihnen ihre Äquivalente stehen, die oben gezeigt wurden.

L T SP SPT L
PF SFT SF PFT PF

Die untereinandergeschriebenen Kombinationen sind in der Auswirkung immer dieselben. Die durch Doppellinien getrennten haben die gleiche Auswirkung Konvertiblen. Die durch einfache Linien getrennten haben den gleichen Effekt bei Inkonvertiblen. Noch einmal, P bei Konvertiblen ist das gleiche wie PT, was für Inkonvertible das gleiche ist wie PSP oder S, was wiederum für Konvertible das gleiche wie ST ist, was für Inconvertible SSP pder P ist. Werden diese wie die eben genannten behandelt, ergibt sich:

[65]

P PT S ST P
F SPFT SPF FT F

In diesen beiden Zyklen stehen L und alle 15 Kombinationen, die aus S, P, F, T gemacht werden können. Und jeder mögliche Fall äquivalenter Änderungen ist in diesen beiden Tabellen enthalten. So ist PT in allen Fällen äquivalent zu SPFT; in konvertiblen Fällen zu P und F, in inkonvertiblen zu S und SPF. Und keine andere Kombination ist jemals äquivalent zu PT. Beachten Sie bei der Überprüfung dieser Tabellen, daß F immer in der unteren Zeile erscheint und nie in der oberen; und daß diese Operation Konvertible in Inkonvertible ändert und vice versa. Also müßten wir erwarten, daß die Äquivalente, die F enthalten, auf Inkonvertible angewandt, die ergeben, die ohne F auf Konvertible angewandt werden und vice versa. Und so finden wir zum Berispiel, daß SPFT und SPF äquivalent sind, wenn sie auf Inkonvertible angewandt werden; streiche das F, und wir haben SPT und SP, die äquivalent sind bei Konvertiblen.

Es scheint also, daß jede Änderung, die in einem Satz gemacht werden kann, auf L, P, S oder PS hinausläuft Ich verzichte darauf, die Tabellen de Morgans mit dem Formalismus der Größenlogik nachzuvollziehen, weil das wie das berühmte "logische Quadrat" nur eine Systematik vortäuschen würde, wo keine ist. Bei den zahllosen Versuchen, die der Entdecker de Morgan geht, seine Entdeckungen in einen einheitlichen Formalismus zu gießen, ist es nur natürlich, daß dabei auch weniger geeignete Wege sind. Außerdem hat er ja oben schon gezeigt, daß auch mit den Regeln der Größenlogik alle drei anderen aus einem allgemeinen Satz abgeleitet werden können. Die Frage, ob es einen "Sinn" ergibt, nur eine Seite einer Gleichung mit einem Vorzeichen zu multiplizieren, stellen wir uns nicht und begnügen uns damit, daß etwa +X=(+)Y und +X=(-)-Y tatsächlich identisch sind, weil ein Nicht-Teil vom Nicht-Y ein Teil vom +Y, also (+)Y sein muß, wenn die Welt aus +Y und -Y besteht.. Das ist eine andere Verifikation der vorstehenden Tabelle, denn alle vier Formen können abgeleitet werden, indem die angewandt werden, die sich auf XY in den Fällen Xy, xY, und xy beziehen.

Wir haben gesehen, daß A, und A’ beide I, und I’ enthalten, und daß E, und E’ beide O, und O’ enthalten. Folglich kann jeder allgemeine Satz als die strengthended form (verstärkte Form) seiner beiden eingeschränkten mit dem gleichen Vorzeichen bezeichnet werden. Und jeder eingeschränkte als die weakened form (abgeschwächte Form) seines allgemeinen mit dem gleichen Vorzeichen Die weakened form ist die Nebenbedeutung des allgemeinen Satzes, die stets zutrifft, sobald er zutrifft. Umgekehrt trifft der allgemeine Satz nicht unbedingt zu, wenn der eingeschränkte Satz zutrifft. Das strengthening nur dann erlaubt, wenn der allgemeine Satz feststeht.. Der einzige Unterschied, der zwischen den beiden konvertiblen Formen des eingeschränkten Satzes XY und YX, xy und yx zu sein scheint, ist, daß die strengthened forms, die aus der Ausdehnung des Subjekts abgeleitet werden, unterschiedlich sind. So ergibt xy x)y oder Y)X; aber yx ergibt y)x oder X)Y.

Eine komplexer Satz beinhaltet die Bejahung oder Verneinung aller acht einfache Sätze. Wären diese acht Sätze alle concomitants oder einige wären wahr und einige falsch, dann gäbe es 256 Möglichkeiten des komplexen Satzes. Aber wie in der Tabelle auf Seite 63 zeigt, gibt es nur sieben.

[66] Als erstes sei das Verhältnis der Namen X und Y so, daß keiner der vier allgemeinen zutrifft. Dann sind alle vier eingeschränkten Sätze wahr. Nennen wir diesen Satz den komplex eingeschränkten und bezeichnen ihn mit P. Wenn wir die Koexistenz einfacher Sätze durch + zwischen den verschiedenen Buchstaben kennzeichnen, dann haben wir

P = O’ + O, + I’ + I, "+" ist beides, Summe und Koexistenz. Die Summe aller vier echten eingeschränkten Sätze ist stets das All, und jeder der drei anderen trifft zu, sobald der vierte zutrifft. Soll das "+" nur Koexistenz bedeuten, so sind es vier Sätze und nicht einer. Soll es ein Satz sein, so ist es das All und damit für die Logik nicht zu gebrauchen.

Dieser Fall tritt in der Theorie der Syllogismen sehr selten auf.

Als nächstes sei einer der allgemeinen Sätze wahr. Dann sind fünf andere durch Bejahung oder Verneinung gekennzeichnet [siehe die Wahrheitswertetabelle Seite 62]. Es bleiben zwei concomitants, die kontradiktorisch sind, so daß nur eine von beiden wahr sein kann. Mit Ausnahme des komplex eingeschränkten Satzes muß jeder komplexe Satz aus der Koexistenz eines allgemeinen Satzes und einer seiner concomitants bestehen. Aber deshalb gibt es nicht acht weitere solcher Sätze, denn A’+A, und A,+A’ sind dasselbe, ebenso E,+E’ und E’+E,. Es bleiben also sechs übrig. Es sind dies

A,+O’ A,+A’ A’+O,
E,+I’ E,+E’ E’+I,

Sie müssen getrennt untersucht werden.

Nimm zuerst A,+A’ (die Reihenfolge XY im wohlverstandenen Sinne). Dann haben wir X)Y und Y)X. Das bedeutet, es gibt überhaupt keinen Gegenstand, der einen dieser Namen hat, den nicht auch der andere hätte. Die Namen X und Y sind in diesem Fall identisch, nicht als Namen, sondern in ihrer Anwendung. Wo immer der eine angewandt werden kann, kann es der andere. So sind in der Geometrie (das Universum sei ebene gradlinige Figur) gleichseitig und gleichwinklig identische Namen. Nicht, daß sie in der Etymologie oder der Bedeutung übereinstimmten, mehr noch, nur wenige Wörter könnten den ersten erklären, während der zweite für viele nicht ohne Schwierigkeit verständlich wäre. Aber sie stimmen darin überein, daß jede Figur, die das Recht hat den einen Namen zu tragen, dasselbe Recht hat, auch den anderen zu tragen. Wir werden in diesem Fall X ein Identisches von Y und Y ein Identisches von X nennen. Das Symbol der Identität sei D. Dann haben wir

D = A, + A’

Die Erklärung oder gar "Definition" des einfachsten logischen Satzes, der Identität von +X und +Y +X=+Y aus +X=(+)Y "und" (+)X=+Y ist ja logisch so ein Ding. Das "+" kann weder als Summe, noch als gleichzeitiges Zutreffen verstanden werden. Selbst wenn du auf die beiderseitige Quantifikation verzichtest, X und Y vertauschst und dann sagst: Wenn "Alle X sind Y", und "Alle Y sind X" zutreffen, so müssen +X und +Y identisch sein, dann ist das für "gleichzeitiges Zutreffen" nur dann Identität, wenn du im ersten Satz rechts "alle Y" und im zweiten rechts "alle X" voraussetzt. Andernfalls redest du Unsinn, weil als Alternative nur noch "einige Y" und "einige X" übrigblieben und damit die Identität ausgeschlossen wäre. Faßt du das "+" als Summe auf, so erhältst du die doppelte Größe des Satzes: 2(+X=+Y). Die Ablehnung der beiderseitigen Quantifikation der Logiker nimmt hier ein wenig groteske Züge an.

[67] Als nächstes nimm A, und O’. Dann haben wir X)Y und X:Y. Jedes X ist Y, und soweit ist es die Eigenschaft der Identität. Aber einige Ys sind nicht Xs. Es gibt mehr Ys als Xs, und X macht vor einem vollständigen Anspruch auf Identität mit Y halt. X sei ein subidentical von Y genannt (so ist Mensch ein subidentical von Tier), und D, bezeichne diesen Fall. Dann ist

D, = A, + O’ Das gleichzeitige Zutreffen von A, und O’ hat de Morgan schon vollständiger als hier in der Wahrheitswertetabelle gezeigt. Dort fehlt nur noch das Zutreffen von A, mit sich selbst und die Korrektur der beiden "i". Außerdem fehlt das Äquivalent, das aus dem Satzuniversum noch ablesbar ist.

Als nächstes sei A’ und O, . Dann haben wir Y)X und X:Y. Jedes Y ist X, und soweit herrscht Identität. Aber einige Xs sind nicht Ys, es gibt mehr Xs als Ys, oder X geht über einen Anspruch auf Identität mit Y hinaus. X sei nun ein superidentical von Y genannt und mit D’ bezeichnet. Dann ist

D’ = A’ + O,

Die Begriffe superidentical und subidentical sind offensichtlich korrelativ. Wenn X der eine von Y ist, ist Y der andere von X.

Nun wollen wir E, + E’ betrachten. Wir haben dann X.Y und x.y. Es gibt nichts, was sowohl X und Y wäre, und es gibr nichts, was keines von beiden wäre. Folglich sind X und Y Gegenteile und füllen das Universum aus. Diese Beziehung sei durch C bezeichnet. Dann ist

C = E, + E’

Die Herleitung der Identität von +X und -Y durch +X=(-)Y "und" -X=(+)Y scheint noch absurder als die bei "D", ist aber "nur" gleich absurd ("Alle X sind nicht Y, und alle Nicht-Y sind X"). Dabei wäre es für de Morgan kein Problem gewesen, die beiden Sätze so einfach, wie sie sind, mit seinem universe darzustellen:
D UUUUUUUUUUUU
XXXXxxxxxxxx +X = +Y
YYYYyyyyyyyy -X = -Y
C UUUUUUUUUUUU
XXXXxxxxxxxx +X = -Y
yyyyYYYYYYYY -X = +Y
Nur wäre die Unterscheidung zwischen den subs und supers wieder überflüssig, weil Satz und Äquivalent das Universum restlos ausfüllen.

Als nächstes nimm E,+I’. Wir haben dann X.Y und xy. Nichts ist beides X und Y, aber es gibt Dinge, die weder X noch Y sind. X und Y sind vollkommen voneinander getrennt, aber sie belaufen sich nicht auf Gegenteile, weil sie das Universum nicht ausfüllen. Sie seien subcontraries genannt (so sind im Universum Metall, Gold und Silber subcontraries) und C, bezeichne diese Beziehung. Dann ist

C, = E, + I’

Als letztes nimm E’+I,. Wir haben x.y und XY. Die Namen füllen das Universum; denn es gibt nichts, was entweder X oder Y ist. Mehr noch, sie überfüllen es; denn einige Dinge sind Xs uns Ys. Es gibt also ein vollständiges Gegenteil und noch mehr. X und Y seien supercontraries genannt Die supercontrary-Beziehung trifft man nicht oft an, obwohl sie für vollständiges System des Syllogimus wesentlich ist. Das andere Stück des supercontrary oder des subidetical, ist so sehr das einfachste all unserer Komplexen Beziehungen, daß die letzteren den ersteren kaum gestatten aufzutreten. Das erste Beispiel, das mir dazu einfiel, war Mensch und irrational (wobei von der Qualität der Individuen und nicht der Art die Rede ist) im Universum Tier. Sie überfüllen das Universum, weil Idiot beiden gemeinsam ist. Aber es ist natürlicher zu sagen, daß rational (in diesem Sinne) subidentical zu Mensch ist., und C’ bezeichne diese Relation. Dann haben wir

C’ = E’ + I,

[68] Um unsere Sprache zu vervollständigen, sei A, in bezug auf die Reihenfolge XY sub-affirmativ genannt; und A’ oder Y)X superaffirmative Das ist ein wenig kurios: Denken dürfen wir die Reihenfolge XY, aber sagen nicht.<-abschwächen!. E, sei subnegative genannt, und E’ oder x.y supernegative. Die eingeschränkten Sätze sollen auch diese verschiedenen Namen tragen.

De Morgan's Sprachgebrauch kann hier nicht ganz einheitlich sein. Dennoch ist eine grafische Veranschaulichung ganz hilfreich. Die linke Seite stellt beide Größen gleichzeitig dar, während die rechte nur von den kleineren Kreisen handelt, so de Morgan. In Wahrheit stellen beide das gleiche dar, jeder "einfache" Satz ist komplex. Und zwar so komplex, wie ein Satz nur sein kann, denn jeder logische Satz stellt mit seinen Nebenbedeutungen und seinem Äquivalent das All dar. Die wirklich einfache Darstellung jedes Satzes ist ein einziger Kreis. Das funktioniert aber nur, wenn beide Seiten quantifiziert werden, sonst muß zur Klarstellung immer der überstehende nicht zum Satz gehörige Teil mitgezeichnet werden. Die wirklich komplexe und die wirklich einfache Darstellung der Sätze sieht so aus: Jeder Satz ist einfach, und jeder Satz ist komplex. "Komplex" bedeutet nichts anderes, daß, wenn der Satz gilt, notwendig eine, zwei oder drei andere Sätze gelten, deren Summe (wörtlich!) stets das All ist. Die Komplexität der Sätze 3 bis 6 besteht aus dem Satz, dem Äquivalent und dem Teil, der weder Satz noch Äquivalent ist: 3 Teile. Die Komplexität von Satz 1 und 2 ist zugleich deren Komplement, das heißt Satz und Äquivalent sind als Summe das All: 2Teile. Die Komplexität des echten eingeschränkten Satzes sind immer alle 4 echten eingeschränkten Sätze, die ebenso zusammen das All sind: 4 Teile. Es gibt einen Satz, zwei Sätze, drei Sätze usw. Einen Satz, der zwei oder drei Sätze ist, gibt es nicht. Was de Morgan meint, ist, daß jeder Satz eine, in Wahrheit mehrere immer geltende Bedeutungen hat. Jeder Satz ist einfach, spricht nur genau von der einen Größe des Satzes, dieses da als "alle Menschen" und den mit diesen identischen "Teil der Tiere". De Morgan hat nicht recht, wenn er sagt, die bisherige Logik habe bisher stets einfache Sätze betrachtet. Die bisherige Logik hat sich nur nicht wie de Morgan Rechenschaft darüber abgelegt, daß bei der Betrachtung des log. Satzes "alle Menschen sind Tiere" mehrere Teile zu betrachten und zu unterscheiden sind. Im Gegenteil muß man sogar sagen, daß die bisherige Logik die Sätze als "komplexe Sätze" behandelt hat, indem sie stets die beiden ganzen Größen +Menschen und +Tiere als die beiden Satzteile behandelt hat, den "überstehenden Teil" als zum Satz gehörig. Ausnahmslos alle zeichnerischen Darstellungen aber auch der philosophische Firlefanz um die "unteilbaren Begriffe" zeigen die beiden ganzen Größen und behaupten, dies sei die Darstellung von "alle Menschen sind Teil der Tiere". Dabei ist es genau das, was de Morgan als "komplexen" Satz bezeichnet, eine logische Ungenauigkeit, nämlich einen Satz mit nur einer von mehreren Nebenbedeutungen.

Diese Erweiterung unserer Sprache erfordert ein wenig Erläuterung.

Wenn ich sage, daß X ein subidentical von Y ist, dann meine ich damit, daß die etymologischen Suggestionen befriedigt sind. Der ganze Name X und mehr ist im Y enthalten. Aber wenn ich sage, daß X ein subaffirmative von Y ist, oder X)Y, dann meine ich damit nicht mehr, als daß wir einen Satz haben, dessen Form nicht superaffirmative, gemäß der Etymologie dieses Wortes, ist. Ein Algebraiker würde den Unterschied auf einen Blick erkennen. Er muß oft zwischen einem Fall unterscheiden, in dem a kleiner als b ist und dem, in dem a kleiner oder gleich b ist, also zwischen dem Fall, in dem die äußerste Grenze der Behauptung nicht eingeschlossen ist und dem, in dem sie eingeschlossen ist.

Weiter, das Wort negativ hätte man besser nicht so oft als die Exklusion der ersten Idee als die Inklusion in das Gegenteil ansehen sollen [Prima!]. So gibt ein allgemeines subnegative die Vorstellung der vollständigen Einschließung in das Gegenteil, womit möglicherweise der äußerste Fall gemeint ist, nämlich daß die subnegative Namen aus Gegenteilen besteht. Weiter, supernegative suggeriert die Idee des supercontrary, möglicherweise mit dem schwächsten Extrem eingeschlossen, der Beziehung of contrary.

Zur Einübung dieser Sprache und der Ideen, die sie wiedergeben will, stelle ich nun die folgenden Untersuchungsergebnisse auf.

Allgemeine Bejahung (universal affirmation), obwohl bereits ein allgemeiner Begriff, soll super- und subaffirmation einschließen. Wird jedoch nur einer der drei betrachtet und vom Rest unterschieden, dann bedeutet er Idenität. Das gleiche gilt für die Negation und contrariety (Gegenteiligkeit ). Subidentity verlangt allgemeine subaffirmation und eingeschränkte supernegation. Identität ist allgemeine sub- und superaffirmation. Superidentity erfordert allgemeine superaffirmation und eingeschränkte subnegation. Subcontrariety erfordert allgemeine subnegation und eingeschränkte superaffirmation. [69] Contrariety ist sowohl allgemeine sub- als auch supernagation. Supercontrariety erfordert allgemeine supernegation und eingeschränkte subaffirmation. Weiter, allgemeine subaffirmation ist entweder subidentity oder identity. Eingeschränkte subaffirmation ist die Verneinung von contrary und subcontrariety. Allgemeine superaffirmation ist entweder superidentity oder identity. Eingeschränkte superaffirmation verneint contrariety und supercontrariety. Allgemeine subnegation ist entweder subcontrariety oder contrariety. Eingeschränkte subnegation verneint subidentity und identity. Allgemeine supernegation ist entweder supercontrariety odercontrariety. Eingeschränkte supernegation verneint superidentity und identity. Das alles wird durch die folgende Tabelle ausgedrückt:

D, bejaht A, und O’ A, bejaht D, oder D
D " A, und A’ A " D, oder D oder D’
D’ " A’ und O, A’ " D’ oder D
C, " E, und I’ E, " C, oder C
C " E, und E’ E " C, oder C oder C’
C’ " E’ und I, E’ " C’ oder C
Verneinung von D, bejaht A’ oder O, O, verneint D, und D
" D " O’ oder O, O " D, und D oder D’ und D
" D’ " A, oder O’ O’ " D’ und D
" C, " E’ oder I, I, " C, und C
" C " I’ oder I, I " C, und C oder C’ und C
" C’ " E, oder I’ I’ " C’ und C

Nehmen wir zunächst die beiden linken Quadranten durch, und zwar die jeweiligen D, und Verneinung von D, D und Verneinung von D usw. Wir beharren stur wie ein Bauer darauf, daß "Verneinung" nur einen einzigen Sinn hat, nämlich aus +A -A zu machen oder von der Größe +A und dem Rest der Welt -A zu sprechen. Die Bejahung von D, sei D, selbst, also die beiden Sätze A, und O’ usw. Verneinung sei "-" und bedeute die Multiplikation der Gleichung mit "-1". Beide Seiten der Gleichung werden also mit "-1" malgenommen. Einschränkung: Das "-" stehe bei jedem Teilprodukt immer direkt vor der Größe A oder B. Dann erhalten wir (obere Zeile de Morgan, die unteren größenlogisch):
- D, = -[A, & O’] = -A, | -O’ = A’ - O,
- [ + A=(+)B & (-)A=(+)B] = +-A=(+)-B | (-)-A=(+)-B
= - A=(-)B | (+)A=(-)B
= (+)A= + B | (+)A=(-)B

Das trifft zu bis auf Satz 1: +A=+B, der weder Satz 4, noch Satz 8 ist. Auch ist fraglich, ob eine Multiplikation von "Alle Menschen sind Tiere" in "Ein Teil der Menschen sind alle Tiere" zulässig ist, auch wenn am Schluß ein richtiges Ergebnis "herauskommt", das wäre die logische Regel "zweimal falsch ist wahr". Die beiden zweiten Zeilen der linken Quadranten: Beim Nichtzutreffen der Identität +A=+B, trifft entweder Satz 8 oder Satz 9 zu. PROBLEM: Die Negation von Satz 1 ist Satz 1, Zutreffen und nicht Nichtzutreffen! Das Gleiche, nur mit vertauschten Seiten, würde aber bei der Multiplikation von Satz 4 und Satz 5 passieren! Das stimmt in allen Fällen, aber das gleichzeitige Zutreffen von Satz 4 und Satz 5, A’ und A, gibt es in der Größenlogik nicht. Nun die beiden dritten Zeilen:
- D’= -[A’ & O,]=-A’ | -O,= A, | O’
- [(+)A= + B & (+)A=(-)B] = (+)-A=+-B | (+)-A=(-)-B
= (-)A= - B | (-)A=(+)B
= + A=(+)B | (-)A=(+)B
Das trifft ebenfalls mit Ausnahme von Satz 1 zu. Daß aber aus der Multiplikation von Satz 4 mit "-1" Satz 5 werden sollte, ist schwer nachvollziehbar. Auch brächte es den Formalismus, nach dem "-1": "alles außer" bedeutet, durcheinander. Aber weiter, die vierten Zeilen:
- C, = -[E, & I’] = -E,& -I’ = E’ | I,
-[ + A=(-)B & (-)A=(-)B] = + -A=(-)-B | (-)-A=(-)-B
= - A=(+)B | (+)A=(+)B
Das trifft zu bis auf Satz 2, der weder Satz 3 noch Satz 7 ist, wenn auch hier schwer vorstellbar ist, daß die Multiplikation mit "alles außer" Satz 6 den Satz 3 hervorbringen soll. Die fünfte Zeile E, und E’ gibt es wieder nicht in der Größenlogik. Aber es stimmt: Beim Nichtzutreffen der Identität +A=-B, treffen der Satz 7 oder der Satz 10 zu. Multiplikation von Satz 2 mit "-1" ergibt jedoch wieder Satz 2 selbst, von E, und E’ E’ und E,. Nun die beiden letzten Zeilen:
- C’=-[E’ & I,]=-E’ | -I,= E, | I’
- [(+)A= - B & (+)A=(+)B] = (+)-A= + -B | (+)-A=(+)-B
= (-)A= + B | (-)A=(-)B
Trifft ebenfalls nicht auf Satz 2 zu, weil der nicht Satz 10 ist. Lassen wir also die beiden Sätze der Identität, Satz 1 und Satz 2 weg, so treffen die de Morgan'schen Regeln zu, wenn wir die Rechenregeln aus BERECHNUNG der Größenlogik anwenden. Allerdings führen wir Multiplikationen mit Größen ungleich +1 von nur einer Seite einer Gleichung durch. Etwas Richtiges wird über den Zwischenschritt mit etwas Falschem "erreicht". Die beiden rechten Quadranten nehme ich erst einmal nicht durch, weil die "komplexen" Sätze de Morgans mehrere Sätze zugleich sind. Oktober 2018 Soviel ist aber bereits klar, der eine de Morgan’sche Satz -(a & b) = (a | b) hat einen kleinen Fehler, weil er nicht alle möglichen Fälle umfasst.

Jedes subidentical eines Namens ist das subcontrary seines contrary Jedes subidentical eines Namens ist das subcontrary seines contrary: Das bedeutete entweder +A=(-)A, was Unsinn ist, oder de Morgan meint "jedes subidentical eines Satzes usw."; jedes subcontrary ist das subidentical des contrary. Behandle das Wort contrary als negativ, das Wort identisch als positiv, und die beiden seien unterschiedliche Zeichen. Dann gilt die algebraische Regel, "gleiche Zeichen ergeben ein Positives, ungleiche Zeichen ein Negatives", in jedem Fall, einschließlich der Spielarten des wohlbekannten "zwei Negative ergeben ein Positives". Wenn die ändernde Präposition zuerst kommt, muß sie beibehalten werden, kommt sie an zweiter Stelle, muß sie geändert werden. So ist das subcontrary eines contrary ein subidentical; aber das contrary eines subcontrary ist ein superidentical. Fügen wir aber zwei Beziehungen zueinander, so sind wir beim Syllogismus angelangt, wie wir bald sehen werden.

Die folgenden Tabellen zeigen in verschiedener Reihenfolge und Auswahl eine Verbindung zwischen den Ausdrücken, deren Verifizierung nützlich sein mag.

[70]

XY YX xY Yx Xy yX xy yx
A, O’ D, A’ O, D’ E’ I, C’ E’ I, C’ E, I’ C, E, I’ C, A’ O, D’ A, O’ D,
A’ O, D’ A, O’ D, E, I’ C, E, I’ C, E’ I, C’ E’ I, C’ A, O’ D, A’ O, D’ È
E, I’ C, E, I’ C, A’ O, D’ A, O’ D, A, O’ D, A’ O, D’ E’ I, C’ E’ I, C’
E’ I, C’ E’ I, C’ A, O’ D, A’ O, D’ A’ O, D’ A, O’ D, E, I’ C, E, I’ C,

Diese Tabelle beinhaltet einige der Regeln, die bereits auf den Seiten bis aufgestellt worden sind. Sie drückt aus, daß zum Beispiel der A, O’ und D, von X,Y jeweils dasselbe sind wie der E, I’ und C, von y,X

De Morgan meint damit, daß die Ganzes:Teil-Beziehung A, = +(+) oder die Teilnicht:Teil-Beziehung O’ = (-)(+) auf die Größen +X, +Y angewandt wird. Und entsprechend auf der rechten Seite die Beziehung +(-) auf E, = +(-) und I’ = (-)(-) auf -Y und +X; so "entstünde", wie er sich ausdrückt, aus einem allgemein subaffirmative ein allgemein subnegative, aus einem eingeschränkt supernegative ein eingeschränkt superafirmative, weil das "Prädikat" von +Y in -Y wechselt und damit das Vorzeichen von negative in affirmative wechselt u.u.
+X, +Y -Y, +X
A, +(+) ++X=(+)+Y +-Y=(-)+X +(-) E,
+X=(+)Y (-)X= - Y
O’ (-)(+) (-)+X=(+)+Y (-)-Y=(-)+X (-)(-) I’
(-)X=(+)Y (-)X=(+)Y
Auf C, und D, müssen wir nicht eingehen, weil es nur Verdopplungen von Satz 5 und Satz 6 sind. Ich werde im weiteren Verlauf de Morgans komplexen Sätze in der Regel als ihre zugrundeliegenden allgemeinen bzw. echten eingeschränkten Sätze behandeln.

Diese Tabelle kann so dargestellt werden, indem die identicals als Inkonvertible und die contraries als Konvertible behandelt werden.

Wechsel von wechselt in Konvertiblen wechselt in Inkonvertiblen
SubjektPrädikatSubjekt und PrädikatReihenfolgeSubjekt und ReihenfolgePrädikat und ReihenfolgeSubjekt, Prädikat und Reihenfolge Vorzeichen und PräpositionVorzeichenPräpositionNichtsVorzeichenVorzeichen und PräpositionPräposition Vorzeichen und PräpositionVorzeichenPräpositionPräpositionVorzeichen und PräpositionVorzeichenNichtsa)
a)Beim Wechsel von Subjekt, Prädikat und Reihenfolge ändert sich nicht nichts, sondern aus dem Satz wird sein Äquivalent, zum Beispiel +A=(+)B -> -B=(-)A.

In allen Fällen, in denen das Subjekt gewechselt wird, wechseln sowohl Vorzeichen als auch Präposition. Wechsel des Prädikats ist Wechsel des Vorzeichens. Wechsel von Subjekt und Prädikat ist Wechsel der Präposition. Diese drei Fälle sind beim Syllogismus von großer Wichtigkeit. Der Leser sollte sie sich im Kopf behalten:

Subjekt mit Vorzeichen und Präposition
Subjekt und Prädikat mit Präposition
Prädikat mit Vorzeichen

Es ist wünschenswert, sich den stetigen Übergang (continuous transition!) der verschiedenen komplexen Beziehungen von einer in die andere zu untersuchen: Das Wachsen von Namen (!!) betrifft nicht nur den Wortkundler, sondern auch den Logiker.

Mit den Analogien und Affinitäten, durch die das Gebiet (dominion) eines Namens Instanz für Instanz und Klasse für Klasse ausgedehnt wird - und manchmal, wenigstens in der Sprache der Wissenschaft, vermindert um einen Teil, den es vorher hatte - habe ich hier nichts zu tun. Es genügt, daß die Erscheinungen existieren, die man als graduelle Transformation einer Beziehung in eine andere bezeichnen könnte. Die Wörter Faß (butt) und Flasche (bottle) zum Beispiel, sind jetzt subcontraries im Universum Behälter. Etymologisch gesehen aber [71] zeigt sich der Diminutiv bottle als als subidentical zum butt. Und müßten wir die ganze Klasse butt nehmen, dann wäre die Anzahl der buss, boot, bushel, box, boat, bottle, pottle usw., die alle vom selben Ursprung abstammen, sicher sehr groß.

Ich setze voraus, daß alle Instanzen eines Namens in seinem Universum gezählt und angeordnet sind, eine vorstellbare, wenn auch nicht erreichbare Annahme. Ebenso, daß die Instanzen des Namens angrenzend aufeinanderfolgend (contiguous continuous und contiguous: stetig und angrenzend. Mit einem der wichtigsten naturphilosophischen Gegenstände, der Stetigkeit, kann die Logik meist nichts anfangen, auch wenn es sie ohne sie nicht gäbe. Trifft sie dann doch wider Willen auf die stetige Größe, muß sie sie in diskrete Stücke zerhacken und dann wieder eine 1:1-Zuordnung zur stetigen Welt herstellen. Die Quantentheorie ist logisch vorprogrammiert, weil die diskreten Stücke dann doch wieder stetig sein müssen usw. Vgl. auch Aristoteles' Ausführungen über die beiden Begriffe im sechsten Buch der Physik.) angeordnet sind wie auf Seite 61. Aus welchem Grund auch immer die Sätze in eine solche besondere Ordnung gebracht wurden: Es wird allgemein so sein, daß die Instanzen nahe der Grenze die Eigenschaften des Namens in einem geringeren Grad haben als die, die näher an der Mitte sind. Es sei die aufeinanderfolgende Zusammenstellung aller Instanzen des Y hergestellt, das Universum sei U. Ein anderer Name, X, fange an zu wachsen, beginnend mit einer Instanz, daß heißt, von einem Objekt des Universums U auf einen Gegenstand des Universums U angewandt, er sei ein Y oder nicht. Dann zur nächsten angrenzenden Instanz und so weiter. Wir müssen die Anzahl der Wege herausfinden, auf denen solche Wechsel einen Namen veranlassen, sei es durch Anwachsen oder durch Verminderung, seine Beziehung von der einen in eine andere zu wechseln. Die Änderung der Zustimmung oder Einschränkung sei durch (>) und (<) gekennzeichnet. Ich weiche hier von de Morgans Notation ab weil Position und Negation in der Größenlogik einheitlich + und - sind. Er benutzt (+) und (-) für (>) und (<).

Der Name X beginne innerhalb der Grenzen des Namens Y. Seine Anfangsrelation ist dann D, . Und die Möglichkeit der folgenden stetigen Änderungen ist offensichtlich:

D, (>) D (>) D’ D, (>) P (>) C’
D, (>) P (>) D’ D, (>) P (<) C,

Also kann D, zu D’ entweder durch D oder P werden, dagegen C, oder C’ nur durch P. Als nächstes beginne X außerhalb der Grenzen von Y. Die Anfangsrelation ist C, . Dann können wir erhalten:

C, (>) C (>) C’ C, (>) P (>) D’
C, (>) P (>) C’ C, (>) P (<) D,

X beginne nun sowohl innerhalb als auch außerhalb von Y. Seine Anfangsrelation ist dann P. Und wir haben:

P (>) D’, P (>) C’, P (<) D, P (<) C,

Aber wenn (<) entweder D, D C, oder C folgt, haben wir nichts außer

D, (<) D, D (<) D, C, (<) C, C (<) C,

[72] Beginnen wir mit dem anderen Extrem, dem Namen U, dann haben wir

U (<) D’ U (<) C’

Von D’ und C’ angefangen haben wir

D’ (<) D (<) D, D’ (<) P (<) C,
D’ (<) P (<) D, D’ (<) P (>) C’
C’ (<) C (<) C, C’ (<) P (<) D,
C’ (<) P (<) C, C’ (<) P (>) D’

Aber wenn (>) auf D’ oder D, C’ oder C folgt, dann haben wir nur

D’ (>) D’ D (>) D’, C’ (>) C’ C (>) C’

Aus dem obigen scheint es so, daß der Übergang, der durch einen Wechsel der Präposition begleitet ist, entweder nur durch den Buchstaben ohne Präposition oder durch P bewerkstelligt werden kann. Ebenso in allen Fällen mit einer fortgesetzten Art des Wechsels. Aber wenn der Übergang einen Buchstabenwechsel einbezieht, kann er nur durch P stattfinden, mit Fortsetzung der Art des Wechsels, wenn die Präpositionen verschieden sind und mit Wechsel der Art, wenn sie gleichbleiben. Die nachfolgenden Reihen enthalten die Zusammenstellung der Ergebnisse. Ich will diese Stellen nicht kommentieren. Vielleicht lassen sie sich in einem späteren Entwicklungsstadium der Logik verwenden, in der Bewegung, Veränderung, Werden und Vergehen, Wachsen und Schwinden und nicht nur fixe Größen behandelt werden können. Das wäre dann die Einlösung aller Hegelschen Träume. Bis dahin sehe ich sie als unerlaubte Multiplikation von nur einer Seite einer Gleichung mit einer Größe ungleich +1 an.

Mit einer Mit einer Mit zwei
Änderung (>) Änderung (<) Änderungen (><)
D, D D’ D’ D D, D, P C,
D, P D’ D’ P D, C, P D,
C, C C’ C’ C C, (< >)
C, P C’ C’ P C, D’ P C’
D, P C’ D’ P C, C’ P D’
C, P D’ C’ P D,

Die folgenden Überlegungen werden den Nutzen und auch die Vollständigkeit der Erweiterung der Satzlehre in diesem Kapitel veranschaulichen. Zwei der grundlegendsten Unterscheidungen in unserem Denken sind die Begriffe notwendig und hinreichend, ohne das wir es nicht tun können und mit dem wir nicht fehlgehen können, was vorausgehen muß und was folgen muß. Die Gegenteile davon sind nicht-notwendig und nicht-hinreichend Der Leser kann die acht Aussageformen mit X als Subjekt und Y als Prädikat leicht identifizieren mit den copulae: kann nicht ohne sein, kann ohne sein, kann nicht mit sein, kann mit sein, kann nicht fehlgehen ohne, kann fehlgehen ohne, kann nicht fehlgehen mit, kann fehlgehen mit. [Zusatz de Morgan’s aus dem Inhaltsverzeichnis]. Mit diesen vier Wörtern, beide auf Y und y angewandt, haben wir die Beschreibung der acht [73] Relationen von X zu Y. Zum Beispiel sagt uns A, oder X)Y, daß, um ein X zu nehmen, wir ein Y nehmen müssen, oder um ein X zu sein, ist es notwendig, ein Y zu sein. Behandeln wir alle in der gleichen Weise, so erhalten wir:

A, X)Y Um ein X zu nehmen, ist es notwendig, ein Y zu nehmen.
A’ Y)X " X " hinreichend, " Y "
E, X.Y " X " notwendig, " y "
E’ x.y " X " hinreichend, " y "
I, X Y " X " nicht notwendig, " y "
I’ x y " X " nicht hinreichend, " y "
O, X:Y " X " nicht notwendig, " Y "
O’ Y:X " X " nicht hinreichend, " Y "

Und die Konvertibilität im üblichen Sinn kann in dieser neuen Darstellung in jedem Fall durchgeführt werden, wie sich leicht zeigen läßt. Was können wir zum Beispiel meinen, wenn wir sagen: Um ein X zu nehmen, ist es nicht hinreichend, etwas zu nehmen, was kein Y ist? Klar, daß wir kein Y oder y nehmen, wie gleichzeitig ein x nehmen können, oder daß es xs gibt, die ys sind. Und so für den Rest.

Von den vier Paaren XY, Xy, xy, xY wissen wir, daß jeder Satz sich durch drei andere ausdrücken läßt und sich durch einen nicht ausdrücken läßt. Wenn wir nun die Wörter unmöglich und kontingent, wobei das letztere bedeutet, daß der betrachtete Fall möglich oder unmöglich sein kann, je nachdem, dann können wir für die allgemeinen Sätze leicht folgende Tabelle verstehen:

XY Xy xy xY
A,E,A’E’ X)YX.YY)Xx.y NUHK UNKH HKNU KHUN

Die Buchstaben N, U, H, K sind die Initialen von notwendig [unmöglich, hinreichend, kontingent] usw. Und wir lesen die erste Zeile, daß wenn X)Y gilt, es für X notwendig ist, Y zu sein; X zu sein, ist unmöglich, y zu sein; x zu sein ist hinreichend, y zu sein; und x zu sein ist kontingent möglich oder unmöglich, Y zu sein.

Februar 2018: Offenbar haben wir hier den Ursprung der vierzeiligen Wahrheitswertetabelle der mathematischen Logik, in der nur die partikulären Wahrheitswerte der allgemeinen Sätze und nicht die allgemeinen Wahrheitswerte der allgemeinen Sätze beachtet werden. Für notwendig, hinreichend und kontingent ist "w" zu setzen, und unmöglich ist "f".

Weiter, wenn wir mit n und h nicht notwendig und nicht hinreichend meinen; mit M wirklich möglich und mit K wie vorher (K sein eigenes Gegenteil??), dann haben wir für die eingeschränkten Sätze folgende Tabelle:

[74]

XY Xy xy xY
O,I,O’I’ X:YX YY:Xx y nMhK MnKh hKnM KhMn

Bei den vier könträren Paaren der eingeschränkten Sätze sind n, M, h, K exakt so gelagert wie N, U, H, K bei den allgemeinen Sätzen. Die Vertauschung von Y und y wird immer von der Vertauschung von N und U, H und K, und M, h und K begleitet. Die Vertauschung von X und x ist die von N und K, H und U, n und K, h und M; von beiden, X und x, Y und y ist die von N und H, K und U, n und h, K und M.

Februar 2018: Dass de Morgan bei den partikulären Sätzen nur die partikulären Wahrheitswerte betrachtet, stiftet keinen Schaden, weil alle allgemeinen Wahrheitswerte "f" sind. Dafür sind alle 16 partikulären Wahrheitswerte "w".

Die komplexen Sätze können so beschrieben werden. Wie X das subidentical, identical oder superidentical von Y ist, ist es für X notwendig und nicht hinreichend, notwendig und hinreichend oder nicht notwendig und hinreichend, Y zu sein. Entsprechend, wie X das subcontrary, contrary oder das supercontrary von Y ist, ist es für das X notwendig und nicht hinreichend, notwendig und hinreichend oder nicht notwendig und hinreichend, y zu sein. Oder wie in der folgenden Tabelle:

XY Xy xy xY
D,C,D’C’ NnUHnM UNhMHn HnMNhU MHnUNh
DCP NHUnhM UNHNhM NHUnhM UNHnhM

Anstelle von UK und MK schreiben Sie U und K für "unmöglich, und möglich oder unmöglich, je nachdem" ist "unmöglich" usw.

Die Namen der komplaexen Relationen subidentity, identity usw. sind wie ich vermute , einigermaßen angemessen. Die Namen der einfachen Relationen, die auf den Seiten ff vorgeschlagen wurden, haben keinen Vorteil auf ihrer Seite, außer der Analogie mit den komplexen und der Verbindung der Notation. Ein wenig Übung ihres Gebrauchs werden diese Namen zugänglicher machen. Aber es wird ratsam sein, sie mit aussagekräftigeren Namen zu [75] verbinden, die wir dann annehmen, ob wir nun ihre Synonyme beibehalten oder verwerfen.

X)Y, die Relation von X zu Y ist im wohlverstandenen Sinne die von Art zu Gattung. Wir können diese Wörter annehmen, behalten dabei aber im Kopf, daß das Wort Art den extremen Fall, daß die Art so ausgedehnt ist wie die Gattung Mathematik ist logisch, aber Mathematik ist nicht Logik, möchte man de Morgan immer wieder sagen, die Menschen sind in keinem Fall alle Tiere. Die Gattung ist das Ganze, die Art ist der Teil. . Bei X:Y können wir X eine Nicht-Art von Y nennen und Y eine Nicht-Gattung von X (??). Bei X.Y können wir X ein exclusive oder excludent von Y nennen oder aber ein non-participant, und genauso Y von X. Bei XY können wir sagen, jedes ist das participant oder non-exclusive des anderen. Bei x.y, was bedeutet, daß X und Y das Universum auffüllen oder mehr als auffüllen, können wir sagen, sie sind Komplementär-Namen Bei (+)X=-Y betrachtet de Morgan konsequent nur die beiden allgemein negativen Größen (genau wie das Volksvorurteil beim allgemein negativen Satz +A=(-)B nur die beiden allgemein positiven Größen betrachtet), obwohl -X und -Y die Größe von Satz und Äquivalent ist. Diese beiden Größen sind keine Komplemente. Das gilt nur für die Sätz 1 und 2.. x y, was nur bedeutet, daß X und Y zwischen sich nicht das Universum beinhalten, könne wir als nicht-komplemantär bezeichnen. Also haben wir

Inkonvertible Name von X in bezug auf Y
A, X)Y Art oder subaffirmative
O, X:Y Nicht-Art oder eingeschränkt subaffirmative
A’ Y)X Gattung oder superaffirmative
O’ Y:X Nicht-Gattung oder eingeschränkt supernegative
Konvertible Name von X und Y in bezug auf einander
E, X.Y Exclusives oder non-participants oder subnegatives
I, X Y Non-exclusives oder participants oder eingeschränkt subaffirmatives
E’ x.y Complements oder supernegatives
I’ x y Non-complements oder eingeschränkt superaffirmatives

Die folgenden Übungen dieser Begriffe beinhalten wirklich die Beschreibung aller Syllogismen, die im nächsten Kapitel besprochen werden.

Einschließung in die Art ist Einschließung in die Gattung; und Einschließung der Gattung ist Einschließung ihrer Teile (seien es Arten oder nicht).

Ausschließung von der Gattung ist Ausschließung von den Arten; und Ausschließung der Gattung ist Ausschließung ihrer Teile (seien es Arten oder nicht).

Einschließung oder Ausschließung der Arten ist teilweise Einschließung oder Ausschließung der Gattung.

Wenn die Art komplementär ist, dann die Gattung; und wenn die Gattung nicht komplementär ist, dann ist es auch nicht die Art.

Ausschließung vom einen Komplement ist Einschließung in das andere.

Komplemente desselben sind participants.

[76] Zwei Arten einer Gattung sind keine Komplemente, ebenso nicht zwei Ausschließungen derselben.

Das Komplement einer Gattung ist eine Nicht-Art; und das Komplement ist eine Nicht-Art eines Nicht-Komplements.

Kapitel 5, Der Syllogismus

Ein Syllogismus ist die Schlußfolgerung der Beziehung zwischen zwei Namen, von der Beziehung jedes dieser beiden Namen zu einem dritten. Drei Namen sind daher beteiligt, die beiden, die im Schlußsatz erscheinen und der dritte oder der Mittelbegriff, mit dem die Namen oder Begriffe des Schlußsatzes einzeln verglichen werden. Die Feststellungen, die die Aussagen der beiden schließenden Begriffe zum Mittelbegriff ausdrücken, sind die beiden Prämissen. In diesem Kapitel wird kein anderes Größenverhältnis außer dem bestimmten alle und dem unbestimmten einige in Betracht gezogen.

Ein Syllogismus kann entweder einfach oder komplex sein. Ein Syllogismus ist einfach, wenn in ihm zwei einfache Sätze die Bejahung oder Verneinung eines dritten erzeugen; oder die Bejahung eines dritten, wie wir sagen können, weil jede Verneinung eines einfachen Satzes die Bejahung eines anderen ist. Ein komplexer Syllogismus ist einer, in dem zwei komplexe Sätze die Bejahung oder Verneinung eines dritten komplexen erzeugen.

Man könnte annehmen, daß wir mit den einfachen Syllogismen beginnen sollten und von dort aus zu den komplexen fortschreiten. Zu diesem Punkt habe ich einige Bemerkungen anzubieten, die die Verfolgung exakt des gegenteiligen Plans rechtfertigen sollen.

Bislang tauchte der komplexe Syllogismus noch nie in einer Logikarbeit auf, außer in einem besonderen Fall, in dem man ihn auch als einfachen Syllogismus behandeln konnte, obwohl es offensichtlich nicht so ist. Ich erinnere an das gewöhnliche à forteriori Argument, "A ist größer als B, B ist größer als C, daher ist A größer als C". Hier gibt es keinen Mittelbegriff; das Prädikat des ersten Satzes ist "ein Ding größer als B", das Subjekt des zweiten Satzes ist "B".

Mit A>B hat de Morgan die Größe von (+)A=+B PLUS ein anderer Teil von A, der nicht (+)B ist, nämlich +A=[+B plus (-)B] scheinbar erzwungen, so daß das B einmal positiv und dann negativ wäre. In der Größenlogik ist der Mittelbegriff eindeutig, weil (-)B und das ganze A überhaupt nicht interessieren, sondern nur der Teil von A, der ganz B ist. Das B darf in den beiden Sätzen in den Beziehungen Teil:Ganzes, Ganzes:Teil oder Ganzes:Ganzes stehen. Bei ist ein Teil des ganzen B der ganze Teil des B, und die Beziehung zwischen A und C ist eindeutig, die Sätze sind einfach, und es ist klar, daß A>B>C.

Gibt man vollkommen zu, daß die Qualität der Prämissen, [77] die den Schlußsatz zu dem machen, was man à forteriori nennt, dann kennzeichnet es diesen Beweisgang als stärker, klarer und (gäbe es dies) wahrer, als einen einfachen Syllogimus. Dennoch ist klar, daß gerade der zusätzliche Umstand, von dem diese zusätzliche Klarheit abhängt, aus einem Syllogismus herrührt, wie er von allen Autoren definiert wird. Indem wir mit dem komplexen Syllogismus beginnen und von dort aus zu den einfachen hinabsteigen, wird klar werden, daß wir mit Fällen beginnen, die dieses à forteriori viel klarer zum Ausdruck bringen. Ich glaube, ich werde zeigen, daß der komplexe Syllogismus einfacher ist als der einfache.

Als nächstes haben die bisher untersuchten Syllogismen nie gegenteilige Begriffe mit einbezogen; die Folge davon war, daß viele gültige Schlußformen vernachläsigt worden sind. Mehr noch, viele der gewöhnlichen Syllogismen sind stärker, als sie es in den Prämissen sein müßten, um den Schlußsatz zu erzeugen. So ist bei Y)X und Y)Z als Prämissen der notwendige Schlußsatz X Z. Wird aber Y)X in Y X abgeschwächt, folgt derselbe Schlußsatz 4e hat einen Schlußsatz, 4g hat zwei Schlußsätze.. Wenn wir einen Schlußsatz fundamental nennen, wenn keine seiner Prämissen stärker als notwendig ist, um den Schlußsatz zu erzeugen, dann ist offensichtlich, daß jeder fundamentale Syllogismus, der eine eingeschränkte Prämisse hat, einen wenigstens genauso starken Schlußsatz ergibt, wenn diese eingeschränkte Prämisse in eine allgemeine verstärkt wird. Aber, ausgenommen, wenn uns die Verstärkung der Prämisse auch befähigt, den Schlußsatz zu verstärken, wobei wir einen neuen und unterschiedlichen Syllogismus haben, ist es wenig systematisch, fundamentale Beweise mit Syllogismen zu vermengen, die mehr Qualität oder Quantität haben, als für den Schlußsatz erforderlich ist.

Der Gebrauch des komplexen Syllogismus wird, wie wir sehen werden, eine unabhängige und systematische Herleitung dieser verstärkten Syllogismen geben, genau wie für die restlichen.

Es seien X und Z die Begriffe des Schlußsatzes; und Y sein der Mittelbegriff. Die Prämisse, in der X und Y verglichen werden, komme zuerst. Die Reihenfolge sein in jedem Fall die des Alphabets

XY YZ XZ,

so daß bei Feststellung der Beziehung von X zu Y und der Beziehung von Y zu Z unser Syllogismus die Feststellung beinhaltet, was daher X in Beziehung auf Z sein muß oder nicht sein kann. Wir können in jedem Fall das Ergebnis in einfachen Worten ausdrücken. Also [78] einer unserer Syllogismen, den ich durch D, D, D, ausdrücken werde, lautet dann so. Wenn X ein subidentical von Y ist und Y ein subidentical von Z, dann ist X ein subidentical von Z. Aber all das läuft lediglich hinaus auf: "Ein subidentical eines subidentical ist ein subidentical".

Wir müssen dann jede Möglichkeit untersuchen, in der D, oder D’ oder C, oder C’ mit D, oder D’ oder C, oder C’ kombiniert werden kann, was insgesamt 16 Fälle ergibt, die alle auf diese oder die andere Art schlüssig sind. Statt eine zufällige Ordnung zu nehmen und hinterher die Ergebnisse zu klassifizieren, wird es besser sein, vorher die Reihenfolge festzulegen, die die Klassifikation ergeben wird. Die Reihenfolge wird so sein: 1. ein D, das von einem anderen mit der gleichen Päposition gefolgt wird. 2. ein C gefolgt von einem anderen mit einer anderen Präposition. 3. ein D gefolgt von einem anderen mit einer anderen Präposition. 4. ein C gefolgt von einem anderen mit einer gleichen Präposition. Diese Anordnung gibt uns

1. D, D, D’ D’ D, C, D’ C’ 3. D, D’ D’ D, D, C’ D’ C,
2. C, D’ C’ D, C, C’ C’ C, 4. C, D, C’ D, C, C, C’ C’

Alle diese Fälle werden mir einer ähnlichen Methode durchgenommen, wie sie auf Seite 61 vorgeschlagen wurde. Aber eine klare Wahrnehmung der Bedeutung der Wörter wird mit einem Mal die 16 Ergebnisse diktieren, denen links die Syllogismusdarstellung vorangestellt ist:

D, D, D, Subidentical des subidentical ist subidentical. + X (+)Y + (+)Z 5e
D’ D’ D’ Superidentical des superidentical ist superidentical. (+)X + Y(+) + Z 4d
D, C, C, Subidentical des subcontryry ist subcontrary. + X (+)Y + (-)Z 5f
D’ C’ C’ Superidentical des supercontrary ist supercontryry. (+)X + Y(+) - Z 4c
C, D’ C, Subcontrary des superidentical ist subcontrary. (-)X + Y(+) + Z 6d
C, D, C’ Subcontrary des subidentical ist supercontrary. (+)X - Y(-) - Z 3e
C, C’ D, Subcontrary des supercontrary ist superidentical. + X (-)Y- (+)Z 6c
C’ C, D’ Supercontrary des subcontrary ist superidentical. (+)X -Y(-) + Z 3f
D, D’ :C’ Subidentical des superidentical ist nicht supercontrary. (-)X - Y - (-)Z 5d
D’ D, :C, Superidentical des subidentical ist nicht subcontrary. (+)X + Y + (+)Z 4e
D, C’ :D’ Subidentical des supercontrary ist nicht superidentical. (-)X - Y - (+)Z 5c
D’ C, :D, Superidentical des subcontrary ist nicht subidentical. (+)X + Y + (+)Z 4f
C, D, :D’ Subcontrary des subidentical ist nicht superidentical. (-)X + Y + (+)Z 6e
C’ D’ :D, Supercontrary des superidentical ist nicht subidentical. (+)X - Y - (-)Z 3d
C, C, :C’ Subcontrary des subcontrary ist nicht supercontrary. (-)X + X + (-)Z 6f
C’ C’ :C, Supercontrary des supercontrary ist nicht subcontrary. (+)X - Y - (+)Z 3c

Ich habe rechts die entsprechenden Schlüsse der Größenlogik einmal so hingeschrieben: Die beiden Prämissen werden zu einer Zeichenfolge; die Gleichheitszeichen habe ich weggelassen, und die beiden Vorzeichen von Y in den beiden Prämissen habe ich links und rechts neben Y geschrieben. Also statt +X=(+)Y, +Y=(+)Z steht bei 5e: +X (+)Y+ (+)Z. Der Schlußsatz muß nun gar nicht gesucht werden, Y samt Vorzeichen muß nur weggelassen werden. Bei 5e also: + X=(+)Z oder bei 3e (+)X= - Z. Es ist zu sehen, daß die "beiden" Y immer in einer Teil:Ganzes-, Ganzes:Teil- oder Ganzes:Ganzes-Beziehung stehen. Diese letztere gilt für die acht unteren Schlüsse 5d bis 3c. Das sind genau die Schlüsse, die nur einen einzigen Schlußsatz haben. Ab und zu müssen Äquivalente gebildet werden, damit das Y nicht unterschiedliche Vorzeichen (positiv und negativ) bekommt.

[79] In den Verneinungen ist das äußerste limit eingeschlossen, in den Bejahungen nicht. So beinhalten "nicht superidentical" und "nicht subidentical" beide "nicht identical" und das gleiche von den Gegenteilen. In den Bejahungen ändert die äußerste Begrenzung einer Prämisse den Schlußsatz nicht, aber die Änderung beider führt den Schlußsatz auf seine äußerste Genze zurück. Folgendermaßen

Subcontrary des identical ist subcontrary. Contrary des superidentical ist subcontryry. Conrary des identical ist contrary.

und so weiter. Die Regeln diese Syllogismenarten sind folgendermaßen. Für bejahende Schlußsätze: (1.) Gleiche Namen in den Prämissen ergeben D im Schlußsatz und ungleiche Namen C. (2.) D in der ersten Prämisse erfordert Prämissen mit der gleichen Präposition, C in der ersten Prämisse verschiedene Präpositionen. (3.) Die Präposition des Schlußsatzes stimmt mit der der ersten Prämisse überein. Für negative Schlußsätze werden die vorstehenden Regeln umgekehrt. Soviel zunächst über die Regeln, sie werden später in anderen aufgehen.

Die eben aufgestellten 16 Formen der komplexen Schlüsse sind von der Klarheit von Axiomen, sobald die Begriffe deutlich begriffen worden sind. Die nachstehenden Diagramme sollen dabei unterstützen, bis die Sätze für sich selbst stehen. Obwohl es hier vier sind, so sind sie doch in Wirklichkeit nur eine, wie gezeigt werden wird.

[80] In jedem Diagramm sind drei Linien, teilweise fett, teilweise offen. Sie sind als übereinanderliegend zu verstehen und nur wegen der Deutlichkeit getrennt gezeichnet. Ein Punkt auf der ersten Linie kennzeichnet ein X oder ein x; und einer auf der zweiten oder dritten ein Y oder ein y und ein Z oder ein z. Das Universum der Sätze ist über die ganze Breite hin angenommen. Punkte, die untereinander kommen, werden als derselbe Gegenstand des Denkens (the same object of thought) mit nur unterschiedlichem Namen angenommen Das ist exakt der Standpunkt der Größenlogik, nur daß dort von der Identität des stetigen Teils auf die Identität der diskreten Grenze "geschlossen" wird und nicht umgekehrt. Das "geschlossen" in Gänsefüßchen, weil die Größe und die Grenze selbst von der Logik ausgeschlossen sind, auch wenn es ohne sie keine Logik gäbe.<- Das kan ich 2018 BESSER ausdrücken.. Wenn also im ersten Diagramm die gefüllten Linien die X, Y und Z genannten Punkte (!) enthalten, dann ist damit gezeigt, was wir meinen, wenn wir sagen, daß es Gegenstände gibt, auf die alle drei Namen passen. Denn in dem fetten Teil aller drei Linien liegen Punkte untereinander.

Lesen wir die Buchstaben auf der linken Seite, bedeuten die fetten Linien die Teile, in die die Xs, Ys und Zs plaziert werden müssen. Und auf der rechten Seite sind es die offenen Linien.

Hier müssen wir protestieren. Wenn links +X steht, steht rechts -X und nicht +X! Das Universum ist von rechts oder links betrachtet nicht ein anderes. Das mit Strich oben und Strich unten, super und sub, gewinnt hier ein Eigenleben, das für die Logik gefährlich ist. Maßstab für die Logik ist nicht, ob "es klappt", die neue Sprache mit den sub und super anzuwenden, sondern Maßstab für die Logik ist die Wahrheit. Die Rechenregeln müssen sich aus ihr ergeben. Was de Morgan rechts mit Buchstaben gekennzeichnet hat, sind die "Spiegelschlüsse", die er im fünften Kapitel selbst finden wird. Das sind die Schlüsse, die herauskommen, wenn X, Y und Z mit ihren Vorzeichen vertauscht werden, wobei auch die beiden Teile des Schlußsatzes mit ihren Vorzeichen vertauscht werden. Nehmen wir den ersten Fall: Da ZYX beliebige Größen sind oder der Schluß allgemeingültig ist, kann der rechte Schluß auch XYZ heißen. Was aber de Morgan's Zeichnungen zeigen, sind die Äquivalentschlüsse mit den einander ausschließenden Größen +X und -X, +Y und-Y, +Z und -Z. Der Doppelpfeil steht für die Äquivalenz. Aus der Ganzes:Teil-Relation wird beim Äquivalentsatz genau wie bei sub und super eine Teil:Ganzes-Relation. Nur entspricht der Tausch der Größenrelation bei Satz und Äquivalent der Wahrheit, bei sub und super nicht. Aus "Alle Menschen sind Tiere" wird nicht "Ein Teil der Menschen sind alle Tiere", sondern "Ein Teil der Nicht-Menschen sind alle Nicht-Tiere", wie uns de Morgan selbst gelehrt hat.

Wenn wir auf das dritte Diagramm schauen, sehen wir entsprechend auf der linken Seite C, D’ C,. Und im Diagramm ist es klar, daß X ein subcontrary von Y ist, oder daß X.Y und x y; und daß Y ein superidentical von Z ist oder daß Y)Z und Y:Z. Und der Schlußsatz ist ebenso offenbar, nämlich daß X ein subcontrary von Z ist. Schauen wir aber nach rechts und sehen C’ D, C’, dann nehmen wir die offenen Teile als Repräsentanten für die Räume, in denen die Xs, Ys und Zs stehen und die fetten Teile als die, in denen die xs, ys und zs stehen. Hier sehen wir also, daß X ein supercontryry von Y ist, daß Y ein subidentical von z ist und daß folglich X ein supercontrary von Z ist.

Betrachten wir die fetten einmal als positive, einmal als negative Größen, sind das vier Schlüsse, nämlich zweimal zwei äquivalente Schlüsse in zwei Universen, die nicht zu einem Universum werden, weil wir eine neue Sprache erfunden haben, die Teil und Ganzes als sub und super bezeichnet.

Einige Versuche, die Prämissen so aufzustellen, daß die Schlußsätze vermieden werden, werden für den aufschlußreich sein, der sie nicht unmittelbar einsieht. Und der formale Beweis ist immer durchführbar. Wenn also X ein subcontrary von Y ist, das heißt, wenn X und Y das Universum nicht ausfüllen und nichts gemein haben; und wenn Y ein superidentical von Z ist oder Z ganz enthält, ohne durch es ausgefüllt zu werden, dann ist klar, daß X in allen Instanzen, die ein Y aber kein Z sind, ein subcontrary von Z sein muß. Das Diagramm ist jedoch viel klarer als diese [verbale] Beweisführung, das der Leser daher solange anschauen sollte, solange er die Sprache nicht vollkommen beherrscht, um dort festzustellen, daß diese Sprache richtig ist.

Wegen der Sprache mag es bequem sein, von einem Namen als eine Art kollektivem Ganzen zu sprechen, das die einzelnen Instanzen enthält. Und so können wir von Namen sprechen, die vollkommen in einem anderen enthalten sind oder teilweise in- und teilweise außerhalb usw., was wir ja tatsächlich bereits getan haben.

[81] Alle komplexen Syllogismen, die bejahend schließen, sind offensichtlich à forteriori. Oder ich sollte besser sagen, die der ersten drei offensichtlich, die der vierten durch eine Erweiterung der Sprache. Die Markierungen 1 2 3 in der Mitte zeigen, wie das ist. In der ersten links ist X mehr ein subidentical von Y als von Z. Die Instanzen, in denen sub-identity auftreten, bestehen alle aus denen, die die subidentity von X zu Y zusammen mit all denen, die die subidentity von Y zu Z beweisen. In der dritten Darstellung, von rechts gelesen, ist X mehr supercontrary von Z als von Y, nämlich um alle Instanzen, die die subidentity von Y zu Z zeigen. Im vierten Diagramm (von links) können wir nicht sagen, daß X mehr subidentical von Z ist, als irgend etwas anderes, einfach weil es keine vorangehende subidentity unter den Relationen [XY, YZ] gibt. Dennoch nimmt der Schlußsatz seine Quantität aus der Addition derer beider Prämissen.

Die sub- und superidentity, die Ganzes:Teil-Relation bzw. die Teil:Ganzes-Relation steht in beiden Prämissen, wenn wir die Vorzeichen beachten, und sie ist auch aus de Morgan's Darstellung ablesbar.
links rechts
Ganz X ist ein Teil von nicht-Y Teil Nicht-X ist ganz Y
Ganz Nicht-Y ist ein Teil von Z Teil Y ist ganz nicht-Z
Ganz X ist ein Teil von Z Teil Nicht-X ist ganz nicht-Z

Wenn eine der Prämissen an die Grenze dessen gebracht wird, die sie von der Relation eines entgegengesetzten Satzes scheidet, das heißt, wenn C’ oder C, nach C geändert werden oder aber D’ oder D, nach D, dann wird der Charakter des Schlußsatzes nicht geändert bis auf den Verlust seines à forteriori-Charakters. Eine der Größen, die bisher zur Größe des Schlußsatzes beigesteuert hat, verschwindet nun. So ergibt C, D C, [6a], genau wie C, D’ [6d]; und C D’ [2d] ergibt C, genau wie C, D’ [6d]; C, C [6b] ergibt D, genau wie C, C’ [6c].

Zum ersten Mal tauchen Schlüsse mit den Sätzen 1 und 2 auf, 6a, 2d, 6b. Da es sich aber bei den Sätzen 1 und 2 um je zwei identische ganze Größen handelt: Satz 1: +A=+B, Satz 2: +A=-B, sind die Schlüsse mit diesen Sätzen die einfachsten und "gewissesten", die es gibt. Alle Schlüsse, die den Satz 1 dabei haben, haben als Schlußsatz die andere Prämisse, alle die mit Satz 2 das, was man vielleicht als "Gegenteil" der anderen Prämisse bezeichnen könnte:
6a 2d 6b
+ A=(-)B + A= - B + A=(-)B
+ B= + C (+)B= + C + B= - C
+ A=(-)C + A=(-)C + A=(+)C

Was auf den ersten Blick verwirrt, ist, daß die B unterschiedliche Vorzeichen haben. Aber die verschwinden, sobald oben oder unten die Äquivalente gebildet werden:
6a 2d 6b
+ A=(-)B + A= - B + A=(-)B
- B= - C - B=(-)C - B= + C
+ A=(-)C + A=(-)C + A=(+)C

Laß eine der Prämissen über das Limit gehen und nimm den entgegengesetzten Satz. Nimm C, D’ , was C, ergibt und auch dann weiterhin ergibt, wenn es abgeschwächt wird, wenn die erste C, zu C wird. Dann laß C zu C’ werden, so daß unsere Prämissen nun C’ D’ sind.

Wir haben nun einen Schluß mit zwei allgemeinen Prämissen vor uns, der nur einen einzigen eigeschränkten Schlußsatz hat (s. die unteren 8 Schlüsse Seite 78):

Das Diagramm ist dann folgendermaßen:

Die Größe des Schlußsatzes hängt nun von der Differenz der Anzahl der Instanzen in (12) und (23) ab und seine Qualität davon, ob (12) weniger Instanzen als (23) hat oder die gleiche Anzahl oder mehr. So, wie ich es gezeichnet habe, ist CÈ immer noch der Schlußsatz. Verstärke die erste Prämisse noch mehr, und der Schlußsatz [82] wird über C nach C’ übergehen oder sonst in P, und in diesem Fall kann er auch in D’ übergehen, wie im folgenden Diagramm.

Nichts ist unmöglich, außer D, oder D. Daher erlaubt uns C’ D’ nur, D, und seine Grenze (limit) D zu verneinen.

Lassen Sie sich durch die einfache Zeichnung des 3d in einem Kreis nicht täuschen. Die 8 unteren Schlüsse von Seite 78 mit nur einem einzigen Schlußsatz sind das schwierigste Kapitel in der Logik. Es lassen sich "auf Anhieb" vier allgemeine Verbindungen zwischen X und Z zeichnen: Alle Zeichnungen stellen ein und dieselben Prämissen (+)X= - Y und das Äquivalent von (+)Y=+Z, nämlich -Y=(-)Z dar. Nirgendwo ist ein Gesetz der Logik verletzt. Aber überall kommt ein anderer "Schlußsatz" heraus! Diese Ausdrucksweise ist falsch. Es sind nicht vier verschiedene Schlußsätze, sondern es gibt für diese Prämissen nur viele verschiedene Verbindungsmöglichkeiten zwischen X, Y und Z, für die der Schlußsatz gesucht werden muß. Er lautet (+)X=(-)Z. Zeichnen Sie die eingeschränkten Verbindungen und womöglich noch mehr allgemeine.

Behandeln Sie die anderen Fälle auf die gleiche Weise und erinnern sich, daß die Verneinung die Verneinung bis hin zum Limit beinhalten muß (während die Bejahung nur alles unterhalb des Limits bejaht). Dann haben wir

D, D’ verneint C’ D’ D, verneint C,
D, C’ " D’ D’ C, " D,
C, D, " D’ C’ D’ " D,
C, C, " C’ C’ C’ " C,

Die Regeln, die oben auf Seite 79 gegeben wurden können aus den Instanzen zusammengesammelt werden.

Solange wir die contraries nicht beachten, ist das äußerste Element der Schlußfolgerung von zweifachem Charakter. Es ist entweder "X und Z sind beide Y; daher: X ist Z" oder aber "X ist Y, und Z ist nicht Y; daher: X ist nicht Z", wobei X, Y und Z einzelne Instanzen dreier Namen sind und Y dieselbe Instanz in beiden Prämissen. Aber der Gebrauch der contraries gibt uns die Möglichkeit, diesen Fällen eine bejahende Form zu geben. Sie lautet "X ist Y, und nicht-Z ist Y", daher: "X ist nicht-Z".

Nicht die contraries, also Strich oben und Strich unten, sondern die Äquivalente ermöglichen den Schlußsatz, die Prämissen werden nicht durch weakening oder strengthening zu völlig anderen Sätzen, sondern sie bleiben dieselben Sätze. Der an 3d gespiegelte Schluß 5d, den de Morgan hier anführt: "X ist Y, und nicht-Z ist Y" hat auch den gespiegelten Schlußsatz "Nicht-X ist Z".

Das folgende Theorem ist mit dieser Änderung der Ausdrucksweise verbunden: Alle bejahenden komplexen Syllogismen sind auf einander reduzierbar. Und das gleiche gilt für die negativen. Der Leser kann dieses Theorem an der Reihenfolge der Ziffern 1, 2 und 3, die in allen vier Diagrammen dieselbe ist, nachvollziehen. Nehmen wir D, D, D, als die einfachste natürliche Form und schauen uns das Diagramm C, D’ C, an. Dann können wir das als D, D, D, ausdrücken mit: "X ist subidentical von y; y ist subidentical von z; daher ist X das subidentical von z". Wenn wir die Begriffe der Syllogismen hinter ihre beschreibenden Buchstaben schreiben, wie bei D, D, D, (XYZ), dann erhalten wir folgende Ergebnisse:

D, D, D, (XYZ) = D, D, D, (XYZ) D’ D’ D’ (XYZ) = D, D, D, (xyz)
D, C, C, (XYZ) = D, D, D, (XYz) D’ C’ C’ (XYZ) = D, D, D, (xyZ)
D’ D’ C’ (XYZ) = D, D, D, (Xyz) C’ D, C’ (XYZ) = D, D, D, (xYZ)
C, C’ D, (XYZ) = D, D, D, (XyZ) C’ C, D’ (XYZ) = D, D, D, (xYz)

"Das subidentical des subidentical ist ein subidentical" bleibt als Größenbeziehung erhalten, die Vorzeichen innerhalb des Schlusses ändern sich. Alle acht Schlüsse lassen sich als "Ein Teil des Teils ist ein Teil" darstellen: ??=Der Satz 3 C’: (+)X=-Y läßt sich mit positiven ganzen +X und+Y nicht darstellen. Die "Berechnung" mit +X+Y+Z läßt alles zu, weil die Multiplikation mit "+1" den Wert unverändert läßt, wie bei D, D, D, (XYZ)=D, D, D, (XYZ). Zeichneten wir Satz 3 wie den Satz 6 in der zweiten und dritten Zeile als zwei getrennte ganze Größen, so wären das -X und -Y. Das wären dann wie bei der getrennten Darstellung von Satz 6 die zwei Größen der beiden Äquivalente, nicht die Größe eines Satzes.

[83] Betrachtet man die erste Beschreibung nur als [Größen]relationen und die zweite nur als Begriffe, dann sehen wir folgende Verbindungsregeln. In den ersten und zweiten Prämissen und Begriffen sind X und Y in den Begriffen oder ihre Gegenteile, je nachdem subaccents oder superaccents in den Relationen sind. Aber im Schlußsatz ist Z für D, und C’, z für D’ und C,. Und wir können so jeden Syllogismus entweder auf D, D, D, oder XYZ reduzieren, indem wir eine der acht verschiedenen Relationen kombiniert mit einer der Begriffe nehmen. So ergibt C, D’ C, (XyZ) D, D, D, (XYz) oder D, C, C, (XYZ)

De Morgan denkt so, Struktur mal Größe:
C, mal Xy = +(-) mal [+X= - Y] = + X=(+)Y
D’ mal yZ = (+)+ mal [-Y= + Z] = (-)Y= + Z
ergibt C, + X=(-)Z
In der ersten Pramisse steht links das Produkt "+ mal +X=+X" und rechts "(-) mal -Y=(+)Y". In der zweiten Prämisse steht links (+) mal -Y=(-)Y und rechts + mal +Z=+Z In den 16 logischen Sätzen gibt es genau 4 Größenbeziehungen oder Strukturen: Identität (identity, ohne Strich), Ganzes:Teil (subcontrary oder Strich unten) Teil:Ganzes (supercontrary oder Strich oben) und Teil:Teil (I, I’ O, O’). Im Schluß, der vom Y aus gesteuert wird, gibt es dagegen nur drei Größenbeziehungen der Y zu sich selbst, weil das Y ja nur eine Größe ist und sich nicht selbst schneiden kann: Die Größe des ganzen Schlusses ist eine der drei Zeichnungen. Die Größe des Schlußsatzes ist der kleinere Kreis oder der ganze größere Kreis, wenn Prämissen und Schlußgröße identisch sind wie bei +X=+Y=+Z. Wie das Y im Schluß, so haben die X, Y und Z im Satz die Vorzeichen + oder -. Der Satz hat also eine Struktur der Größenbeziehung von Teil und Ganzem, und jeder Teil oder jedes Ganze ist positiv oder negativ und besteht im Schluß wiederum aus zweimal zwei Teilen (die X und Z in den drei Schlußzeichnungen kommen ja noch dazu)! De Morgan ist nach 2.000 Jahren Grabesruhe der, der aus diesen wenigen einfachen Wahrheiten den Formalismus der vollständigen Logik zum Greifen nahe aufstellt. Er hätte nur noch Struktur und Vorzeichen in Eins bringen müssen. Die Ignorierung dieser Tatsache kann man getrost mit dem Umgang des katholischen Klerus mit Kopernikus, Galielei, Kepler gleichsetzen, nur daß heutzutage keine Inquisition mehr nötig ist, um den mittelalterlichen Mief zu verbreiten, sondern das von der aufgeklärten Wissenschaft selbst mit Akribie betrieben wird. Und es ist ein und dieselbe Schändung des Aristoteles, wie die, die aus der Schrift "Über die Welt", eher Hofberichterstattung an den makedonischen Hof als Wissenschaft, die gottgegebene Ordnung der christlichen Welt herauslas, die heute immer noch den Anfang der Logik, den Aristoteles geschaffen hat, als die ein für allemal fix und fertige Logik in nahezu allen Lehrbüchern der Syllogistik behauptet. Die AEIO-Logiker sind Sesselfurzer<-24/09/2002:abschwächen! Trotz aller Differenzen bleibt: die Bewahrung der Logik, die nullkommanichts zur Logik beitragen und die kümmerliche vier Buchstaben zwei oder drei Umformungsregeln und 15, angeblich 19 Schlüsse als die vollständige "aristoteleische" Logik nachbeten. De Morgan dagegen tritt in wahrhaft aristoteleischer Manier auf, kümmert sich einen Teufel um verknöcherte Vorurteile und forscht schlicht und ergreifend nach der Wahrheit. Februar 2018: Die nachstehenden acht partikukären Kombinationen dreier sich schneidender Größen mit einer gemeinsamen Schnittgröße hat Venn genauer erforscht.

Um das Thema nicht mit Beweisformen zu überhäufen, werde ich hier mit einem Mal die Regeln wiedergeben, durch die Änderungen des Akzents und Buchstabens beherrscht werden, wobei ich bemerke, daß sie auf mein ganzes System anwendbar sind.

Es gibt acht verschiedene Buchstabenkombinationen:

XYZ, xyz, xYZ, Xyz, XyZ, xYz, XYz, xyZ,

in denen alle (bei XYZ) beibehalten oder alle geändert oder nur einer beibehalten oder nur einer geändert wird. Lernen Sie, jeden Buchstaben mit den Sätzen zu verbinden, in denen er auftaucht, indem Sie die Sätze, Prämissen und Schlußsätze mit 1, 2, 3 kennzeichnen. Verbinden Sie X mit 1,3; Y mit 1,2; Z mit 2,3. Die Beibehaltung oder Änderung aller Buchstaben ergibt keine Änderung. Beibehaltung nur eines oder Änderung nur eines ändert die Buchstaben in den Prämissen, in denen dieser vorkommt.Wenn wir also in DDD, seien die Akzente, was sie wollen, nur den ersten Buchstaben in sein Gegenteil ändern, wird der Syllogismus CDC; und das gleiche, wenn wir nur den ersten Buchstaben unverändert lassen.

Bei den Akzenten erinnern Sie sich, daß die Änderung von Z keine Wirkung hat; beachten Sie nur X und Y. Wenn einer von beiden Buchstaben in sein Gegenteil geändert wird, ändern Sie den Akzent in der Prämisse, in der dieser Buchstabe zuerst kommt. 13 für X, 2 für Y 123 für XY. Zum Beispiel, was ist C,C’D, (Xyz)? Bezogen auf die Buchstaben ist X (1,3) unverändert, dann wird CCD zu DCC. Bezogen auf die Akzente wird Y geändert, was zuerst nur in 2 kommt: Ändere C’ in C,. Also C,C’D, (Xyz) = D,C,C, (XYZ). Hier sind wir von einem Syllogismus in Xyz übergegangen in das korrespondierende Äquivalent in XYZ. Die Regeln bleiben dieselben für den inversen Prozeß und für alle Buchstabenkombinationen. Denn die Änderung von XYZ nach Xyz und die von Xyz nach XYZ haben nur eine Beschreibung: nur der erste Buchstabe bleibt unverändert. Nehmen Sie nun an, es sei gefordert zu wissen, [84] welcher Syllogismus in xYz die Antwort auf D,C,C,(Xyz) ist! Die Schlüsselwörter sind, nur der dritte ohne Änderung. Ändern Sie also DCC in DDD nach der ersten Regel und ändern alle Akzente. So ist D,C,C, (Xyz) = D’D’D’(xYz). Die voneinander unabhängigen Regeln sind die Änderung nur des Subjekts; Änderung von beiden, Buchstaben und Akzent; nur des Prädikats, Buchstabe; Subjekt und Prädikat, Akzent. Um also zu finden, was D’C’C’(xYz) ausgedrückt in XYz ist, sind die Änderungen in den drei Sätzen S[ubjekt], keine, S, und D’C’C’(xYz) = C,C’D,(XYz). Die folgende Tabelle kann zur Übung geprüft werden; sie zeigt die Auswirkungen aller Änderungen mit Ausnahme des Mittelbegriffs.

XYZ xYZ XYz xYz
D,D,D, C’D,C’ D,C,C, C’C,D’
C’D,C’ D,D,D, C’C,D’ D,C,C,
D,C,C, C’C,D’ D,D,D, C’D,C’
C’C,D’ D,C,C, C’D,C’ D,D,D,

D’D’D’ hätte ähnlich C,D’C, C,D’C, usw. Wenn nur der Mittelbegriff geändert wird, kann die Tabelle so aussehen:

XYZ D,D,D, C’D,C’ D,D,C, C’C,D’
XyZ C,C’D, D’C’C’ C,D’C, D’D’D’

Natürlich ist es aufgefallen, daß die Syllogismen in Paaren auftreten, wobei jeder einzelne eines Paares sich vom anderen in der Akzentuierung und sonst nichts unterscheidet. Wenn wir Vierersets nehmen, dann sollten die zusammengenommenen die sein, die in der ersten oder zweiten Prämisse oder im Schlußsatz (was immer wir als den Standard wählen) ein D, und C’, oder aber ein D’ und C, haben. Dieselben Transformationsregeln passen auf die negativ (negatory) komplexen Syllogismen. D’D,:D,(XYZ) ist so C’D’:D,(Xyz). Tatsächlich hängen diese Regeln nicht vom Charakter der Schlußfolgerung ab, nicht einmal von ihrer Gültigkeit, sondern nur von den Auswirkungen, die in den einzelnen Sätzen durch die Änderung der Begriffe erzeugt werden. So ist die Behauptung D’D,C, (XYZ), eine ungültige Schlußfolgerung, die gleiche Behauptung wie in D,C’D’(xyZ) ausgedrückt (natürlich auch ungültig).

Eine Untersuchung der komplex eingeschränkten Relation P= I,+I’+O,+O’, sei es durch das Diagramm oder allein durch das Denken ohne Hilfsmittel, wird zeigen, daß, wenn diese Relation zwischen X und Y besteht, sie ebenso zwischen x und Y, X und y, x und y besteht. PC, CP, PD, DP [85] ergeben daher P [de Morgan meint mit C und D sicher Verneinung oder Bejahung rechts oder links und mit P eine "einfache" eingeschränkte Satzstruktur ()=()]. Außerdem geben zwei komplex eingeschränkte Sätze keine Möglichkeit irgend eines Schlußsatzes, weil alle [Sätze] gleich möglich sind. So kann PP C, oder C oder C’ oder D, oder D oder D’ ergeben.

Nun kombinieren Sie einen der anderen, etwa D, mit P. Unersuchen Sie PD, und D,P. Es wird herauskommen, daß der komplex eingeschränkte eines subidentical entweder ein komplex eingeschränkter, subidentical oder supercontrary sein kann. Oder daß PD, entweder P D,È oder C’ sein kann. Untersuchen Sie alle Fälle, und die Regeln werden gefunden in

(D,C,)P P(D,C’)
(D’C’)P P(C,D’)

wie hier interpretiert. Jede Prämisse zwischen den Klammern mit P, in der vorgegebenen Reihenfolge, kann jede, muß aber eine der drei als Schlußsatz haben. Also D.P muß entweder P C, oder D’ haben. Aber PC, muß entweder P C, oder D’ haben.Eine Grafik kann das verdeutlichen. Behandeln wir "P" der Einfachheit halber hier wie de Morgan als (+)(+) mit zwei eingeschränkt positiven Vorzeichen. Das, das Keisemalen, ist die ursprüngliche Arbeit des Forschers im Bereich der Logik. Auf die so gefundenen Ergebnisse setzt der Formalismus auf, der aus dem Sammeln, Sichten und Ordnen der vorgefundenen Tatsachen die Algorithmen erarbeitet. Jeder, der Ihnen etwas anderes erzählt, redet aus Unwissenheit, Autoritätsgläubigkeit oder lügt. De Morgan hat nahezu alle Tatsachen gesammelt, gesichtet und geordnet.

Bevor wir zum einfachen Syllogismus, wie ich ihn genannt habe, übergehen, muß ich doch sagen, daß ich sehr daran zweifele, daß die Begriffe einfach und komplex angemessen sind. Zweifellos sind diese Redewendungen nur historisch bedingt, denn jeder Syllogismus, den ich vorschlage, komplex zu nennen, ist, wie wir gleich sehen werden, aus drei von denen zusammengesetzt, die immer einfach genannt werden. Aber auch aus einem anderen Gesichtspunkt heraus sollte diese Terminologie geändert werden. Der einfache Syllogismus ist die Feststellung der Existenz eines der komplexen Syllogismen. So ist X)Y+Y)Z=X)Z oder A,A,A, (D, oder D unbekannt, welcher) (D, oder D unbekannt, welcher) (D, oder D unbekannt, welcher) und behauptet, daß entweder D,D,D, oder D,DD, oder DD,D, oder DDD ist.

Aber, wird man erwidern, sicherlich verlangt doch der komplexe Satz die konjunktive Existenz zweier einfacher Sätze: D,=A,+O’ und ist daher wenigstens zusammengesetzt. Ich antworte, daß der einfache Satz andererseits die disjunktive Existenz zweier komplexer Sätze verlangt, wie: A,=D, oder D. Welcher Satz ist der einfachere, beide oder der eine oder der andere? Für mich sicher der erste. Der Syllogismus D,D,D, ist für mich sicher leichter zu verstehen als der A,A,A,. Tatsächlich ist für die meisten Köpfe der letztere der erste, wenn sie sich selbst überlassen bleiben, und die Fälle D,D,D, usw. werden nur angenommen, wenn sie hergestellt werden und auf ihnen beharrt wird.

Aber darüberhinaus, wird der einfache Satz angemessen als einfach bezeichnet? Ist in ihm nur eine Behauptung, die zu bejahen oder zu verneinen ist? Wird nur eine [86] Frage beantwortet?

De Morgan hat mit der Aufstellung der Satzuniversen auf Seite 61 bereits alles demonstriert, wenn auch nur teilweise ausgesprochen, was zu diesem Thema zu sagen ist. Er weiß, daß die komplexen Sätze überflüssig sind und redet jetzt ein wenig um den heißen Brei.

Wenn ich "Jedes X ist Y" bejahe, stelle ich fest: 1. Vergleich von X mit Y. 2. Koinzidenzen. 3. Den größtmöglichen Betrag von ihnen. 4. Daß jedes X gebraucht wurde, um sie zu erreichen. In "Einige Xs sind Ys" treffen die beiden ersten Punkte zu. In "Kein X ist Y" haben wir: 1.Vergleich von X mit Y. 2. Ausschlüsse. 3. Den größten Betrag. 4. Den vergleich von jedem X mit jedem Y. Und "Einige Xs sind nicht Ys" läßt den dritten Punkt weg und substituiert Xs für jedes X im vierten.

Nun enthält zum Beispiel das subidentical neben dem, was im subaffirmative ist, nur noch die Vorstellung, daß es mehr Ys gibt als Xs. Das subcontrary existiert über und oberhalb dessen, was im subnegative ist, in dem Xs und Ys nicht alles ist, auf das der Satz angewendet werden könnte usw. Aus diesen Überlegungen heraus ist es, wie ich glaube, erlaubt, die Wörter einfach und komplex nur unter historischem Bezug zu gebrauchen und den ersten als disjunktiv mit dem zweiten verknüpft und den zweiten als konjunktiv mit dem ersten wie in der oben beschriebenen Weise [Seite 69] verknüpft anzusehen. Ich denke, es wird mir gelingen klarzumachen, daß der Absatz über die Konjunktionen und Disjunktionen besser für ein Beweissystem geeignet ist als das andere. Wenn der Plan, den ich vorschlage, irgendeine Anerkennung finden wird, könnte ich mir vorstellen, daß disjunktiv und konjunktiv die Namen für die Klassen sein könnten, die ich einfach und komplex genannt habe. Konjunktiv ist die Wahrheitswertetabelle von oben nach unten gelesen: Trifft Satz 5 zu, so treffen sein Äquivalent und Satz 7 und Satz 9 und Satz 10 zu (die letzten drei "nicht echt", das bedeutet, können in einen allgemeinen Satz, nämlich Satz 5 umgewandelt werden). Entsprechend sind die aus zwei konjunktiv wahren Sätzen gewonnenen Schlußsätze konjunktiv wahr. Disjunktiv wäre die Wahrheitswertetabelle von links nach rechts, ist aber überflüssig. Trifft Satz 5 nicht zu, so treffen alternativ alle 9 anderen Sätze zu<-PRÜF. Die Multiplikation "zweimal falsch ist wahr" wollen wir nicht mehr durchgehen lassen, sondern werden, so verlockend die frühzeitige Algorithmisierung auch ist, erst dann Rechenregeln anwenden, wenn sie uns die Welt, so, wie sie ist, gelehrt haben wird. Sie werden natürlich im Großen und Ganzen mit den Ergebnissen de Morgan's übereinstimmen, weil er denselben Lehrmeister hat, die Welt, wie sie ist oder die Wahrheit, was dasselbe ist. Der konjuktive Schluß ist aus einigen disjunktiven und der disjunktive aus einem oder einigen konjunktiven zusammengesetzt. Wenn ein Satz R die notwendige Folge zweier anderer P und Q ist, folgt notwendig, daß die Verneinung von R wenigstens die Verneinung eines der beiden P und Q ist. Denn jeder Satz läßt entweder Bejahung oder Verneinung zu. Und wer beide bejaht, P und Q, muß R bejahen. Wird P bejaht und R verneint, muß die Verneinung von Q folgen. Wenn Q bejaht und R verneint wird, muß die Verneinung von P folgen.

Ein einfacher Syllogismus ist einer, dessen beiden Prämissen und dessen Schlußsatz bei den einfachen Sätzen A, E, I, O, A’ E’ I’ O’ zu finden sind. So haben wir A,E,E, oder X)Y+Y.Z=X.Z als ein Beispiel. Die Reihenfolge der Bezugnahme richtet sich immer nach XY, YZ, XZ.

Die folgenden Theoreme sind notwendig:

1. Eine eingeschränkte Prämisse kann nicht von einem allgemeinen Schlußsatz followed werden.

[87] Angenommen A,I, könnte einen allgemeinen Schlußsatz haben Nehmen Sie die komplexen Prämissen D,P oder (A,+O’)(I,+I’+O,+O’).Alles, was gefolgert werden kann, ist, daß einer von drei Schlußsätzen (Seite 85) gültig ist und weder D noch C, nämlich entweder D, oder P oder C,. Wäre aber ein allgemeiner Schlußsatz wahr, dann müßte einer von zwei Schlußsätzen gelten (Seite 69), und einer von beiden müßte D oder C sein. A, und I, allein könnten also genauso einen allgemeinen Schlußsatz hervorbringen wie D,P oder eine Form, die sich zu drei Schlußsätzen indifferent verhält und D oder C nicht hat, wäre notwendig dasselbe wie eine mit zwei Schlußsätzen, von denen einer D oder C ist. Dieser Widerspruch kann nicht sein, oder A,I, kann keinen allgemeinen Schlußsatz hervorbringen.

2. Aus zwei eingeschränkten Prämissen kann kein Schluß folgen.

Wenn möglich, bringe I,I, einen Schlußsatz hervor, der nach dem letzten Theorem nur ein eingeschränkter sein kann. Nun ist PP oder (I,+I’+O,+O’)(I,+I’+O,+O’) allen anderen komplexen Schlußsätzen gegenüber indifferent, genauso wie I,I,. Aber wenn diese Prämissen einen eingeschränkten Schlußsatz hervorbringen, dann werden zwei komplexe Schlußsätze verneint (Seite 69). Dieser Widerspruch kann nicht sein, oder eingeschränkte Prämissen können keinen Schlußsatz hervorbringen.

Ein einfacher Syllogismus mit allgemeinen Prämissen und allgemeinem Schlußsatz werde allgemein genannt; und einer mit einer eingeschränkten Prämisse (und daher eingeschränktem Schlußsatz) eingeschränkt. Dann hat jeder allgemeine Schluß zwei eingeschränkte Schlüsse, die aus ihm abgeleitet werden können.Wenn also A,E,E, gültig ist, dann ist A, verbunden mit der Verneinung von E, scheinbar die Verneinung von E,: A,I,I,.Aber die Änderung der Plätze der Präposition erfordert zusagen, daß es A’I,I, ist, der gültig ist, und dieser Punkt erfordert unsere ganze Aufmerksamkeit.

WOANDERS: Jetzt haben wir alle Bausteine beisammen: Vier Größenbeziehungen, vier X oder Y mit positivem oder negativem Vorzeichen, also +X, -X, +Y, -Y in diesen vier Größenbeziehungen. Das ergibt viermal vier Sätze. Welche Sätze immer wahr sind, sobald einer der 16 Sätze wahr ist, hat uns de Morgan mit seinen Satzuniversen gezeigt (die Wahrheitswertetafel). Weiter wissen wir, daß der Mittelbegriff in genau drei Größenbeziehungen zu sich selbst stehen kann: Teil:Ganzes, Ganzes:Teil und Ganzes:Ganzes.

Nehmen Sie A,E,E, oder X)Y+Y.Z=X.Z. Dann ergibt X)Y mit der Verneinung von X.Z (nämlich XZ) die Verneinung von Y.Z (nämlich YZ); und wir erhalten

X)Y+XZ=YZ Der Schluß 5g, der an dieser Stelle stehen müßte, wenn wir bei der Reihenfolge XYZ bleiben wollen: X)Y+YZ, ist einer der 16 Schlüsse, die de Morgan nicht lösen wird.

Dieser Schluß ist gültig, wenn der erste, wie er ist, gültig ist. Aber sein Symbol ist nicht A,I,I,. Denn der Mittelbegriff ist in unserer Notation in der Mitte, und die Reihenfolge ist daher YX, XZ, YZ, und der Syllogismus ist A’I,I,. Ähnlich haben wir

XZ+Y.Z=X:Y Den 7f, der hier stehen müßte, XY+Y.Z=Y:Z hat de Morgan, wie gleich zu sehen sein wird, gelöst.

der durch die Verbindung der Verneinung von X.Z mit Y.Z gebildet wird. Aber dies ist I,E,O, denn unsere Reihenfolge lautet nun XZ, ZY, XY, und [88] E, wird nicht geändert durch die Änderung der Reihenfolge. Die Regel ist folgendermaßen. Wenn die Verneinungen des Schlußsatzes und einer Prämisse gemacht werden, um den Platz dieser Prämisse und des Schlußsatzes einzunehmen, dann bleibt die Reihenfolge der Bezugnahme zu den vertauschten Begriffen unverändert und wird in bezug auf den stehebleibenden Begriff geändert. Dieser muß daher die Präposition des inkonvertiblen Satzes geändert haben, aber nicht die des konvertiblen Satzes Das ist hart an der Schmerzgrenze, ich habe mir auch nicht die geringste Mühe gegeben, diesen Absatz "richtig" zu übersetzen, daher hier das Original: "The rule is as follows. When the denials of the conclusion and of a premise are made to take the places of that premise and the conclusion, the order of reference remains undisturbed as to the transposed terms, and is changed as to the standing term. This last must therefore have the preposition of the inconvertible proposition changed; but not that of the convertible proposition."(88) Ich vermute, de Morgan will hier dem Leser nur die "einfachen" Syllogismen madig machen, um die "komplexen" umso mehr loben zu können..

So ergibt E’A,E’, falls gültig, E’I’O, und I’A’I’. Weiter, auf ähnliche Weise kann man zeigen, daß aus jedem eingeschränkten Schluß ein allgemeiner Schluß folgt (?!): So zeigt I,E’O’ 7c, ein weiterer Schluß, den de Morgan nicht löst. Die beiden Schlußsätze sind I,:(+)X=(+)Z und O’:(-)X=(-)Z, der im Gegensatz zu de Morgan's Ansicht gültig ist., falls gültig, daß Verneinung von O’ und E’ die Verneinung von I, gibt, oder A’E’E,. In diesem Fall ist kein Schluß gültig. Und E’I’O, neben E’A,E’ ergibt auch A,I’I’.

Eine Klassifikation dieser entgegengesetzten Formen wird gleich unten gegeben werden.

Da es acht Aussageformen in der Reihenfolge YX YZ XZ gibt, folgt daraus, daß es 64 Kombinationen von Prämissenpaaren gibt. Aber von diesen haben nur folgende eine Chance, einen Schlußsatz hervorzubringen. Erstens 16 mit zwei allgemeinen Prämissen, zweitens 32 mit einer allgemeinen und einer eingeschränkten 8 mal 8=64 minus 16 Prämissenpaaren aus zwei eingeschränkten Sätzen =48. Die 36 Schlüsse mit den Sätzen 1 und 2 kann de Morgan hier nicht dazurechnen, weil er sich durch die Trennung von komplexen und einfachen Sätzen den Weg dazu verbaut hat, das heißt, Schlüsse mit den Sätzen 1 und 2 kann er nur mit den anderen komplexen Sätzen bilden. Also maximal 20 Stück (1a-1f, 2a-2f, 3-6a, 3-6b), wovon er gleich 16 finden wird.. Wenn, für einen Moment, U für universal (allgemein) und P für partikulär (eingeschränkt) steht, dann ist die Form des Schlusses entweder UUU, PUP, UPP oder UUP. Der erste, zweite und dritte verhalten sich so zueinander, daß jeder sein Gegenüber im set hat. Aber der vierte hat seine eigene Form in jedem seiner Gegenüber.

Die Wahrheitswertetabelle (S. 63), die Aufstellung der Sätze und ihrer Äquivalente (S. 61) und die Universen (S. 61) lehren uns, daß Satz 5 neben seinem Äquivalent (-)- stets die drei Nebenbedeutungen (+)(+), (-)(+) und (-)(-) hat. D,D, (komplex oder einfach ist egal) sieht also vollständig so aus:
und
+ A=(+)B + B=(+)
(-)A= - B (-)B= - C
(+)A=(+)B (+)B=(+)C
(-)A=(+)B (-)B=(+)C
(-)A=(-)B (-)B=(-)C
Alle Sätze sind für die Bildung möglicher Syllogismen zu verwenden, soweit das nach den Regeln möglich ist. Sämtliche Schlüsse werden mit nur zwei Regeln gefunden: Schreiben Sie die beiden Prämissen mit ihren Äquivalenten und Nebenbedeutungen nebeneinander. Ziehen Sie Striche zwischen alle "zwei" B, die diese Anforderungen erfüllen, und Sie haben alle Schlüsse, die es zu dieser Prämissenkombination gibt: 5e Alle sechs Prämissenkombinationen des 5e ergeben gültige Schlußsätze dieses Schlusses: Erwartungsgemäß sind die Schlußsätze der Satz 5, sein Äquivalent und die drei Nebenbedeutungen, (-)A=(+)C oder O’ sogar zweifach in verschiedenen Größenkonstellationen, nämlich einmal durch das Äquivalent von Satz 5 und das andre Mal durch die zweite Hälfte des "komplexen Satzes".

Der Schlußsatz ist A,+O’: Aber er ist nicht nur zweifach, sondern dreifach, denn der à forteriori-Charakter, der auf Seite 81 beschrieben wurde, zeigt, daß O’ aus zwei verschiedenen Ursachen heraus erlangt werden kann und die Summe von zwei notwendigen Teilen des Schlußsatzes ist. Daß jedes X Z ist, folgt aus X)Y und Y)Z, oder wir haben den Syllogismus:

A,A,A, Y)Y+Y)Z=X)Z

Aber soweit die Zs unterhalb von (12) betroffen sind, folgt, daß sie nicht Xs sind, weil sie Ys sind, die nicht Xs sind; oder wir haben:

O’A,O’ Y:X+Y)Z=Z:X

[89] Und für die Zs unterhalb (23) sind sie nicht Xs, weil sie nicht Ys sind, unter denen alle Xs sind. Folglich haben wir

A,O’O’ X)Y+Z:Y=Z:X

Daraus läßt sich nur ein Schluß ziehen, wenn die erste Prämisse als Äquivalent benutzt wird, weil andernfalls die Y unterschiedliche Vorzeichen hätten und beide eingeschränkt wären.

Oder D,D,D, erfordert die Koexistenz von A,A,A,, O’A,O’, A,O’O’. Wenden wir diese Überlegungen auf die Gegenteile x, y, z an oder aber untersuchen wir D’D’D’ auf die gleiche Weise, und wir finden, daß D’D’D’ die Koexistenz von A’A’A’ O,A’O, A’O,O, erfordert.

Indem wir die vorstehenden Ergebnisse auf x, Y, Z usw. wie auf Seite 79 anwenden, erhalten wir folgende Tabelle von Ableitungen der acht bejahenden komplexen Syllogismen. Die erste Spalte zeigt, welche Begriffe benutzt werden müssen, um alle aus D,D,D, abzuleiten.

A,A,A, X)Y + Y)Z = X)Z 5e
XYZ D,D,D, O’A,O’ Y:X + Y)Z = Z:X (12) 9e
A,O’O’ Y)X + Z:Y = Z:X (23) 5i
A’A’A’ Y)X + Z)Y = Z)X 4d
xyz D’D’D’ O,A’O, X:Y + Z)Y = X:Z (12) 8d
A’O,O, Y)X + Y:Z = X:Z (23) 4h
E’A,E’ x.y + Y)Z = x.z 3e
xYZ C’D,C’ I,A,I, XY + Y)Z = XZ (12) 7e
E’O’I, x.y + Z:Y = XZ (23) 3i
E,A’E, X.Y + Z)Y = X.Z 6d
Xyz C,D’C, I’A’I’ xy + Z)Y = xz (12) 10d
E,O,I’ X.Y + Y:Z = xz (23) 6h
A,E,E, X)Y + Y.Z = X.Z 5f
XYz D,C,C, O’E,I’ Y:X + Y.Z = xz (12) 9f
A,I’I’ X)Y + yz = xz (23) 5k
A’E’E’ Y)X + y.z = x.z 4c
xyZ D’C’C’ O,E’I, X:Y + y.z = XZ (12) 8c
A’I,I, Y)X + YZ = XZ (23) 4g
E’E,A’ x.y + Y.z = Z)X 3f
xYz C’C,D’ I,E,O, XY + Y.Z = X:Z (12) 7f
E’I’O, x.y + yz = X:Z (23) 3k
E,E’A, X.Y + y.z = X)Z 6c
XyZ C,C’D, I’E’O’ xy + y.z = Z:X (12) 10c
E,I,O’ X.Y + YZ = Z:X (23) 6g

Bevor ich irgend eine Regel aufstelle oder andere Bemerkungen mache, werde ich zunächst [90] die Ergebnisse der noch übrigbleibenden Fälle sammeln. Zunächst werde eine Prämisse an ihre äußerste Grenze D oder C gebracht, sagen wir D,D,D, wird DD,D,. Aus dem Diagramm [Seite 79] wird unmittelbar klar, daß einer der eingeschränkten Schlußsätze verlorengeht; er wird nicht widersprüchlich, sondern annuliert: Denn (12) verschwindet, weil X und Y identische Namen sind. Man sieht hier einmal mehr, daß de Morgan seine oben aufgestellte Behauptung, er handele nur von numerischen, nicht von wirklichen Größen, nicht ganz ernst gemeint hat. Denn als Mathematiker wird ihm der Unterschied zwsichen Identität und Gleichheit geläufig sein. Das heißt A,A,A, bleibt, ebenso A,O’O’. Aber der Schlußsatz O’A,O’ wird annuliert. Aber genau dieser Umstand erzeugt zwar nicht einen neuen Schlußsatz, denn er ist nur Teil eines bereits existierenden, vielmehr eine neue Form der Deduktion. Die Prämissen sind jetzt A,+A’ und A,+O’, und der Schlußsatz ist A,+O’. Die Syllogismen A,A,A, und A,O’O’ sind wie vorher und aus den gleichen Gründen. Aber jetzt gibt es die Kombination A,A’ bei den Prämissen, die den Schlußsatz I, erzeugt, und wir haben

A’A,I, Y)X+Y)Z=XZ

Dieser Syllogismus ist neu, was D,D,D, angeht, ist aber nur ein concomitant [hier: Nebenbedeutung] von E’A,E’. Denn I, ist immer wahr, wenn A’ wahr ist, so daß A’A, sowohl I,A, als auch seine notwendige Folge I, einschließt.Wäre aber I, nach A, verstärkt worden statt nach A’ dann hätten wir A,A,I, erhalten, der, obwohl vollkommen gültig, dennoch einen stärkeren Schlußsatz zuläßt, wie man in A,A,A, sieht.

Von den beiden Arten, einen eingeschränkten Satz zu verstärken (wie I, nach A, oder A’), verstärkt eine die Quantität der ersten Form des Satzes und eine die zweite. So wird XY oder I, zu X)Y oder A, wenn die erste und Y)X oder A’ wenn die zweite Form verstärkt wird. Ähnlich wird O, oder X:Y zu X.Y oder E, und x.y oder E’, je nachdem, ob die verstärkte Form X:Y oder y:x ist Wenn also bei y:x auf der rechten Seite (-)-X=(+)X erlaubt ist, siehe Seite 61.. Die Präposition bleibt gleich oder ändert sich, je nachdem die erste oder zweite Form verstärkt wird. Wenn die erste Form der zweiten Prämisse eines Syllogismus oder die zweite Form der ersten Prämisse verstärkt wird, wird zum Schlußsatz keine Verstärkung hinzugefügt. So ergibt I,A, soweit die Syllogismen in diesem Kapitel betrachtet werden, genausoviel wie A’A, und E,O, genausoviel wie E,E, Nein, die beiden Syllogismen mit zwei allgemeinen Sätzen ergeben nur einen Schlußsatz, während die beiden mit einem allgemeinen und einem eingeschränkten Satz zwei Schlußsätze ergeben.. Aber wenn die erste Form der ersten Prämisse oder die zweite Form der zweiten verstärkt wird, dann wird die erste Form des Schlußsatzes verstärkt. ??

Ein sehr einfaches und selbstverständliches Theorem enthält alle diese Ergebnisse. Die schließenden Begriffe sind in unserer Reihenfolge des Bezugs der erste [91] Begriff der ersten Prämisse und der zweite Begriff der zweiten. Der Schlußsatz wird nie durch die Vermehrung (augmenting) der Quantität des Mittelbegriffs verstärkt, noch nur durch Abschwächung des Mittelbegriffs abgeschwächt (alles zusammen kann zerstört werden<-was meinter damit?). Weder ergibt ein weiteres Vergleichsfeld von selbst mehr Vergleiche, noch können mehr Vergleiche entstehen, außer durch Vermehrung der Anzahl der in diesem Feld verglichenen Dinge. Da der Schlußsatz offensichtlich nicht von mehr sprechen kann, als von dem, was in den Prämissen steht, kann kein Begriff dieses Schlußsatzes quantitativ vermehrt werden, solange dasselbe nicht in seiner Prämisse stattgefunden hat. Aber keine Verstärkung eines Satzes verstärkt beide Begriffe. Folglich muß, damit so etwas eine Wirkung zeigt (to make such a thing effective), der schließende und nicht der Mittelbegriff verstärkt werden.

Die folgende Tabelle ist nur eine Einfügung von Übungen. Die vierte Spalte zeigt die acht verstärkten eingeschränkten Syllogismen, wie ich sie einmal nennen will, die allgemeine Prämissen, aber nur einen eingeschränkten Schlußsatz (a particular conclusion) haben, der nicht stärker ist, als der, der aus dem eingeschränkten Syllogismus selbst abgeleitet werden könnte Nicht so bescheiden! De Morgan hat in der vierten Spalte alle acht Schlüsse mit nur einem einzige Schlußsatz gelöst, auch wenn er glaubt, daß sie das gleiche wären, wie die Schlüsse mit einer eingeschränkten Prämisse, die zwei Schlußsätze haben..

Änderung von nach entfernt und substituiert verstärkt aus auftretend in
D,D,D, DD,D, O’A,O’ A’A,I, I,A,I, C’D,C’
D’D’D’ D’DD’ A’O,O, A’I,I, D’C’C’
D,D,D, D,DD, A,O’O’ A,A’I’ I’A’I’ C,D’C,
D’D’D’ DD’D’ O,A’O, A,I’I’ D,C,C,
D,C,C, DC,C, O’E,I’ A’E,O, I,E,O, C’C,D’
D’C’C’ D’CC’ A’I,I, A’O,O, D’D’D’
D,C,C, D,CC, A,I’I’ A,E’O’ I’E’O’ C,C’D,
D’C’C’ DC’C’ O,E’I, A,O’O’ D,D,D,
C,D’C, CD’C, I’A’I’ E’A’O, I’A’O, D’D’D’
C’D,C’ C’DC’ E’O’I, E’I’O, C’C,D’
C,D’C, C,DC, E,O,I’ E,A,O’ O’A,O’ D,D,D,
C’D,C’ CD,C’ I,A,I, E,I,O’ C,C’D,
C,C’D, CC’D, I’E’O’ E’E’I, O,E’I, D’C’C’
C’C,D’ C’CD’ E’I’O, E’O’I, C’D,C’
C,C’D, C,CD, E,I,O’ E,E,I’ O’E,I’ D,C,C,
C’C,D’ CC,D’ I,E,O, E,O,I’ C,D’C,

Spalte 1 sind die oberen acht Schlüsse von Seite 78 bzw. die in der vorigen Tabelle Seite 89 links aufgestellten. Spalte 2 sind alle Schlüsse mit den Sätzen 1 und 2, die mit zwei "komplexen" Sätzen gebildet werden können (1a, 1b, 2a, 2b fehlen, weil de Morgan immer nur eine Prämisse der linken Spalte ändert), nämlich jeweils vier: 1c-1f, 2c-2f, 3a-6a, 3b-6b, macht 16 Stück. Spalte 3 zeigt, daß die Sätze 1 und 2 weniger Nebenbedeutungen als die Sätze 3-6 haben. Spalte 4 sind die 8 Schlüsse mit einem einzigen eingeschränkten Schlußsatz. Spalte 5 die Wiederholung von Spalte 3, lassen wir nicht als "Abschwächung" von Spalte 6, sondern nur als ganz normale Schlüsse durchgehen, weil aus einem Teil der Tiere in Spalte 5 nicht alle Tiere in Spalte 4 werden, auch wenn es sich noch so schön ausrechnen läßt. Spalte 6 ist wieder Spalte 1

Ich werde jetzt die negativ komplexen Syllogismen behandeln, kann aber versprechen, daß wir keine neuen Schlußsätze aus ihnen gewinnen werden Auf die Gefahr hin, mich zu wiederholen: Das sind die acht unteren Zeilen von Seite 78 bzw. die vierte Spalte der obigen Tabelle.. [92] Denn wir hatten alle 16 Fälle, in denen beide Prämissen allgemein sind. Und wir wissen, daß es keinen Syllogismus mit einer eingeschränkten Prämisse geben kann, es sei denn, sie hat eine allgemeine Prämisse als Gegenüber.

Nehmen wir D,D’:C’ oder A.+O’ und A’ + O,; zusammen verneinen sie E’+I, das heißt, sie verneinen die Koexistenz von E’ und I, das heißt, verneinen entweder E’ oder I, das heißt bejahen entweder I’ oder E,. Dieser Syllogismus kann also so geschrieben werden:

(A,+O’) (A’+O,) (entweder E, oder I’)

Nun ist es eine Tatsache, daß diese Disjunktion überflüssig ist; es ist I’ das immer bejaht wird, und E, ist niemals eine notwendige Folge von D,D’. Denn A,A’ ergibt I’, wie bereits gezeigt, und A,O, und O’A’ ergeben keinen Schlußsatz (und natürlich O’O’). Die Begründung der Schlußfolgerung ist folgendermaßen: Da X ein subidentical von Y ist und Y ein superidentical von Z, folgt, daß Y ein superidentical sowohl von X als auch von Z ist.

Die Größe des Mittelbegriffs ist also größer als die von X und Z. Und X und Z können in der größeren Mitte alle möglichen Verbindungen eingehen. Erst die Umwandlung beider Prämissen in ihre Äquivalente erzeugt eine eindeutige Größe:

Mit unserer durchgehenden Annahme, daß Y das Universum nicht ausfüllt, folgt, daß es Dinge gibt, die weder Xs noch Zs sind, nämlich alle, die nicht Ys sind. Weiter, in C,C,:C’ zeigt mit der gleichen Begründung, daß es nur C,C,I’ (-)X= + Y + Y=(-)Z (-)X=(-)Z Hier müssen wir nur die untere Prämisse in ihr Äquivalent umwandeln. Vgl. de Morgan’s Tabelle Seite78. . Keines der Xs oder der Zs ist in Y, dafür ist jeder Fall in Y beides, x und z. Und so wird der in jedem negativ komplexen Schlußsatz auftretende ganze Mittelbegriff oder sein ganzes Gegenteil alles sein, was im verstärkten eingeschränkten Syllogismus gefunden werden kann.

Unser Schluß ist, daß kein negativ komplexer Syllogismus irgend eine größere logische Auswirkung hat, als der aus ihm abgeleitete verstärkte eingeschränkte. Also können wir sagen, soweit die Größe und der Charakter des Schließens betroffen ist, ist der eine der andere.

Ich werde jetzt zu den allgemeinen Regeln des vollständigen Systems der Syllogismen übergehen.

Der Leser muß sich bemühen, zwei einander vollkommen gegenteilige Regeln zu behalten. Sie betreffen die Abhängigkeit der Akzente (oder Präpositionen) auf das Vorzeichen (bejahend oder negativ) der ersten Prämisse. Ich werde sie so kurz wie möglich erklären.

Direkte Regel. Bejahung (in der ersten Prämisse) verursacht Übereinstimmung der zweiten Prämisse mit beiden anderen Sätzen oder isoliert nichts. Negation bewirkt, daß sich die zweite Prämisse von beiden [93] anderen unterscheidet oder isoliert die zweite Prämisse. Inverse Regel. Bejahung isoliert die erste Prämisse, bewirkt, daß die erste Prämisse sich in der Präposition von beiden anderen Sätzen unterscheidet. Negation isoliert den Schlußsatz, bewirkt, daß sich der Schlußsatz von beiden anderen unterscheidet. Um ihre Gegensätzlichkeit zu verdeutlichen, können diese Regeln so ausgedrückt werden:

In der direkten Regel zeigt der bejahende Anfang gleiche Präpositionen
inversen ungleiche
in den beiden Prämissen, und der Schlußsatz der ersten Prämisse stimmt überein
unterscheidet sich von
seiner Präposition. Aber ein negativer Anfang zeigt gleiche Präpositionen
ungleiche

in den beiden Prämissen, und die Präposition des Schlußsatzes stimmt überein
unterscheidet sich von
der der ersten Prämisse.

Seite 107-108 in meinem Exemplar

Gegenstand der folgenden Regeln sind

1. Die acht komplex bejahenden Syllogismen.

2. Die acht allgemeinen einfachen Syllogismen

3. Die acht verstärkten eingeschränkten einfachen Syllogismen

4. Die 16 eingeschränkten einfachen Syllogismen

Die [acht] negativ komplexen Syllogismen können als völlig in der Nummer drei dieser Aufzählung enthalten weggelassen werden. Und die komplexen Syllogismen, die ein D oder C ohne Akzent enthalten, werden vorübergehend so behandelt, als hätten sie einen Akzent, der wieder gelöscht wird, wenn die Regel vollständig ist. Betrachten Sie D,DD’A,A’I,I’ (!) als [die Sätze] mit positivem Vorzeichen und C,CC’E,E’O,O’ als die mit negativem Vorzeichen.

Regel 1. Im komplexen Syllogismus sind alle Teile komplex, im allgemeinen einfachen Syllogismus sind alle Teile allgemein; in dem verstärkten eingeschränkten ist nur der Schlußsatz eingeschränkt; in dem eingeschränkten ist nur eine Prämisse allgemein.

Regel 2. Prämissen mit gleichem Vorzeichen haben einen positiven Schlußsatz, mit ungleichen Vorzeichen einen negativen.

Regel 3. Die komplexen, die allgemeinen, die einfachen, die mit einem eingeschränkten beginnen, folgen der direkten Regel. Die verstärkten eingeschränkten, die eingeschränkten, die mit einem allgemeinen beginnen (alle, die mit einem allgemeinen beginnen und auf einen eingeschränkten schließen,) folgen der inversen Regel. (Oder so: Alle, die gleich beginnen und enden, folgen der direkten Regel, die verschieden beginnen und enden, der inversen.)

Die komplexen und die allgemeinen Syllogismen kann man sich leicht [94] durch die Regeln einprägen, die eigeschränkten fast ebenso leicht. Die folgenden Unterregeln können dabei beachtet werden.

Unterregel 1. Erste und zweite Prämisse. A und O in der ersten Prämisse erfordern ungleiche Präpositionen in den beiden Prämissen. So muß A,O, nicht schlüssig sein, A,O’ muß schlüssig sein. Aber E,O, muß schlüssig sein, und E,O’ muß nicht schlüssig sein.

Unterregel 2. Erste Prämisse und Schlußsatz. Eine allgemeine erste Prämisse erfordert eine ungleiche Präposition im Schlußsatz; eine eingeschränkte erste Prämisse eine gleiche Präposition im Schlußsatz.

Unterregel 3. Zweite Prämisse und Schlußsatz. Jede zweite Prämisse erfordert ihre eigene Präposition in einem Schlußsatz mit dem gleichen Vorzeichen und die andere Präposition in einem Schlußsatz mit ungleichem Vorzeichen.

Soweit die vier Arten betrachtet werden, ist jeder Syllogismus gültig, der nach den drei Regeln gebildet wird. Und jeder nicht nach ihnen gebildete ist ungültig.

Ich gebe hier einmal alle bisher von de Morgan gefundenen und abgelehnten Schlüsse mit der Schlußtabelle aus der Größenlogik wieder (Spalte D bis PI’ ist XY, Reihe D bis PI’ ist YZ. Die nicht hervorgehobenen Schlußsätze hat de Morgan entweder bis jetzt noch nicht gefunden oder wird sie auch nicht finden). Die grünen und die kursiven (pdf:gelben) Schlüsse sind alle 32 Schlüsse ohne Satz 1 oder Satz 2, die sich ohne die Bildung von Nebenbedeutungen bilden lassen. Das heißt, die von de Morgan als nicht schlüssig bezeichneten roten, sind erst lösbar, wenn sie der Form nach auf einen von den grünen oder gelben zurückgeführt werden. Aristoteles bezeichnet diese Schlüsse als "unvollkommen", löst aber einige von ihnen. De Morgan’s Tabelle ist also vollständig und nicht vollständig zugleich. Oder meine Tabelle behandelt einige Schlüsse doppelt, je nach Standpunkt. Man kann sagen, die nicht aufgeführten Schlüsse mit den Sätzen 1 und 2 sind so selbstverständlich, daß es nicht nötig ist, sie aufzuführen. Da aber DDD die Grundlage der Logik ist und der Mathematik sein wird, die das Ganze und den Teil in ihren Wortschatz aufgenommen haben wird, und um der Vollständigkeit willen, sollte man das nicht tun.
D C C’E’ D’A’ D,A, C,E, PI, PO, PO’ PI’
+ + + - (+) - (+) + + (+) + (-) (+)(+) (+)(-) (-)(+) (-)(-)
D + + + + + - (+) - (+) + + (+) + (-) (+)(+) (+)(-) (-)(+) (-)(-)
(+)(+) (+)(-) (+)(+) (+)(+) (+)(+) (+)(-) (+)(-) (+)(+) (+)(+) (+)(+)
(-)(-) (-)(+) (+)(-) (+)(-) (-)(+) (-)(+) (-)(+) (-)(+) (+)(-) (+)(-)
(-)(+) (-)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(+)
C + - + - + + (+) + (+) - + (-) + (+) (+)(-) (+)(+) (-)(-) (-)(+)
(+)(-) (+)(+) (+)(+) (+)(+) (+)(-) (+)(+) (+)(+) (+)(-) (+)(+) (+)(+)
(-)(+) (-)(-) (+)(-) (+)(-) (-)(+) (-)(+) (-)(+) (-)(+) (+)(-) (+)(-)
(-)(-) (-)(+) (-)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(+) (-)(-)
C’E’(+) - (+) - + (+) (+)(+) (+) - (-)(+) + (+) (+)(+) (+)(+) (+)(+) (+)(+)
(+)(+) (+)(+) (+)(+) (+)(+) (-)(+) (-)(+) (-)(+) (-)(+)
(+)(-) (-)(+) (+)(-) (-)(+)
(-)(+) (-)(-) (-)(+) (-)(-)
D’A’(+) + (+) + + (-) (+)(-) (+) + (-)(-) + (-) (+)(-) (+)(-) (+)(-) (+)(-)
(+)(+) (+)(-) (+)(+) (+)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(-)
(+)(-) (-)(+) (+)(-) (-)(+)
(-)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(-)
D,A,+ (+) + (+) (+) - (+) - (+)(+) + (+) (-)(+) (+)(+) (+)(+) (+)(+) (+)(+)
(+)(+) (+)(+) (+)(+) (+)(+) (-)(+) (-)(+) (-)(+) (-)(+)
(-)(+) (+)(-) (+)(-) (-)(+)
(-)(-) (-)(+) (-)(+) (-)(-)
C,E,+ (-) + (-) (+) + (+) + (+)(-) + (-) (-)(-) (+)(-) (+)(-) (+)(-) (+)(-)
(+)(-) (+)(+) (+)(+) (+)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(-)
(-)(+) (+)(-) (+)(-) (-)(+)
(-)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(-)
PI,(+)(+) (+)(+) (-)(+) (+)(+) (+)(+) (-)(+) (-)(+)
(+)(-) (+)(+) (+)(-) (+)(-) (-)(-) (-)(-)
(-)(+) (+)(-)
(-)(-) (-)(-) ROT: de Morgan: inconclusive
GRÜN: S. 78, 89
PO,(+)(-) (+)(-) (-)(-) (+)(+) (+)(+) (-)(+) (-)(+) BLAU: S. 91, Spalte 2 (pdf: TÜRKIS)
(+)(+) (+)(+) (+)(-) (+)(-) (-)(-) (-)(-) KURSIV: S. 78, 91 Spalte 4 (pdf: GELB)
(-)(+) (+)(-)
(-)(-) (-)(+)
PO’(-)(+) (-)(+) (+)(+) (+)(+) (+)(+) (-)(+) (-)(+)
(+)(+) (+)(-) (+)(-) (+)(-) (-)(-) (-)(-)
(+)(-) (-)(+)
(-)(-) (-)(-)
PI’(-)(-) (-)(-) (+)(-) (+)(+) (+)(+) (-)(+) (-)(+)
(+)(+) (+)(+) (+)(-) (+)(-) (-)(-) (-)(-)
(+)(-) (-)(+)
(-)(+) (-)(-)

Die folgenden Anmerkungen sind teilweise Wiederholung, teilweise neu (S.108-110 in meinem Expl.).

Anmerkung 1. Jeder komplexe Syllogismus ergibt einen allgemeinen Syllogismus "Syllogismus", dem nicht "komplex" vorangestellt ist, bedeutet einfacher Syllogismus. und zwei eingeschränkte, seine concomitants Zwei Herleitungen einer Nebenbedeutung.. Und die concomitants werden gebildet, indem die eine Prämisse und der Schlußsatz aus ihrer allgemeinen Form in ihr eingeschränktes concomitant umgewandelt werden (Seite 63 ).

Anmerkung 2. Jeder Syllogismus hat sein contranominal, das von den Gegenteilen das gleiche bejaht, wie er selbst von den direkten Begriffen; und alle contranominals haben alle ihre Akzente unterschiedlich, wie in O’A,O’ und O,A’O.

Anmerkung 3. Jeder Syllogismus hat zwei Gegenüber, die durch die Vertauschung der Gegenteile von einer Prämisse und des Schlußsatzes erzeugt werden und durch Änderung des Akzents in der übrigbleibenden Prämisse, sofern sie inkonvertibel ist (A oder O).

Anmerkung 4. Jeder komplexe Syllogismus hat zwei solche Gegenüber, die auf die gleiche Weise gebildet werden, mit den Ds als Inkonvertiblen und den Cs als Konvertiblen. So werden, wenn (:) Verneinung von bedeutet, C,D’C, zu C,:C,:D’ und :C,D,:C,. Der erste von diesen ist

(E,+I’)(I, oder E’)(O’ oder A,)

und enthält die gültigen Syllogismen E,E’A, E,I,O’ I’E’O’ was [95] E,E’A, und seine concomitants sind. Und :C,D,:C, ergibt E’A,E’ (das contranominal von E,A’E,) und seine concomitants. Und so der Rest.

Anmerkung 5. Jeder allgemeine Syllogismus hat zwei abgeschwächte Formen, die durch Abschwächung einer Prämisse und des Schlußsatzes hergestellt werden. Wenn die erste Prämisse abgeschächt wird, ändert sich die Präposition nicht, aber wenn die zweite, dann ändert sie sich. So sind die abgeschwächten Formen von E,A’E, zum einen O,A’O, und E,I,O’.

Anmerkung 6. Jeder eingeschränkte Syllogismus hat zwei verstärkte Formen, von denen einer allgemein ist, der andere nur ein verstärkter eingeschränkter. So sind die verstärkten Formen von O,A’O, einmal E,A’E, und E’A’O, .

Anmerkung 7. In jedem Syllogismus mit Ausnahme des verstärkten eingeschränkten ist der Mittelbegriff in der einen Prämisse allgemein und in der anderen eingeschränkt; und das gleiche gilt daher für sein Gegenteil. Aber im verstärkten eingeschränkten ist der Mittelbegriff in beiden Prämissen allgemein oder in beiden eingeschränkt Einen Schluß mit "zwei" eingeschränkten Y gibt es nicht. Der Mittelbegriff muß immer in wenigstens einer Prämisse allgemein sein und ist in den acht immer in beiden allgemein. Zwar kommt es oft vor, daß in den Ausgangsprämissen "beide" Y eingeschränkt sind, etwa A,A’ der Schluß kann aber erst gezogen werden, wenn wie hier beide Prämissen in ihre Äquivalente verwandelt werden: (-)X=-Y, -Y=(-)Z. Entweder hat de Morgan sich hier versprochen, oder er meint damit nicht schlüssige Formen..

Das ergibt ein komplettes Kriterium des Syllogismus und wird später untersucht werden.Tasächlich wird die Vollständigkeit dieses Systems uns mit Regeln überhäufen, aus denen viele allgemeine Regeln abgeleitet werden können, obwohl sie hier nur als flüchtige Bemerkung zu erscheinen brauchen.

In O’A,O’ A’O,O, I,A,I, E,O,I’ O’E,I’ A’I,I, I,E,O, E,I,O’ geht der Mittelbegriff im allgemeinen Satz allgemein und eingeschränkt im eingeschränkten ein. In allen anderen geht er eingeschränkt im allgemeinen und allgemein im eingeschränkten (!) ein. In diesem ersten Set sind alle konvertiblen Prämissen subs, die inkonvertiblen sind subs in der zweiten Prämisse und supers in der ersten. Im zweiten Set werden diese Regeln umgekehrt.

Anmerkung 8. Von den zwölf möglichen Prämissenpaaren AA, AE, AI, AO, EA, EE, EI, EO, IA, IE, OA, OE, die einen Schlußsatz ergeben können, wird jedes einzelne durch Umkehrung seiner Akzente auf zwei Arten einen Schluß ergeben. So erscheint EO in E’O’I, und E,O,I’. Die zwei Prämissen-Buchstaben und ein Akzent diktieren den ganzen Rest: So kann I’A zu nichts anderem als I’A’I’ gehören. Wenn das System gut eingeübt ist, wird man es nicht nötig finden, mehr als I’A für das Symbol I’A’I’ zu schreiben. Ich spreche jetzt nur von den grundlegenden Syllogismen, der verstärkte Syllogismus A,A’I’ kann als A’A’ gekennzeichnet werden.

Anmerkung 9. Die Syllogismen der ersten drei Klassen sind alle nur [96] Muster von nur einem von ihnen in den acht Variationen XYZ, xYZ, XYz, xYz, XyZ, xyZ, Xyz, xyz. Die Regeln, diese Änderungen herzuleiten, sind

Änderung des Subjekts ist Änderung von Akzent und Buchstabe.

Änderung des Prädikats ist Änderung von Buchstabe. Änderung von beiden ist Änderung von Akzent.

Um also von E’E,A’ nach A,E,E, überzugehen, notieren wir in XY die Änderung des Subjekts, in YZ keine Änderung und in XZ die Änderung des Subjekts. Daher ist xYZ das Begriffsset, in das XYZ geändert werden muß. Und der E’E,A’-Syllogismus mit beiden Sets ist entweder der A,E,E, oder der andere.

Diese Umformungen, an deren Anfang und Ende stets zwei völlig verschiedene Syllogismen stehen, sind, wie bereits mehrfach gesagt, durch "zweimal falsch ist wahr", Multiplikation einer Gleichung auf nur einer Seite und ähnliche Regeln erkauft, die keine Rücksicht auf die Wahrheit der Sätze vorher und nachher nehmen. Es kommen zwar stets formal richtige Schlüsse heraus, aber mit dieser Logik kann man nur die Logik um ihrer selbst willen betreiben. Die inhaltliche Wahrheit darf bei diesen Umformungen keine Rolle spielen, weil jede rechnerisch scheinbar erlaubte Umformung inhaltlichen Unsinn erzeugt. Dagegen verdient die folgende Ausführung unsere Aufmerksamkeit, wenn wir es sowohl formal als auch inhaltlich mit der Wahrheit halten. Spiegelung

Die 24 Syllogismen, die 24 in Bezug auf die Reihenfolge XY, YZ, XZ sind, sind nur zwölf, wenn die Reihenfolge ZY, YX, ZX erlaubt wird. So ist A,I’I’ in der ersten [Reihenfolge] der I’A’I’ in der zweiten. Die beiden Syllogismen sind in ihrer Schlußweise wesentlich dieselben. Um einen Syllogismus in einen anderen mit derselben Schlußweise umzuwandeln, vertauschen Sie die Prämissen und ändern Sie die Präposition aller Inkonvertiblen. So sind A’O,O, und O’A,O’ von derselben Schlußweise. Die Paare, die aus dieser Sicht identisch sind, sind:

A,A,A, = A’A’A’ E’A,E’ = A’E’E’ E,A’E, = A,E,E, E’E,A’ = E,E’A,
O’A,O’ = A’O,O, I,A,I, = A’I,I, I’A’I’ = A,I’I’ I,E,O, = E,I,O’
A,O’O’ = O,A’O, E’O’I, = O,E’I, E,O,I’ = O’E,I’ E’I’O, = I’E’O’

ist der absatz von mir?: Die vertauschten Formen der verstärkten Syllogismen wurden ausgelassen. Von diesen sind vier Vertauschungen ihrer selbst, nämlich A,A’I’ A’A,I, E’E’I, und E,E,I’. Bei den anderen sind A,E’O’ und E’A’O, Vertauschungen, und genauso A’E,O, und E,A,O’.

Die "Spiegelung", die die Reihenfolge XYZ in ZXY vertauscht, gilt für alle Schlüsse mit allen Schlußsätzen. Die Spiegelung findet an der Achse D/D bis C,E,/C,E, in der nachstehenden Tabelle statt. Jedes Paar gleichweit von der Achse entfernte Syllogismen spiegelt sich. Die Achse spiegelt sich an sich selbst, wie man an den gleichen Vorzeichen der Schlußsätze sieht. Beachten Sie, daß die Reihen (+)+ und +(+) sowie die Reihen (+)(-) und (‐)(+) wegen der Symmetrie vertauscht werden mußten. So ergibt der gespiegelte 8d: O,A’ den 5i: A,O’ (vgl. Seite 80).

[de Morgan noch S. 96] Die neunte Anmerkung kann beträchtlich erweitert werden. Das ‚einige[etwas]’ eines logischen Satzes kann in einigen Fällen einen definiteren Charkter haben als in anderen. Es kann ein ausgewähltes oder wenigstens unterscheidbares Etwas sein [a distinguishable some], dem nichts außer der sprachlichen Distinktion fehlt, um aus einem eingeschränkten Satz leicht und nutzbringend einen allgemeinen zu machen. Ob das mehr oder weniger leicht und mehr oder weniger nützlich gemacht werden kann, ist keine Frage der formalen Logik. Vorausgesetzt, es wird getan, so wird ein eingeschränkter Satz in einen allgemeinen konvertiert. Wenn wir in "Einige Xs sind Ys" einen Namen für jedes X machen, das Y ist, sage M, so haben wir dann "Jedes M ist Y". Dieser Satz kann rein identisch sein oder auch nicht. Wenn wir jedes X, das Y ist, mit dem Namen M bezeichnen, nur, weil es Y ist, dann ist unser allgemeiner Satz nur "Jedes X, das Y ist, ist Y". Aber wenn sich der Name M aus einem anderen Umstand herleitet, der die Xs, die Ys sind, von den anderen Xs unterscheidet, dann bedeutet die Umwandlung eines eingeschränkten in einen allgemeinen Satz [97] durch die neue Einschränkung, die durch den neuen Namen auferlegt wurde, den Ausdruck neuen Wissens (?).

Die Größen im Schlußsatz sind von zweierlei Art. Da gibt es die, die durch die Begriffe eingebracht werden und die im Schlußsatz fortdauern, so wie sie in die in den Prämissen eingeführt wurden. Und es gibt jene, die von der Vereinigung der Prämissen abhängen und die nur virtuell das sind, was sie sind, bis die Prämissen vereint worden sind. Zum Beispiel haben wir in I,A,I,: "Einige Xs sind Ys, aber jedes Y ist Z, daher: einige Xs sind Zs". Wenn wir fragen, welche Xs sind Zs, dann ist die Antwort, die, die Ys sind und keine anderen, soweit dieser Schlußsatz bejahend ist [so far as this conclusion affirms] Beide Schlüsse haben I, und O’ als Schlußsätze (wobei der eingeschänkte Satz stets der "komplexe" P ist). Und beide haben fast vollkommen die gleiche Struktur: Satz 7 bzw. Satz 9 beide mit den drei anderen eingeschränkten Nebenbedeutungen und Satz 5 als zweite Prämisse., und wenn wir fragen, welche Zs sind nicht Xs, dann ist die Antwort, daß diese Größe nicht mit Z eingeht, sondern von der anderen Prämisse abhängt, nämlich von der Anzahl der Ys, die nicht Xs sind. In einem eingeschränkten Syllogismus wollen wir die Quantität des Subjekts im Schlußsatz innerlich (intrinsic) oder äußerlich (extrinsic) nennen, je nachdem, ob sie von der Prämisse kommt, die das Subjekt einführt oder von der anderen Prämisse. Die Untersuchung wird zeigen, daß in jedem eingeschränkten Syllogismus, der I, oder I’ schließt, bei denen beide Begriffe eingeschränkt sind, die Größe der Begriffe beim einen intrinsic und beim andern extrinsic sind. Wenn aber der Schlußsatz O, oder O’ ist, dann ist entweder die Größe des Subjekts intrinsic und die des Gegenteils des Prädikats extrinsic oder umgekehrt.

Wenn die Größe eines bestimmten Begriffs im Schlußsatz intrinsic ist, dann wird die Erfindung eines Namens den Syllogismus in einen allgemeinen verwandeln. So bei I,A,I, [Tippfehler im Text: I,A,A,] oder XY+Y)Z=XZ; wird M als der Repräsentant aller Xs genommen, die Ys sind und sonst nichts, ergibt sich M)Y+Y)Z=M)Y in der Form von A,A,A,. Weiter, O’A,O’ oder Y:X+Y)Z=Z:X, in die Form x:y+z)y=x:z geworfen, wird m.y+z)y=m.z Hier gebraucht de Morgan zum ersten Mal ausdrücklich einen Äquivalentsatz im Schluß (3e): (+)M= - Y (-)Y= - Z (+)M= - Z in der Form von E,A,E, wenn die xs, die ys sind, von dem Rest des Universums durch den Namen m unterschieden sind. Es ist nichts illegitimes oder ungewöhnliches dabei, einen besonderen Namen als ein bestimmtes Etwas (oder sogar ein unbestimmtes Etwas, wenn sicher ist, daß es immer dasselbe Etwas ist) von einem anderen Namen zu unterscheiden. Weiter, da wir wissen, daß jeder allgemeine Schluß durch den Gebrauch der Gegenteile auf die Form A,A,A, reduzierbar ist, haben wir nun Grund zu der Annahme, daß es keine andere in diesem Kapitel behandelte grundlegende Schlußweise gibt, die anders ist als A,A,A, oder, das Enthaltene [98] des Enthaltenen ist enthalten Ein Teil des Teils ist ein Teil. Aber nicht X<Y<Z, hier: +X=(+)Y=(+)Z ist die Grundlage der Logik, sondern +X=+Y=+Z. Der guten, alten Barbara und der auf dem Fuß gefolgten Schwester Celarent wollen wir die Ruhe gönnen, die sie verdienen.. Und es gibt keine bessere Übung, als ohne den Gebrauch von Regeln, allein durch die Wahrnehmung jeden allgemeinen und eingeschränkten Syllogismus einfach abzulesen. Nehmen Sie zum Beispiel X:Y+y.z=XZ. Was ist das Enthaltende, und was ist das Enthaltene, und was ist das mittlere Enthaltende des einen und das Enthaltene des Anderen? Es ist ein Paket Xs, das in y enthalten ist, alle ys in Z, und daher ist dieses Paket Xs in Z.

Dieses allgemeine Prinzip legt eine Notation für alle komplexen, allgemeinen und grundlegenden eingeschränkten Syllogismen nahe. Wenn wir X)Y+Y)Z=X)Z nach XYZ) abkürzen, und wenn wir durch XYZ ohne ) kennzeichnen, daß es nur ein Paket Xs ist (alle oder einige, definiert oder undefiniert, aber immer dasselbe), dann erhalten wir folgendes:

Für A,A,A, lies XYZ) oder zyx) Für A’A’A’ lies xyz) oder ZYX)
" O’A,O’ " xYZ " O,A’O, " Xyz Test2
" A,O’O’ " Zyx Test1 " A’O,O, " zYX
Für E’A,E’ lies xYZ) oder zyX) Für E,A’E, lies Xyz) oder ZYx)
" I,A,I, " XYZ " I’A’I’ " xyz
" E’O’I, " ZyX " E,O,I’ " zYx
Für A,E,E, lies Xyz) oder Zyx) Für A’E’E’ lies xyZ) oder zYX)
" O’E,O’ " xYz " O,E’I, " XyZ
" A,I’I’ " zyx Test3 " A’I,I, " ZYX
Für E’E,A’ lies xYz) oder ZyX) Für E,E’A, lies XyZ) oder zYx
" I,E,O, " XYz " I’E’O’ " xyZ Test4
" E’I’O, " zyX " E,I,O’ " ZYx

Test 1-4 Testen wir vier Fälle in der Größenlogik-Notation in XYZ-Schreibweise und finden heraus, wie die AEIO-Schreibweise dazu lautet. Voraussetzung ist nur, daß bei den eingeschränkten Syllogismen der eingeschränkte Satz zuerst kommt, "Zy" in Test1 ist also ein eingeschränkter Satz mit positivem Z und negativem Y und "yz" ein allgemeiner Satz mit negativen Y und Z.
1: Zyx 2: xyz) 3: zyx 4: xyZ
(+)Z=(-)Y - X=(-)Y (-)Z=(-)Y (-)X=(-)Y
- Y=(-)X - Y=(-)Z - Y=(-)X - Y=(+)Z
(+)Z=(-)X - X=(-)Z (-)Z=(-)X (-)X=(+)Z
Die AEIO-Benennung wird immer in der Reihenfolge XYZ gedacht. – Y=(-)X im ersten und dritten Beispiel ist also als (-)X= - Y und damit + X=(+)Y zu denken. Das heißt, also als erste Prämisse A,. A,O’O’ A’A’A’ A,I’I’ I’E’O’ Alle vier stimmen. Die Frage nach dem Sinn der AEIO-Notation stellen wir nicht.

Wenn wir hier P, Q, R als allgemeine Begriffe benutzen, wobei PQR) bedeutet, daß alle Ps Qs sind und alle Qs Rs sind, währen PQR nur bedeutet, daß es ein Paket Ps unter den Qs gibt und daß alle Qs unter den Rs sind, woraus folgt, daß das Paket Ps unter den Rs ist.

Die Regeln, diese Systeme zu verbinden, sind nicht kompliziert, wenn man die Größe (extent), die diese Fälle einschließen sollen, beachtet.Die Buchstaben A, E usw. seien proponents (Befürworter) genannt; X, Y, Z Symbole (nominals), und mit der Reihenfolge der nominals meinen wir immer, daß X zuerst kommt usw., sowohl in XYZ als auch in ZYX. Sind die Symbole direkt (X, Y, Z) und gegenteilig (x, y, z), dann denken Sie daran, daß erstens:

[99]

erste erste und zweite
Eine bejahende zweite proponent bedeutet, daß die zweite und dritte
dritte dritte und erste

nominals übereinstimmen (und beide direkt oder beide gegenteilig sind).

erste erste und zweite
Eine verneinende zweite proponent bedeutet, daß die zweite und dritte
dritte dritte und erste

nominals sich voneinander unterscheiden (eine ist direkt, eine gegenteilig).

EIO EIO muß also Xyz ergeben oder xYZ oder zyX oder ZYx
IEO muß also XYz ergeben oder yxZ oder zYX oder Zyx

Zweitens, ob der Mittelbegriff Y oder y ist, hängt nur von dem Akzent des mittleren proponent ab: Ein sub-Akzent ergibt Y, ein super-Akzent ergibt y. In einem allgemeinen Syllogismus jedoch ergeben beide beide.

Drittens, die XYZ-Syllogismen dind die eingeschränkten, die mit einer eingeschränkten Prämisse beginnen, und die ZYX-Syllogismen sind die eingeschränkten, die mit einer allgemeinen Prämisse beginnen.

Es sei zum Beispiel O,E’I, gefordert. Sie sehen das eingeschränkte O, am Anfang und nehmen daher die Reihenfolge XYZ, Sie sehen den Superakzent in E’ was XyZ ergibt. Sie sehen das negative O, was den Unterschied zwischen der ersten und zweiten Symbol bestehen läßt; und das gleiche gilt für die zweite und dritte des negative E. Folglich ist XyZ der Syllogismus in Symbolen ausgedrückt. Oder die Begründung der Schlußfolgerung O,E’I, ist, daß es ein Paket Xs unter den Zs gibt, weil es unter den ys ist, die alle unter den Zs sind Ich will auch hier de Morgan’s AEIO- und XYZ-Regeln nicht kommentieren, sondern stelle ihnen einfach hin und wieder die größenlogische Darstellung zur Seite, zumal gerade bei diesem Beispiel die beiden letzten Nebensätze de Morgan’s eine perfekte größenlogische Beschreibung des Schlusses wiedergeben..

Weiter sei der symbolische Modus, E’I’O, auszudrücken. Wenn Sie die allgemeine Prämisse E am Anfang sehen, schreiben Sie ZYX auf, wegen des Superakzent in I’; schreiben Sie ZyX wegen der Negation in E’; fahren Sie mit yX fort wegen der Bejahung in I’: Folglich ist zyX die symbolische Form für E’I’O,.

[100] Es sei der proponent Modus von xYz gefordert. Hier zeigen uns xY und Yz, daß die Prämissen negativ sind und die Reihenfolge x, Y, z, daß die erste Prämisse eingeschränkt ist. Dann sind OE die Prämissen und I der Schlußsatz. Und Y sagt uns, daß der mittlere proponent einen Subakzent hat. Weshalb soweit OE,I der proponent Ausdruck ist. Und wegen der Gesetze der Form müssen die anderen Akzenze O’E,I’ sein, weil der Syllogismus der direkten Regel (Seite 93) folgt.

Gesucht sei der proponent-Modus von ZYx. Hier bemerken wir aufeinanderfolgend allgemeinen Beginn, erste Prämisse negativ, zweite positiv, mittlerer Akzent sub. Das ergibt EI,O.

Gesucht sei die proponent-Notation des allgemeinen xYZ) oder zyX). Wir erkennen sofort EA,E oder E’A,E’.

Die concomitants eines allgemeinen Schlusses werden gefunden, indem man das erste Symbol in sein Gegenteil verkehrt und bei allen Sätzen das Zeichen der Allgemeinheit [)] wegläßt. So sind die concomitants von XyZ) oder zYx xyZ und ZYx.

Die abgeschwächten Formen eines allgemeinen Schlusses werden einfach gefunden, indem man das Zeichen der Allgemeinheit bei den beiden Formen des allgemeinen Schlusses [)] wegläßt. So sind die abgeschwächten Formen von XYZ) oder zyx) XYZ und zyx.

PRÜF DEN FOLGENDEN ABSATZ GENAU

Aber wir haben noch nicht den Höhepunkt der Einfachheit der symbolischen Repräsentation der Syllogismen erreicht.(A!) Ein Algebraiker würde sagen, daß die bisher untersuchte Schlußstruktur nicht von den Namen, sondern allein von ihrem Bezug auf die Namen in der grundlegenden Form XYZ) abhängt. Er würde daher ein einfaches Symbol vorschlagen, das alleinstehend (such was besseres: letting alone) und ein anderes, das Umwandlung ins Gegenteil repräsentiert. Es sollen 0 und 1 alleinstehend und Umwandlung ins Gegenteil bedeuten, die anschließende Klammer wie bisher vollständige Allgemeinheit, und die Vertauschung der Reihenfolge sei durch ein vorangestelltes negatives Vorzeichen gekennzeichnet. So würden XYZ oder I,A,I, durch 000 gekennzeichnet; Zyx oder A,O’O’ durch –011; A,E,E, oder XYz) durch 001) oder sein Äquivalent –011). So sagt uns –011, daß einige Zs ys sind und daß alle ys xs sind, woraus folgt, daß einige Zs xs sind. Um ihn in die proponent-Form zu bringen, beachten Sie, daß "–" uns zuerst anweist, einen allgemeinen Satz zu schreiben, 11, ihn zu bejahen, 1 in der Mitte, den mittleren Satz mit einem Superakzent zu versehen und 01, die zweite Prämisse negativ zu machen. Wir haben dann A,O’O’ oder X)Y+Z:Y=Z:X, was Zy+y)x=Zx ist, wie behauptet.

Alles eben Gesagte, was sich auf die allgemeinen Syllogismen bezieht, läßt sich auch auf die komplexen Syllogismen anwenden. Ein Klammernpaar impliziere einen komplexen Syllogismus. So kann D,D,D, entweder (XYZ) oder (000) sein. Dann sehen wir in (010) oder (XyZ), daß X ein subidentical von y ist und y eines von Z, weshalb X dasselbe von Z ist. Aber Xy und yZ warnen uns, [101] für die erste und zweite Prämisse Gegenteile zu schreiben und den mittleren Buchstaben mit einem Superakzent zu versehen. Daher ist C,C’D, der durch die Namen XYZ ausgedrückte Syllogismus. Die äquivalenten Formen – (101) und (zYx) drücken das aus, indem sie sagen, daß z ein subidentical von Y und Y eines vonx ist, weshalb z ein subidentical von x ist.

Ich komme jetzt zu den verstärkten eingeschränkten Syllogismen. Jede grundlegende Schlußfolgerung, das bedeutet, die aus nichts Schwächerem folgt, als in den Prämissen vorgegeben ist, kann auf den einen einfachen Fall reduziert werden, daß "das Enthaltene des Enthaltenen enthalten" ist. Der verstärkte eingeschränkte A’A,I, gehorcht der inversen Bildungsregel. In seiner längeren Form kann er als Y)X+Y)Z=XZ geschrieben werden und so ausgedrückt werden, daß "alle Namen in dem übereinstimmen, was sie gemeinsam enthalten". Wenn wir diesen verstärkten Syllogismus mit XYZ| kennzeichnen, einem Symbol, das etwas zwischen der in XYZ und in XYZ) eingeführten Betrag der Größen andeuten soll [something between XYZ and XYZ) in the amounts of quantity introduced], dann finden wir, daß die acht verstärkten Syllogismen repräsentiert werden müssen durch

A’A,I, = XYZ| A,A’I’ = xyz|
A’E,O, = XYz| A,E’O’ = xyZ|
E’A’O, = Xyz| E,A,O’ = xYZ|
E’E’I, = XyZ| E,E,I’ = xYz|

Lesen Sie die Symbole der verstärkten Syllogismen so, daß beide Prämissen vom Mittelbegriff her beginnen. Xyz| ist so y)X+y)z=Xz.

Die Verbindungsregeln sind exakt dieselben wie für die eingeschränkten Syllogismen, und die Vertauschung ist vollkommen wirkungslos. So ist XYZ|=ZYX|.

Einige Worte sind sicher nützlich, um die gemischt komplexen Syllogismen zu erledigen; in ihnen wird eine komplexe mit einer einfachen Prämisse kombiniert. Erstens, wenn eine komplexe und eine allgemeine Prämisse gesetzt werden und die Vorzeichen und Akzente der direkten Regel (Seite 93) folgen, dann ist der Schlußsatz so, als ob das A nach D oder das E nach C verstärkt würde. E,D’ ergibt so C, das gleiche wie C, Es ist ein und derselbe Schluß.D’. Denn E, ist C oder C, und sowohl CD’ als auch C,D’ ergeben C, aber mit verschiedenen Quantitäten In 2d ist –Y und in 6d ist (-)Y die Größe des Schlußsatzes.. Werden aber die Prämissen nach der inversen Regel konstruiert, dann kann nicht mehr Schlüssigkeit erlangt werden, als wenn die komplexe Prämisse in eine allgemeine abgeschwächt wird. Oder wir haben nur einen verstärkten eingeschränkten Schluß. Bei D,E’ oder (A,+O’)E’ ergibt A,O’ den verstärkten eingeschränkten A,E’O’, und O’E’ ist nicht schlüssig. Und wenn die komplexe Prämisse mit einer eingeschränkten kombiniert wird, dann haben wir nur, was folgen würde, wenn die komplexe in eine allgemeine abgeschwächt würde Alle Schlüsse mit komplexen Schlüssen, sind also mit allgemeinen Sätzen genauso, als ob es den komplexen Satz gar nicht gäbe. Das nenne ich aristotelische Manier: den Gedanken zu Ende denken, auch wenn er nicht in das selbst geschaffene Muster paßt.<-blöd?. So kann D,I’ oder [102] (A,+O’)I’ nur A,I’I’ ergeben; und D’I’ oder (A’+O,)I’ ergibt keinen Schlußsatz, weil A’I’ nicht schlüssig ist Ich hätte noch ein oder zwei Worte über die Schlüsse sagen können, in denen eine komplex eingeschränkte mit einer allgemeinen Prämisse gebildet würde. Es wird aber eine leichte Übung für den Leser sein, die Ergebnisse herauszufinden..

Die Einteilung in entgegengesetzte Formen kann folgendermaßen behandelt werden. Wir wissen, entgegengesetzten Formen von AEE, etwa A,E,E, und A’E’E’ müssen IEO und AII sein. Ob nun A,E,E, den I,E,O, oder den E,I,O’ <-sollndas haben soll, ob den A’I,I, oder den I,A,I, hängt davon ab, ob wir einen neuen und beliebigen Begriff der Reihenfolge einführen. Ist unser erster Syllogismus durch XY, YZ, XZ beschrieben, dann ist sein Gegenüber, der auf den Gegesatz (contradiction) der ersten Prämisse hinausläuft, XZ, YZ, XY, der, wenn Z in der Mitte bleiben soll, entweder als XZ, ZY, XY oder als YZ, ZX, YX beschrieben wird. Nehmen wir nun die erste der drei Reihenfolgen, so gibt es nichts, was uns zwingt, die zweite der dritten vorzuziehen oder umgekehrt.

Die Auswirkung der Vertauschung von Z und X ist folgende. Die Prämissen tauschen die Plätze; A und O ändern ihre Akzente sowohl in den Prämissen als auch im Schlußsatz, E und I behalten ihren Akzent. Aus A,I’I’ wird so I’A’I’; E’O’I, wird O,E’I, [vgl. den Abschnitt über die ]. Folglich liegt es an der neuen Anordnung, ob zum Beispiel I,E,O, oder E,I,O’ die Gegensätze von A,E,E, genannt werden sollen. Ich ziehe es vor, beiden diesen Namen zu geben. Die Folge ist die nachstehende Verteilung der Gegensätze:

AA AO OA AE EA AI IA EI IE
EE EO UE

Die drei Gruppen repräsentieren Prämissenkombinationen: Die beiden ersten enthalten je sechs Syllogismen, die dritte zwölf. Die dritte muß in je zwei Gruppen von sechs geteilt werden, wobei in der einen mehr Subakzente und in der anderen mehr Superakzente sind. So sind es also vier Gruppen. Nehmen Sie nun zwei Paare aus einer Gruppe, die sich nur in der Reihenfolge unterscheiden. Diese beiden haben dann dieselben gegensätzlichen Formen, nämlich die vier anderen der Gruppe. Zum Beispiel A’I,I, und I,A,I, in denen die Subakzente überwiegen. Nehmen Sie AE, EA, EI, IE und vervollständigen Sie die Syllogismen, so, daß die Subakzente vorwiegen. Das ergibt A,E,E, E,A’E, E,I,O’ I,E,O,. Die vier sind die Gegesätze der beiden ersten.

In der Gruppe der verstärkten eingeschränkten stellen sich die gegensätzlichen Formen als abgeschwächte allgemeine heraus, die [103] im Schlußsatz abgeschwächt sind, ohne es in den Prämissen zu sein. So hat A,A’I’ als einen seiner Gegensätze A’E’O’. Aber A’E’ kann den allgemeinen Schlußsatz E’ hervorbringen, genauso wie den schwächeren O’.

Einigen Leser, besonders denen, die ein wenig in der Algebra bewandert sind, ist mit einer symbolischen Notation mehr geholfen als durch die Sprache, während es bei anderen gerade umgekehrt ist. Diese Leser seien darauf hingewiesen, daß die Sprache von Seite 78 leicht auf die einfachen Syllogismen angewandt werden kann. So wenn A, die Subaffirmation ist, kann I, etwas Subaffirmation [some affirmation] sein, O’ kann etwas Superaffirmation sein, und so weiter. So können wir anstelle von E’I’O, sagen, daß die "Supernegation von etwas Superaffirmation etwas Subnegation ergibt" Besser konnte de Morgan nicht vor Augen führen, daß das Festhalten an dem Barbara-Quatsch nur zu weiteren Peinlichkeiten führt, selbst bei jemandem, der die Logik von Grund auf erneuert hat. Nein, sowohl die Symbolik muß geändert werden, als auch die Sprache der Logik, die die Sprache der Sprechenden, nämlich der Menschen ist! Die darauf aufbauende Symbolik, Algorithmik usw. bedarf dann keiner umständlichen Rechtfertigungen, weil sie aus sich selbst einleuchtet. Die Symbolik sind die von Aristoteles eingeführten Platzhalter X, Y, Z, die von de Morgan gefundenen -X, -Y, -Z, Teil und Ganzes und deren Identität. Und die Sprache ist in den Axiomen des ersten Buchs der Elemente der Geometrie des Euklid nachzulesen, daß nämlich das Ganze größer als der Teil, ein Teil des Teils ein Teil ist usw.. Bei etwas Übung in dieser Sprache, würde diese Formulierung etwas mehr ausdrücken als die Notation, aus der sie hergeleitet wurde. Die Formulierung bezieht sich auf Z: Es gibt einen Begriff, der teilweise von Z subaffirmed ist, nämlich Y; und es gibt ein vollständiges subnegative von Y, nämlich X. Die teilweise subaffirmation erklärt einige Dinge als weder Y noch Z; die vollständige supernegation erklärt das, was immer nicht Y ist, ist X. Folglich gibt es einige Xs, die nicht Zs sind, oder X ist ein teilweises subnegative von Z. Wir werden darauf noch zurückkommen.

______________

Im Vorstehenden haben wir die Herleitung der Syllogismen auf zwei verschiedene Weisen betrachtet. Die erste, die die komplexen Syllogismen als Quelle nimmt, verbindet die verstärkten Syllogismen und die eingeschränkten mit den allgemeinen und reduziert so alles auf die Grundbestandteile D,D,D, oder DD,D, De Morgan ist zwei "Subakzente" von der Wahrheit entfernt. Drei identische Größen oder eine einzige Größe mit drei Namen, seien sie Teil oder Ganzes, ist die Grundlage aller Schlüsse und damit DDD oder X=Y=Z. Mir geht es bei de Morgan wie bei Aristoteles, bei dem jeder, der ihn studiert, nur zu oft erkennen muß, daß er längst entdeckt hat, was man für sich selbst reklamieren möchte. Ich kann mir nicht vorstellen, daß er das nicht gesehen hat und schiebe diese ganze Umstandspinselei auf seinen Krach mit Hamilton. Dabei hat schon Theophrast, der Schüler Aristoteles’, die beiderseitige Quantifikation als notwendig erkannt (vgl. Prantls Geschichte der Logik, Band 1, Seite 356f). So kommt es zu der kuriosen Situation, daß de Morgan sie virtuoser und genauer gebraucht als Hamilton, sie aber nicht beim Namen nennt . Hamilton hat zwar "ganz" und "Teil" aber keine negativen Größen und verfrachtet die Negation, der Tradition und dem Vorurteil der zwei getrennten ganzen Größen folgend, in die Kopula. Der allgemein negative Satz +X=(-)Y wird so zu "Alle X" "ist nicht" " alle Y" (vgl. William Hamilton Lectures on Metaphysics and Logic. Band 2, z.B. S. 280, London 1866). Aus de Morgan’s universe ist der allgemein negative Satz sofort und ohne Zweideutigkeit ablesbar.. Die zweite geht aus den Schlüssen A,A,A, A’A,I, A,I’I’ und I,A,I, hervor und bildet die Klasse der allgemeinen, verstärkten und eingeschränkten Syllogismen, indem überall wo möglich Gegenteile eingesetzt werden. Diese beiden Systeme haben eine enge Verbindung, aber nicht so eng, wie man es vielleicht denken könnte. Denn I,A,I, etwa ist nicht einer der Schlüsse, die bei der Bildung eines komplexen Syllogismus mit A,A,A, verbunden sind.

Die beiden neuen Sichtweisen, die ich nun vorstellen werde, sind ebenfalls eng miteinander verbunden und unterscheiden sich vom Bisherigen, wo wir es für gleich zulässig hielten, einen der schließenden Begriffe auf den Mittelbegriff zu beziehen, wie in X)Y oder den Mittelbegriff auf einen der schließenden Begriffe zu beziehen, wie in Y)X. Aber nun werde ich fragen, ob es nicht möglich ist, [104] das System so zu konstruieren, daß wir zuerst den Mittelbegriff und sein Gegenteil als das Universum des Syllogismus aufstellen und erst danach die Prämissen und den Schlußsatz vervollständigen, indem wir die schließenden Begriffe in der rechten Weise festlegen. Wenn wir zunächst nur konvertible Sätze in Betracht ziehen, könnte uns das gelingen. Und wir können das tun, denn die allgemeine Ausschließung oder die eingeschränkte Einschließung sind in jeder Behauptung enthalten. So ist die allgemeine Einschließung nur die allgemeine Ausschließung vom Gegenteil, und die eingeschränkte Ausschließung ist nur die eingeschränkte Einschließung des Gegenteils.

Beginnen wir also mit dem Mittelbegriff und seinem Gegenteil und beschränkten uns auf E und I. E kennzeichne (allgemeine) Ausschließung vom Mittelbegriff und e allgemeine Ausschließung vom Gegenteil. I kennzeichne (eingeschränkte) Einschließung in den Mittelbegriff und i in sein Gegenteil. Bei der Wahl der schließenden Begriffe müssen wir II, Ii und ii aus den bereits genannten und hier leicht zu erkennenden Gründen ausschließen. Also fahren wir fort und untersuchen Ee, EE und ee, EI und ei, Ei und eI.

Ee. Daraus muß ein allgemeiner Schlußsatz folgen. Wenn ein Begriff vollständig vom Mittelbegriff und der andere von seinem Gegenteil ausgeschlossen ist, dann sind die Begriffe vollständig von einander ausgeschlossen. Die grundlegenden Formen sind

E,A’E, X.Y+Z.y = X.Z; A,E,E, X.y+Z.Y = X.Z

Und durch die Einsetzung von XZ, Xz, xZ, xz bekommen wir die acht allgemeinen Syllogismen heraus.

EE und ee. Aus diesen beiden muß eine eingeschränkte Einschließung folgen. Ausschließung beider Begriffe von einem dritten ergibt eingeschränkte Einschließung ihrer Gegenteile in einander, denn der ganze dritte Begriff (all that third term) gehört zum Gegenteil der beiden anderen.Das trifft nicht immer zu und ist daher nicht allgemeingültig. Wenn bei EE zum Beispiel +X und +Z und –Y identisch sind, dann sind +X und +Z nach wie vor vollständig vom Mittelbegriff +Y ausgeschlossen. Die Verbindung zwischen X und Z lautet dann aber -X=-Z oder +X=+Z. Oder wenn +X und+Z zusammen genau –Y sind aber außer an ihrer Grenze vollständig voneinander getrennt, dann ist die Verbindung +X=-Z oder –X=+Z usw. EE und ee haben zwar eingeschränkte Schlußsätze, aber die Begründung muß anders lauten. Die grundlegenden Formen sind

E,E,I’ X.Y+Z.Y = xz; A,A’I’ X.y+Z.y = xz

woraus wie oben die verstärkten eingeschränkten Syllogismen abgeleitet werden.

EI und ei. Aus diesen beiden muß eine eingeschränkte Einschließung folgen. Denn die Ausschließung eines Begriffs von einem dritten und die Einschließung eines Teils eines zweiten Begriffs in diesen dritten sagt uns, daß ein Teil des partikularisierten Begriffs (part of the particularized term) im Gegenteil des allgemeinen (universalized) Begriffs enthalten ist. Die grundlegenden Formen sind [105]

E,I,O’ X.Y+ZY = Zx; A,O’O’ X.y+Zy = Zx

I,E,O, XY+Z.Y = Xz; O,A’O, Xy+Z.y = Xz

woraus die 16 eingeschränkten Syllogismen abgeleitet werden.

Ei und eI. Aus diesen beiden kann kein Schluß gezogen werden. Hier wird nur vermittelt, daß der eine schließende Begriff vollkommen von einem dritten ausgeschlossen ist und der zweite teilweise ausgeschlossen (oder in das Gegenteil eingeschlossen).

Es scheint also ein Syllogismus mit einer eingeschränkten Prämisse gültig zu sein, wenn die Prämissen auf die konvertible Form zurückgeführt werden und beide den Mittelbegriff oder das Gegenteil des Mittelbegriffs zeigen, andernfalls nicht gültig. Auch scheint der Schlußsatz in seiner konvertiblen Form direkt aus der eingeschränkten oder umgekehrt aus der allgemeinen Prämisse zu kommen.

Ebenso scheint es so, daß ein Syllogismus mit zwei allgemeinen Prämissen immer gültig ist. Mit einem allgemeinen Schlußsatz, wenn die (konvertibel gemachten) Prämissen in der einen den Mittelbegriff und in der anderen sein Gegenteil zeigenTräfe dies zu (die Erzwingung der Konvertibilität durch die "einseitige Multiplikation"), dann glichen zwei Größen nicht mehr einer dritten, sondern jede gliche einer anderen. Nein, der Mittelbegriff muß in beiden Prämissen das gleiche Vorzeichen haben. Nur das Verhältnis von Teil zu Ganzem ein und derselben Größe, genauer, die teilweise oder ganze Identität beider, führt dann zu einem Schluß. Das kommt bei de Morgan’s Schlüssen zwar auch heraus: in der einen Prämisse steht etwa ein (-)-Yund in der anderen ein (+)Y, ist aber für den, der der Sache auf den Grund gehen will und nicht nur rechnen, zu wenig. Die Mathematik ist ja nur ein Teil der Wissenschaft und nicht die Wissenschaft selbst.; mit einem eingeschränkten Schlußsatz, wenn beide den Mittelbegriff oder beide sein Gegenteil zeigen.

Die andere Sichtweise, die ich hier vorschlagen möchte, ist vollkommen verschieden von der eben gegebenen. Indem wir währen der ganzen Untersuchung jeden Namen mit seinem Gegenteil betrachtet haben, haben wir uns auf die nachfolgende Sicht der Natur eines logischen Satzes vorbereitet. Ein Name für sich selbst ist ein Klang oder ein Symbol: seine Beziehung zu Dingen (seien es Gegenstände oder Ideen) ist zweifach. Es kann in der Natur (in rerum natura) etwas sein, worauf der Name angewandt wird, oder es kann nicht sein. Ich spreche hier nicht davon, wieviel Dinge es geben mag, auf die ein Name zutrifft; es ist nicht wesentlich zu wissen, ob es absolut oder relativ mehr oder weniger gibt. Die Einführung der Gegenteile kann zur Vertreibung der Quantität benutzt werden. Die Anwendung eines Namens werde also möglich oder unmöglich genannt, je nachdem der Gegenstand, auf den er angewandt wird, gefunden werden kann oder nicht. Keine gute Idee. De Morgan’s große Entdeckung, vielmehr die erste systematische Entwicklung dieser jedem Menschen einleuchtenden Tatsache, daß das Universum aus den beiden Größen +X und –X besteht, die Grundlage für eine objektive Logik, würde nun wieder in die subjektiven Schrullen des Logiktreibenden zurückverwiesen, der mal dies mal jenes für möglich oder unmöglich erklärt. Wenn de Morgan möglich und nicht möglich an das Sein knüpft, wie er es offensichtlich tut, dann kann er auch gleich beim Sein bleiben.

[An diesen und vielen ähnlichen Stellen sollten wir für de Morgan gelten lassen, was er im ersten Absatz des Kapitel 7 über Aristoteles sagt.]

Ein Name kann aus anderen Namen zusammengesetzt sein. Der zusammengesetzte Name ist alles das, worauf seine Komponenten angewandt werden können. So ist wilde Tiere der Name aller Dinge, auf die beide Namen, wild und Tier, angewendet werden können. Diesen zusammengesetzten Namen [106] unmöglich zu nennen, bedeutet zu sagen, daß es kein solches Ding wie eine wildes Tier gibt. Ihn möglich zu nennen, bedeutet, daß es ein solches Ding gibt.

Wenn X und Y zwei Namen sind, dann sei der zusammengesetzte Name durch XY repräsentiert, wenn er möglich, durch XY), wenn er unmöglich ist. Dies ändert nicht die Bedeutung unseres Symbols XY, wie es bisher gebraucht wurde. Bis jetzt bedeutete es, ‚Es gibt Xs, die Ys sind’, und nun bedeutet es ‚XY, der Name dessen, was beides, X und Y ist, ist der Name eines Dinges oder einiger Dinge (some thing or things)’. Und diese beiden sind in ihrer Bedeutung dasselbe, soweit sie im Schluß betrachtet werden. Auch muß XY), wie es gerade definiert wurde, nicht als eine Abwendung von, sondern vielmehr als eine Erweiterung des Gebrauchs von X)Y behandelt werden. In X)Y bejahen wir, daß X etwas ist, nämlich Y. In X) bejahen wir, daß X nichts was auch immer (nothing whatever) ist. Die angemessene Notation dafür, daß der Name X keinerlei Anwendung besitzt, ist jedoch X)u, wobei u das Gegenteil von U ist, das alles beinhaltet, worüber in dem Universum gesprochen wird. So daß u Nichtexistenz kennzeichnen kann. Wir hätten nun das Universum, das aus +X und –X besteht und das Nicht-Universum, das aus "nichts" besteht. Wahrheit/Falschheit, die bisher im Universum zu suchen waren, sind nun außerhalb im "Nichts". Ob das gut geht? Oder wird uns de Morgan der lang ersehnten Versöhnung von Satz- und Schlußlogik ein Stückchen näherbringen, wie der erste Absatz des folgenden Kapitels hoffen läßt?

Der Satz ‚Jedes X ist Y’ bejaht, daß Xy (+)X=(-)Y ist falsch, wenn +X=(+)Ywahr ist, da es (+)Y und (-)Y am selben Ort behauptet, der Widerspruch. der Name von Nichts ist oder X)Y=Xy). Ähnlich bejaht ‚Kein X ist Y’, daß XY der Name von Nichts ist (+)X=(+)Y ist falsch, wenn +X=(-)Y gilt, weil es (+)Y und (-)Y am selben Ort behauptet. Da müssen wir kein Nicht-Universum, ein logisch nicht vermittelbares "Nichts" herbeizitieren. oder X.Y=XY). Aber‚ Einige Xs sind Ys’ und‚ Einige Xs sind nicht Ys’ bejaht nur die Möglichkeit der Namen XY und Xy.

Ein Syllogismus ist also die Bejahung der Möglichkeit oder Unmöglichkeit von Namen, aus der Verbindung von X oder x, Z oder z, jeweils mit Y oder y die Möglichkeit oder Unmöglichkeit eines aus X oder x mit Z oder z verbundenen Namens zu schließen. Die Regeln des bisherigen Systems können nun leicht in die Sprache des jetzigen übersetzt werden, so daß es kaum der Rede wert ist, mehr als eines als Beispiel aufzuführen. Wenn also X mit Y und Z mit y verbunden werden und beide unmögliche Namen ergeben, dann ergibt X verbunden mit Z einen unmöglichen Namen. Das heißt XY)+Zy)=ZX) oder X.Y+Z.y=Z.X, oder E,A’E,.

Diese Sicht der zusammengesetzten Namen wird im nächsten Kapitel erweitert werden. [107]

Kapitel 6, Der Syllogismus

Wenn die Prämissen eines Syllogismus wahr sind, ist auch der Schlußsatz wahr, und wenn der Schlußsatz falsch ist, sind eine oder beide Prämissen falsch. Davon gibt es zwei Modifizierungen, die man bedenken sollte. Die eine bezieht sich auf den Eingang der Prämisse (als ganzer) in den Beweisgang, die andere betrifft die Verbindung zwischen Subjekt und Prädikat.

Der Satz selbst kann wahr sein oder absolut falsch, oder er kann einen bestimmten Grad der Wahrheit, Glaubwürdigkeit oder Wahrscheinlichkeit haben. Diese Beziehung wird später untersucht werden; und nach den Grundsätzen von Kapitel 9 ist der Satz, soweit er wahrscheinlich ist, auch glaubwürdig, und soweit er glaubwürdig ist, ist er wahr (?!?) Aber haben wir überhaupt das Recht, wenn wir andere Modi [Wahrscheinlichkeit, Möglichkeit usw.] des Syllogismus betrachten, zu sagen, daß alles, was in den Prämissen gesagt werden kann, im gleichen Sinn auch in dem Schlußsatz gesagt werden kann? Die Antwort ist, wir können solche Aussagen nicht mit absoluter Sicherheit behaupten. Wir können sie aber behaupten von den Prämissen, die aus dem Schlußsatz hergeleitet werden. Wie immer auch zwei Prämissen anwendbar sind, so ist auch ihr Schlußsatz aus diesen Prämissen ebenfalls anwendbar (In what manner soever two premises are applicable, their conclusion as from those premises ist also applicable): denn der Schlußsatz ist in den Prämissen. Zum Beispiel sind die Prämissen in dem Schluß: ‚Alle Menschen sind Bäume, alle Bäume sind rational, daher sind alle Menschen rational’, absurd und falsch. Zwar ist der Schlußsatz allein für sich betrachtet rational und wahr, aber aus diesen Prämissen hergeleitet ist er ebenso absurd und falsch wie die Prämissen selbst. Weiter, in ‚Alle Piraten sind angeklagt, alle Angklagten werden bestraft, daher werden alle Piraten bestraft’ sind die Prämissen zwar wünschenswert und ebenso der Schlußsatz mit diesen Prämissen. Aber der Schlußsatz ist nicht an sich wünschenswert, da die Piraten mit oder ohne Verfahren bestraft werden sollten (?). Auch können wir nicht sagen, ‚X sollte Y sein, und Y sollte Z sein, daher sollte X Z sein’, außer wenn wir vom X bejahen, daß es in einer ganz bestimmten Weise Z sein sollte. Wir können nicht einmal sagen, wenn ‚X in bestimmter Weise Y sein soll, und Y ist Z’, daraus folge, daß ‚X Z sein sollte’, denn es kann sein, daß Y nicht Z sein sollte. So würde ein Royalist von 1655 sagen, daß es den 100 ausgeschlossenen [108] Mitgliedern von Cromwell’s Parlament erlaubt gewesen sein sollte, ihre Sitze einzunehmen und auch, daß alle, die in diesem Parlament einen Sitz eingenommen haben, Rebellen waren. Aber er würde daraus nicht schließen, daß die 100 Abgeordneten Rebellen sein sollten. Keine Eigenschaft der Prämissen ist notwendig eine unabhängige Eigenschaft des Schlußsatzes außer der absoluten Wahrheit Sie steckt in den Prämissen, die "absolute" Wahrheit. Und sie ist allgemein die Übereinstimmung mit den Tatsachen und in der Logik das Verhältnis der Größen zueinander. Diese beiden bescheidenen Begriffe von der Wahrheit sind wie Saatgut, aus dem eine reichhaltige Ernte sprießt. Die Philosophen sähen die Früchte (das Zusammengesetzteste, was es überhaupt gibt, die menschlichen Begriffe, über die wir uns vielleicht in ferner Zukunft durch die Kooperation aller Wissenschaften einmal Klarheit verschafft haben werden und nicht durch Märchen aus Tausendundeiner Nacht) und müssen sich nicht wundern, daß dabei nur Faules herauskommt.. Die gewöhnliche Ansicht über die Schlußsätze in der Alltagssprache und den meisten Schriften geht davon aus, daß sie so sind, wie in den Prämissen festgelegt und daß sie mit ihnen stehen und fallen, und ebenso sei es mit der Wahrheit. Obwohl ein Schlußsatz wahr sein kann, wenn seine Prämissen falsch sind, sind die meisten Anhänger dieser Ansicht davon überzeugt, sie folgerten nicht mehr, als das, was in den Prämissen steht und auch daß nichts länger aufrechterhalten werden sollte, als die Prämissen aufrechterhalten werden.

Auch können wir nicht von allen Instanzen (instances) eines Satzes behaupten, was wir vom Satz [als Ganzem] sagen, mit Ausnahme dessen, was eben diese Instanzen betrifft oder was diese Instanzen als Teile eines Ganzen betrifft [PRIMA!]. Wenn ich sage, "Jedes X ist Y", dann behaupte ich ohne Zeifel von jedem einzelnen X, unabhängig von den restlichen, daß die Wahrheit von "Jedes X ist Y" die Wahrheit von "Dieses X ist Y" beinhaltet. Wenn ich aber, um ein anderes Beispiel zu nehmen, fortfahre, "Jedes X ist Y" ist eine wünschenswerte Regel, dann behaupte ich damit nicht, daß "Dieses X ist X" eine wünschenswerte Regel sei, es sei denn, die Notwendigkeit einer solchen Regel wäre vorausgesetzt. Und wenn ich sage, daß "Jedes X ist Y" unverständlich sei, sage ich damit nicht, daß "Dieses X ist Y" unverständlich sei und so weiter. Oder wo es wie im Gesetz eine Regel geben muß, "Jedes Mannes Haus ist seine Burg", ist wünschenswert, weil es nur die eine Alternative "Keines Mannes Haus usw". (?) Aber der Satz an sich muß nicht wünschenswert sein, zum Beispiel bei jemandem, den man für einen Dieb oder Hehler hält.

FORTSETZUNG FOLGT

April 2018: Hier habe ich 2000 als Vertreter der ABC Fraktion meine Bearbeitung beendet.
Kapitel 7, Der aristotelische Syllogismus Kapitel 8, Der numerisch bestimmte Syllogismus Kapitel 9, Möglichkeit Kapitel 10, Wahrscheinlichkeitsschluß Kapitel 11, Induktion Kapitel 12, Alte logische Begriffe Kapitel 13, Fehlschlüsse Kapitel 14, Die verbale Beschreibung des Syllogismus Anhang I, Bericht über eine Kontroverse zwischen dem Autor dieser Arbeit und Sir William Hamilton of Edinburgh und abschließende Antwort an ihn

Dieser Anhang enthält einen Bericht über eine Kontroverse, in dem einige Gegenstände der vorstehenden Arbeit... mit Sir William Hamilton, Professor für Logik und Metaphysik an der Universität von Edinburgh... Sie hat vier Publikationen hervorgebracht (auf die ich mich al I, II, III, IV beziehen werde), nämlich:

I. Statement von dM auf was von Hamilton 30.4.1847

II. Brief Hamiltons an dM 22.5.

III. Brief von dM an Hamilton 24.5.

IV. Brief von Hamilton an dM 2.6.

Es sind da zwei Fragen beteiligt. Die eine betrifft meinen Charakter, die andere ist rein literarisch. Mit der ersten steht es so. Am 13. März informierte mich Sir W. Hamilton brieflich, daß (das kursiv Geschriebene sind seine eigenen Worte) es für ihn manifest ist

Anhang II, Einige Schlußformen, die sich von den aristotelischen unterscheiden ______ TODO

D, D’ und D’ D, sind Spiegelschlüsse C, C’ und C’ C, dagegen nicht. Das muß in de Morgans Systematik eingebaut werden, um ihren rationalen Kern deutlich herauszuarbeiten.

Kunstwörter de Morgan’s Bedeutung
proponent A, E, I, O mit sub bzw. super-Akzent
concomitant Indifferenz, Nebenbedeutung
contranominal Sätze mit entgegengesetztem Akzent
fortsetzen!

D C C’E’ D’A’ D,A, C,E, PI, PO, PO’ PI’
+ + + - (+) - (+) + + (+) + (-) (+)(+) (+)(-) (-)(+) (-)(-)
D + + + + + - (+) - (+) + + (+) + (-) (+)(+) (+)(-) (-)(+) (-)(-)
(+)(+) (+)(-) (+)(+) (+)(+) (+)(+) (+)(-) (+)(-) (+)(+) (+)(+) (+)(+)
(-)(-) (-)(+) (+)(-) (+)(-) (-)(+) (-)(+) (-)(+) (-)(+) (+)(-) (+)(-)
(-)(+) (-)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(+)
C + - + - + + (+) + (+) - + (-) + (+) (+)(-) (+)(+) (-)(-) (-)(+)
(+)(-) (+)(+) (+)(+) (+)(+) (+)(-) (+)(+) (+)(+) (+)(-) (+)(+) (+)(+)
(-)(+) (-)(-) (+)(-) (+)(-) (-)(+) (-)(+) (-)(+) (-)(+) (+)(-) (+)(-)
(-)(-) (-)(+) (-)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(+) (-)(-)
C’E’(+) - (+) - + (+) (+)(+) (+) - (-)(+) + (+) (+)(+) (+)(+) (+)(+) (+)(+)
(+)(+) (+)(+) (+)(+) (+)(+) (-)(+) (-)(+) (-)(+) (-)(+)
(+)(-) (-)(+) (+)(-) (-)(+)
(-)(+) (-)(-) (-)(+) (-)(-)
D’A’(+) + (+) + + (-) (+)(-) (+) + (-)(-) + (-) (+)(-) (+)(-) (+)(-) (+)(-)
(+)(+) (+)(-) (+)(+) (+)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(-)
(+)(-) (-)(+) (+)(-) (-)(+)
(-)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(-)
D,A,+ (+) + (+) (+) - (+) - (+)(+) + (+) (-)(+) (+)(+) (+)(+) (+)(+) (+)(+)
(+)(+) (+)(+) (+)(+) (+)(+) (-)(+) (-)(+) (-)(+) (-)(+)
(-)(+) (+)(-) (+)(-) (-)(+)
(-)(-) (-)(+) (-)(+) (-)(-)
C,E,+ (-) + (-) (+) + (+) + (+)(-) + (-) (-)(-) (+)(-) (+)(-) (+)(-) (+)(-)
(+)(-) (+)(+) (+)(+) (+)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(-)
(-)(+) (+)(-) (+)(-) (-)(+)
(-)(-) (-)(-) (-)(-) (-)(-)
PI,(+)(+)(+)(+) (-)(+) (+)(+) (+)(+) (-)(+) (-)(+)
(+)(-) (+)(+) (+)(-) (+)(-) (-)(-) (-)(-)
(-)(+) (+)(-)
(-)(-) (-)(-)
PO,(+)(-)(+)(-) (-)(-) (+)(+) (+)(+) (-)(+) (-)(+)
(+)(+) (+)(+) (+)(-) (+)(-) (-)(-) (-)(-)
(-)(+) (+)(-)
(-)(-) (-)(+)
PO’(-)(+)(-)(+) (+)(+) (+)(+) (+)(+) (-)(+) (-)(+)
(+)(+) (+)(-) (+)(-) (+)(-) (-)(-) (-)(-)
(+)(-) (-)(+)
(-)(-) (-)(-)
PI’(-)(-)(-)(-) (+)(-) (+)(+) (+)(+) (-)(+) (-)(+)
(+)(+) (+)(+) (+)(-) (+)(-) (-)(-) (-)(-)
(+)(-) (-)(+)
(-)(+) (-)(-)