Kapitel 4, Sätze 54-76Das Kapitel On Propositions ist die eigentliche Wende in der Geschichte der Logik. Mit der Aufstellung der Sätze 3 bis 10 und der Äquivalente der Sätze 3 bis 6 (S. 61), der Sätze als Universum (S. 61) und der Wahrheitswertetabelle (S. 61, 63) legt de Morgan den Grundstein der vollständigen Logik der endlich und unendlich großen Größen. (engl.)

Ein Name ist ein Symbol, das mit einem oder mehreren Gedankenobjekten in bezug auf eine Ähnlichkeit oder Gemeinsamkeit von Eigenschaften verbunden wird. Oder es ist ein Symbol, das mit einem oder mehreren Gedankenobjekten verbunden wird, um es von anderen zu unterscheiden, die die gleichen Eigenschaften haben. Gegenstände desselben Namens sind, soweit es den Namen betrifft, ununterscheidbar. Und ein Gegenstand kann viele Namen haben, wenn er in vielen Objektklassen des Denkens vorkommt.

Namen sind, wie in Kapitel 2 erklärt, der ausschließliche Gegenstand der formalen Logik. Die Identität und der Unterschied zwischen Dingen wird beschrieben durch das Recht, Namen zu bejahen oder zu agreement in particularsstreiten (deny). Und Namen, seien sie einfach oder komplex, werden durch die Buchstaben des Alphabets X, Y, Z repräsentiert.

Ein Satz ist die Feststellung einer größeren oder geringeren Übereinstimmung oder Nicht-Übereinstimmung zwischen zwei Namen. Er drückt aus, daß es von den Xs genannten Gedankengeobjekten einige gibt, die unter den Ys genannten Gedankenobjekten sind oder nicht sind; [55] daß es Objekte gibt, die beide Namen haben oder die nur einen, aber nicht den anderen haben oder die keinen von beiden haben.

In den meisten Fällen sind die Gegenstände des Denkens, die in einen Satz eingehen, nicht aus dem Universum aller möglichen Gegenstände genommen, sondern nur aus einer begrenzten begrenzten Ansammlung von ihnen. Wenn wir etwa sagen "Alle Tiere benötigen Luft", oder daß der Name Luft benötigen zu allem gehört, zu dem der Name Tier gehört, dann sprechen wir von Dingen auf dieser Erde, und die Planeten usw., von denen wir nichts wissen, sind darin nicht eingeschlossen. Mit dem Universum eines Satzes meine ich den ganzen Umfang von Namen, in dem es ausgedrückt oder verstanden wird that the names in the proposition are found. Wenn es einen solchen Ausdruck oder ein Verständnis nicht gibt, dann ist das Universum des Satzes der ganze Umfang möglicher Namen. Wenn wir, das Universum heiße U, das Recht haben zu sagen, "Jedes X ist Y", dann können wir das Universum nur so ausdehnen, daß es alle möglichen Namen beinhaltet, indem wir sagen, "Jedes X, das U ist, ist eins von den Ys, die Us sind", oder etwas äquivalentes.

Gegenteilige Namen eines Universums sind die, die nicht beide zugleich angewandt werden können, aber von denen aber der eine oder der andere immer zutrifft. So sind im Universum Mensch Briten und Ausländer Gegenteile, im Universum Eigentum sind persönliches und Grundeigentum Gegenteile. Namen, die in einem Universum Gegenteile sind, sind es nicht notwendig in einem größeren. Wenn etwa in der Geometrie das Universum eine Ebene ist, dann sind dort Geradenpaare entweder Parallelen oder sich schneidende Geraden, aber nie beides. Parallelen und sich schneidende Geraden sind dann Gegenteile. Aber wenn der Student dann zur räumlichen Geometrie kommt, in der der ganze Raum das Universum ist, dann gibt es Geraden, die weder Parallelen, noch sich schneidende Geraden; und diese Wörter sind dann keine Gegenteile. Aber Wörter, die im größeren und enthaltenden Universum Gegenteile sind, sind es notwendig auch im kleineren und enthaltenen, außer wenn das kleinere Universum einen Namen absolut ausschließt, dann ist der andere Name das Universum. Das ergibt nur einen Sinn, wenn das vom kleineren Universum Ausgeschlossene das All und somit das Ganze und das "Eingeschlossene" der Teil ist. Vom All darf in den Sätzen der Größenlogik ebensowenig gehandelt werden wie bei de Morgan, weil es kein Nicht-All gibt.

Ich werde im weiteren ein Universum immer so auffassen, daß es alle Namen enthält und auch (was sehr wichtig ist), daß kein Name eines Satzes das Universum ausfüllt oder auf alles in ihm angewandt werden kann. Nichts ist einfacher als die Supposition eines Namens so zu behandeln, als wäre er das Universum. Und ich werde Gegenteile [56] durch große und kleine Buchstaben kennzeichnen. Wenn also X eine Name ist, so ist x sein gegenteiliger Name. Und alles (im vorgestellten Universum) ist entweder X oder x, und nichts ist beides.

Ein Satz kann entweder einfach und unvollständig oder komplex und vollständig sein. Der einfache Satz stellt nur fest, daß Xs Ys sind oder nicht Ys sind. Der komplexe Satz, besteht immer aus zwei einfachen - mit Ausnahme eines komplexen Satzes, der aus vier einfachen besteht. Der echte eingeschränkte Satz, alle vier Kombinationen von (±)X=(±)Y. Er verteilt sich in der einen oder anderen Art auf alle X und alle Y. So ist "Jedes X ist Y" ein einfacher Satz, bildet aber einen Teil zweier komplexer Sätze. Er kann entweder zu "Jedes X ist Y, und jedes Y ist X" gehören oder zu "Jedes X ist Y, und einige Ys sind nicht Xs".

Fußnote Anfang: Mit der Konstruktion der einfachen und komplexen Sätze geht de Morgan einen wichtigen Schritt in die richtige Richtung, irrt aber, wie jeder Pionier, der Neuland betritt, in einzelnen Fragen. Jeder Satz hat mehrere stets geltende Nebenbedeutungen. Sagst du "Alle A sind einige B", so gilt stets "Einige Nicht-A sind einige B", "Einige A sind einige B" und "Einige Nicht-A sind einige Nicht-B", wenn die Welt aus +A und -A, aus +B und -B besteht. Diese Entdeckung de Morgans des vorher verschämt genannten unendlichen oder unbestimmten Urteils, wenden wir konsequent auf de Morgans Text an. Nur unterliegt das jeweilige Universum nicht unserer Willkür, sondern wir unterliegen dem Universum. Das sind Bruchstücke der Erkenntnis, von denen de Morgan weiß, daß sie zu ein und derselben Wahrheit gehören, weil es nur eine Wahrheit gibt, die er aber erst als Bruchstücke in den Händen hält. Daß bei der Erforschung von Neuland notwendig scheinbar Unzusammenhängendes und auch Falsches unvermnittelt nebeneinandersteht, ist selbstverständlich. Wichtig für uns ist nur, jetzt seinem Gedanken zu folgen, um das "innere Band", das er konstruiert, zu verstehen. Nur so können wir das innere Band, wenn es das gibt, auch finden. Verdeutlichen wir uns eimal de Morgans Gedanken über die zwei komplex allgemein positiven Sätze (zeichnen Sie Kreise!. Zunächst der eine): 'Every X is Y and some Ys are not Xs.':
Ganz X ist Teil von Y. Ein anderer Teil von Y ist nicht X.
Beide Sätze zusammen sind der "komplexe" Satz. Der Teil von Y, der genau +X, nicht mehr und nicht weniger ist, ist einer der beiden "simplen" Sätze.Seine scheinbar strenge Unterscheidung zwischen simple und complex propositions wird de Morgan sofort in Teufels Küche bringen. Denn einmal: So sehr man einen Satz auch simple nennen mag; wenn du vom Teil redest oder denkst, meinst du den Teil, der Teil des Ganzen ist, oder du redest Unsinn. Zum andern aber ist schon hier ist zu sehen, daß die Konstruktion der komplexen Sätze nicht einheitlich ist, einmal wie hier als Summe zweier Sätze zum andern als Interpretation: Der zweite komplexe Satz: Ganz X ist Y, und ganz Y ist X, der in der Mathematik und auch bei de Morgan zur Definition der Identität benutzt wird, tanzt aus der Reihe, ist eine logische Zumutung. In der Zeichnung des einen komplexen Satzes kann man den komplexen Satz als die Vereinigungsmenge von dem Teil von Y, der X ist und dem, der nicht X ist, sehen. Zwei Größen werden addiert. Den zweiten komplexen Satz kann man zwar auch zeichnen, nämlich als einen einzigen Kreis um die identischen +X und +Y, von einem Teil des Ganzen kann aber hier keine Rede sein, sondern nur von zwei Ganzen, die identisch sind. Würden wir auch hier die beiden Sätze, die vorgeblich zur Herleitung dienen sollen, addieren, 'every X is Y and every Y is X,' käme Unsinn heraus, nämlich genau die doppelte Größe des komplexen Satzes. Die complex propositions kommen später ausführlich dran. Das alltägliche Denken in Teil:Ganzes-Relationen ist hier der Wissenschaft voraus, was de Morgan leider nicht erkennt: "The propositions advanced in common life are usually complex, with one simple proposition expressed and one understood: but books of logic have hitherto considered only the simple proposition." S.56 De Morgan bringt hier auf den Nenner, wovor sich die Logik vornehm drückt, er nennt das Problem beim Namen: Einerseits darf der log. Satz nur exakt die Größe behandeln, von der er tatsächlich spricht, andrerseits kann vernünftig von Teilen nur gesprochen werden, wenn sie Teile des Ganzen sind. Beides muß der log. Satz aber zugleich leisten: Die mathematische Exaktheit der Gleichung, bei der auf der linken und der rechten Seite die gleiche Größe steht und die exakte Wiedergabe der Teil:Ganzes-Relation zwischen den beiden Satzgrößen. Was jedes Kind versteht, wenn es "A ist Teil von B" sagt, muß doch auch die Logik fertigbringen! Fußnote Ende

Die Sätze, die im täglichen Leben gebraucht werden, sind normalerweise komplex, nämlich ein ausgesprochener und ein gedachter einfacher Satz. Aber die bisherigen Logikbücher haben nur den einfachen Satz behandelt. Daher sollte er auch hier zuerst behandelt werden.

Der einfache Satz muß auf Vorzeichen, relative Quantität und Reihenfolge (order) untersucht werden.

Einfache Sätze haben zwei (Vor)zeichen: affirmativ und negativ. Es heißt entweder "Xs sind Ys", oder "Xs sind nicht Ys". Die Ausdrücke sind und sind nicht, oder ist und ist nicht, die den Unterschied kennzeichnen, werden Kopulae genannt."The phrases are and are not, or is and is not, which mark the distinction, are called copulae." S.56 Einer der großen wenn nicht der größte Fehler der Logik. Worauf beruht der große Erfolg der mathematischen Gleichung, eines der "logischsten" Gebilde, das wir kennen? Auf der Gleichheit, nicht auf der Ungleichheit, auf dem "=" zwischen rechts und links. Auch de Morgan wird von dem Schicksal der Logiker nicht verschont bleiben, die die Vorzeichen in die Mitte des Satzes verfrachten und dann eine Schar von "copulae" statt des einen "ist" erhalten.

Die relative QuantitätIch bleibe beim Wort Quantität, weil de Morgan zwar sagt, er handele nur von diskreten Mengen aber oft genug die stetige Größe behandelt, was klar ist, weil es ohne Größe keine Menge gäbe. eines Satzes bezieht sich auf die Anzahl der Fälle der verschiedenen Namen, die in sie eingehen. Der Unterschied in der Quantität wird gewöhnlich durch alle und einigeEinige in der Logik bedeutet eines oder mehrere, womöglich alle. Wer sagt, einige sind, muß damit nicht meinen, die restlichen sind nicht. "Einige Menschen atmen", "Einige Pferde sind duch ihre Gestalt von ihren Reitern zu unterscheiden", hielte man in der normalen Sprache für falsch. Das kommt daher, daß die Umgangssprache den eingeschränkten immer als den oben geschilderten komplex eingeschränkten Satz annimmt und "einige sind nicht" impliziert, wenn "einige sind" gesagt wird. Der Student kann nicht genügend auf diesen Unterschied achten. Ein eingeschränkter Satz ist nur ein "möglicherweise-eingeschränkter". Dann hätten wir neben "gleich" und "ungleich" noch "kleiner-gleich" als copula, und ein Satz könnte mal dies, mal jenes bedeuten. Wir bleiben aber stur und wollen immer und unterschiedslos "=" haben. Der logische Satz darf nicht auslegbar sein. Sagst du: Alle Menschen sind Tiere, so sagst du zugleich: Einige Nicht-Menschen sind Tiere. Wäre das nicht so, so wären alle Menschen alle Tiere. Und trotzdem muß gelten: Einige bedeutet genau einige, und: Alle bedeutet genau alle. Es ist offensichtlich, daß de Morgan hier irrt. Das alltägliche Denken sagt sich, daß hier von einem Teil die Rede ist, wo doch vom Ganzen, nämlich allen Menschen oder allen Pferden die Rede sein müßte. Die beiden eingeschränkten Sätze werden gerade nicht als Teile des komplex eingeschränkten, der alle vier Bedeutungen des eingeschränkten Satzes hat, gedacht, sondern als Teil des allgemeinen Satzes "Alle Menschen sind Teil der Atmenden", der neben dem genannten nur noch zwei der eingeschränkten Nebenbedeutungen hat. kenntlich, was zur Unterscheidung zwischen allgemein und eingeschränkt führt. So sind "Jedes X ist Y" und "Jedes X ist nicht Y" der allgemein bejahende und der allgemein negative Satz, wobei der letztere gewöhnlich als "Kein X ist Y" ausgedrückt wird. Und "Einige Xs sind Ys", und "Einige Xs sind nicht Ys" sind der eingeschränkt bejahende und der eingeschänkt negative Satz. Und wenn die Sätze strikt auf diese vier Formen reduziert werden, dann wird [57] der erste Name X, das Subjekt und der zweite Y, das Prädikat genannt.

Man hat vorgeschlagen, die allgemeinen Sätze als in ihrer Quantität klar bestimmt zu betrachten. Aber das ist nicht ganz korrekt. Der Ausdruck "Alle Xs sind Ys" sagt uns nicht, wie viele Xs es gibt, aber daß die Anzahl der unbekannten existierenden Xs, was immer sie sein möge, und die Anzahl der im Satz angesprochenen Xs dieselbe ist. Was klar ist, ist das Verhältnis (ratio) der Anzahl der Xs des Satzes zur Anzahl der Xs des Universums. So gesehen kann die "definite Quantität" als zu den allgemeinen Sätzen gehörende Abkürzung betrachtet werden. Und die Unbestimmtheit des eingeschränkten Satzes ist nur hypothetisch. Es liegt in unserer Macht uns vorzustellen, daß einige eine Hälfte des Ganzen (whole) oder zwei Drittel oder irgend ein anderer Bruchteil (fraction) ist.

Die Quantität des Subjekts wird ausgesprochen, die des Prädikats wird auch ohne sprachlichen Ausdruck notwendig durch die Sprachbedeutung impliziert. Das Prädikat eines bejahenden Satzes ist eingeschränkt, das eines neagtiven ist allgemein.Hier hält de Morgan wiegesagt an einem alten Vorurteil fest und macht es sich und uns unnötig schwer, weil er die beiderseitige Quantifikation nicht zulassen will.
+X=(-)Y,
Jedes X ist Teil dessen, was nicht Y ist, ist eindeutig, fügt sich in den restlichen Formalismus, und das "Prädikat" ist eingeschränkt. Jeder Versuch, Subjekt und "Prädikat" in diesem logischen Satz allgemein zu machen, schlägt fehl: "Kein Mensch ist ein Stein." Alle Steine? Unsinn. Anders. "Alle Menschen sind nicht Steine." Alle Nicht Steine? Auch Unsinn. Nur das Äquivalent: Ein Teil der Nicht-Menschen sind alle Steine hat ein allgemeines "Prädikat". Der allgemein negative Satz ist neben einigen philosophischen Schrullen einer der Gründe, warum die Logiker vor der beiderseitigen Quantifikation zurückschrecken. Selbst Hamilton, der die beiderseitige Quantifikation am konsequentesten durchführte, erlag dem Irrtum, daß der allgemein negative Satz auf der rechten Seite beim Y allgemein wäre. Dieser Irrtum liegt im Kopf jedes Menschen, der: Kein X ist Y denkt: Zwei getrennte ganze positive Größen als zeichnerische Darstellung des allgemein negativen Satzes, werden als zwei getrennte ganze Größen gezeichnet und als zwei getrennte ganze Größen gedacht. Ganz deutlich und unabweisbar ist vom ganzen X und vom ganzen Y die "Rede" (genau das eben nicht, nur das Bild zeigt zwei ganze Größen). Zu köstlich, daß die Logiker, die sich gegen die Logik der Größen sträuben, an dieser materialistischen Schrulle der beiden ganzen Klümpchen festhalten. Sollen sie. De Morgan wird später selbst das Rätsel lösen, auch wenn er es nicht in seinen Formalismus einbauen wird. Entweder behandelt die simple allgemein negative proposition alle Menschen, dann kann sie (als Satz-Gleichung) nicht zugleich alle Steine behandeln. Das ist eine ganz andere von ihr getrennte Größe. Oder die simple proposition behandelt die Größe "kein Mensch" und setzt sie mit "alle Steine" gleich. Dann wäre die rechte Seite allgemein. Was aber ist "kein Mensch" für eine Größe? Alle Nicht-Menschen? Dann hieße der Satz Alle Nicht-Menschen sind alle Steine! Das Problem ist das: Die Größenbeziehung zweier Größen zueinander können wir nur mit Hilfe der vier Relationen Teil:Ganzes, Ganzes:Teil, Ganzes:Ganzes oder Teil:Teil ausdrücken. Wie soll das aber bei zwei getrennten Größen geschehen?
Wenn ich sage, "Xs sind Ys", selbst wenn ich von allen Xs spreche, dann spreche ich nur von so vielen Ys, die im Vergleich mit den Xs übereinstimmen. Und das müssen nicht alle Ys sein. "Jedes Pferd ist ein Tier" bedeutet, daß, von so ebensovielen Pferden wie Tieren gesprochen wird. Dabei ist völlig offen, ob es noch mehr Tiere gibt oder nicht. Sage ich aber "Xs sind nicht Ys", auch wenn ich nur von einem X spreche, wie in "Dieses X ist nicht ein Y", dann spreche ich dennoch von jedem Y, das existiert. Die Feststellung lautet: "Dieses X ist nicht irgend eines der überhaupt existierenden Ys". Jemand, der den Satz "Diese 20 Xs sind Ys" durch Besichtigung verifizieren wollte, könnte das vielleicht schon nach der Überprüfung von nur 20 Ys bestätigen, wenn er gleich die richtigen Ys getroffen hätte. Aber er könnte "Dieses eine X ist nicht ein Y" nicht verifizieren, solange er nicht jedes existierende Y überprüft hätte. Das ist die allgemeine Lehrmeinung. Aber owohl man natürlich zugeben muß, daß der allgemeine Satz uns nur gestattet, einige Fälle des Prädikats zu folgern, wäre es, wie ich denke, dennoch richtiger zu sagen, daß vom Prädikat des bejahenden Satzes allgemein aber unteilbar und vom Prädikat des negativen Satzes allgemein und teilbar gesprochen wird. "Einige Xs sind Ys" sagt uns, daß jedes erwähnte X entweder das erste Y oder das zweite Y oder das dritte Y usw. ist, wobei kein Y vom Vergleich ausgeschlossen ist. Aber [58] "Einige Xs sind nicht Ys" sagt uns, daß jedes erwähnte X absolut nicht das erste Y, nicht das zweite Y, nicht das dritte Y usw., tatsächlich nicht irgendeines aller der Ys ist."Jedes erwähnte" X im ersten Fall sind "einige X". Es mag zwar sein, daß kein Y vom Vergleich ausgeschlossen ist, aber den Satz interessiert nur, ob einige X einige oder alle Y sind. Sicher einige. Sonst würde der Satz ja nicht gesagt. Ebenso interessiert im zweiten Fall die Quantifikation "nicht irgend eines der: not any one of all the" nicht, sondern nur, daß einige X ein Teil dessen sind, was nicht Y ist. Trotzdem übermittelt das Prädikat eines positiven Satzes jedoch nicht mehr, als es tun würde, wenn schließlich die als Xs akzeptierten Ys separiert würden und als die einzigen Ys, über die gesprochen wird, betrachtet würden.Diese verschämte Umschreibung für "einige Ys" muß man wie vieles im Text aus dem von Hamilton ausgegangenen und im ganzen unschönen Prioritätenstreit der beiderseitigen Quantifikation verstehen.

Die Relation der allgemeinen Quantität zur ganzen Quantität der existierenden Fälle ist eindeutig (definit), weil sie die ganze Quantität [der existierenden Fälle] selbst ist. Aber die eingeschränkte Quantität ist völlig unbestimmt (indefinit): "Einige Xs sind Ys" gibt weder einen Anhaltspunkt, über welchen Teil (fraction) aller Xs gesprochen wird, noch darüber, welchen Teil der Ys sie ausmachen. Die Umgangssprache macht einige konventionelle Annäherungen an die Eindeutigkeit, die in Logikarbeiten verworfen werden. "Einige" bedeutet gewöhnlich einen recht kleinen Teil des Ganzen. Ein größerer Teil würde etwa durch "sehr viele" ausgedrückt, und etwas mehr als die Hälfte durch "die meisten", während ein noch größerer Teil "eine große Mehrheit" oder "fast alle" sein würde. Ein in der Quantität vollkommen eindeutiger eingeschränkter Satz würde ausdrücken, wie viele Xs existieren, wie viele Ys und wie viele Xs Ys sind oder nicht sind, wie in "70 der 100 Xs befinden sich unter den 200 Ys". In diesem Kapitel werde ich nur die unbestimmt eingeschränkten Sätze behandeln und die eindeutig eingeschränkten für spätere Betrachtungen aufheben.

Die Reihenfolge (order) eines Satzes bezieht sich auf Subjekt und Prädikat. So stellen "Jedes X ist Y", und "Jedes Y ist Y" zwei allgemein bejahende Beziehungen zwischen X und Y fest, sind aber zwei verschiedene Sätze. Sie werden konverse Formen genannt. Wenn Subjekt und Prädikat dieselbe Art der Quantität haben, beide allgemein oder beide eingeschränkt, dann ergibt die konvere Form dieselben Sätze. So sind "Kein X ist Y", und "Kein Y ist X" dasselbe. Keiner der beiden hat irgend eine andere Bedeutung, die der andere nicht hat, vielleicht mit Ausnahme der Betonung. Und "Einige Xs sind Ys" ist dasselbe wie "Einige Ys sind Xs". Der allgemein negative, der in beiden Begriffen allgemein ist und der eingeschränkt positive, in dem beide eingeschränkt sind, - sind notwendig konvertible Sätze. Aber der allgemein positive, in dem das Subjekt allgemein und das Prädikat eingeschränkt ist, ist nicht notwendig konvertibel und wird allgemein inkonvertibel genannt. Er kann in einem Fall konvertibel sein und inkonvertibel in einem [59] anderen. Aber der Begriff inkonvertibel ist aus dem folgenden Grund nicht korrekt.

Die Übereinstimmungen und Nicht-Übereistimmungen, die in der Logik behandelt werden, haben den Charakter: Es kann nur Übereinstimmung mit Einem geben, aber Nicht-Übereinstimmung kann es mit Allen geben. Wenn "dieses X sei ein Y" gilt, dann ist es nur ein Y. "Dieses X ist entweder das erste Y oder das zweite Y oder das dritte Y usw." Wenn es 100 Ys gibt, dann sind für die, die es wissen können, 99 mal so viel Negation(en) in dem Satz wie Position (affirmation). Und dennoch wird der Satz zweifellos richtig positiv genannt. Gilt aber "dieses X ist nicht ein Y", dann haben wir "Dieses X ist nicht das erste Y, und es ist nicht das zweite Y, und es ist nicht das dritte Y, usw.". Diese Bejahung nennt man üblicherweise disjunktiv, die Verneinung konjunktiv.Eine der Stellen in de Morgans Arbeit, wo er Prädikatenlogik (Satzlogik) betreibt. Leider das einzige, was die meisten Heutigen von seinem epochemachenden Werk wissen. Vermutlich ist in de Morgan's Ansatz die langesuchte Verbindung zwischen Satzlogik und Größenlogik, der Logik der diskreten Einheiten und der Logik der stetigen Größen zu finden. Leider sind die einen auf dem Gebiet der anderen meist Laien. Eine disjunktive Negation wäre überhaupt kein Satz außer dem, daß ein und dasselbe Ding nicht zwei verschiedene Dinge sein kann. Jedes X ist entweder nicht das erste Y oder nicht das zweite Y. Und ähnlich wäre eine konjunktive Bejahung eine Unmöglichkeit, sie würde behaupten, daß ein Ding zwei oder mehrere Dinge sei.

Wir müssen uns darauf einstellen, Gegensätze zu untersuchen, die auf der einen Seite eine bestimmte Notwendigkeit und auf der anderen die Möglichkeit von Alternativen haben. Und wir müssen uns darauf einstellen, rein etymologisch gesehen mit diesen gegensätzlichen Termen bestimmte Notwendigkeiten gegensätzlicher Merkmale zu kennzeichnen. Das passiert etwa bei dem obigen Fall. Konveribel bedeutet absolut und notwendig konvertibel, inkonvertibel bedeutet konvertibel oder inkonvertibel, je nachdem (!).Die Erläuterug dieser scheinbaren Absurdität folgt auf dem Fuß, nämlich die Aufzählung der Gesetze des "logischen Quadrats", einem weiteren von Boethius verbreiteten beliebten Spielzeug der Scholastik, das aber im Gegensatz zu vielem anderen Gerede einen Ansatz einer Formalisierung in sich birgt, der Wahrheitswertetabelle: Die Gegenüberstellung der 4 log. Sätze und ihr Zusammenhang als "konträr, kontradiktorisch, subkonträr und subaltern". Die Gesetze sind zwar alle richtig, aber nur ein magerer Ersatz der Wahrheitswertetabelle, in der alle Möglichkeiten zweier gleichzeitig wahrer oder nicht wahrer Sätze stehen. Außerdem sind etwa die sog. Umkehrungsregeln nur richtig, solange nicht beide Seiten quantifiziert bzw. Äquivalente gebildet werden. Als inkonvertibel galten seit Aristoteles bis hin zu den meisten Heutigen die Sätze "Alle X sind Y" und "Einige X sind nicht Y". Konvertibel dagegen waren "Alle X sind nicht Y" und "Einige X sind Y". Konvertibel sind Sätze, in denen X und Y die Plätze tauschen können, inkonvertible Sätze lassen das nicht zu. Bei diesen "Gesetzen" war also das alltägliche Denken Maßstab für die Wissenschaft, da ja ohne Formalismus einleuchtet, daß "Alle X sind Y" nicht dasselbe ist wie "Alle Y sind X" und "Alle X sind nicht Y" und "Alle Y sind nicht X" dasselbe zu sein scheinen. Nehmen wir die vier Formen in einer Reihenfolge, dann finden wir, daß keiner der allgemeinen Sätze mit einem der entgegengesetzten Sätze zugleich sein kann. So kann "Jedes X ist Y" nicht wahr sein, wenn entweder "Kein X ist Y" oder "Einige Xs sind nicht Ys" gilt. Und "Kein X ist Y" kann nicht wahr sein, wenn entweder "Jedes X ist Y" oder "Einige Xs sind Ys" wahr ist. Aber alle eingeschränkten Sätze sind notwendig nur mit dem jeweils entgegengesetzten allgemeinen Satz inkonsistent. So kann "Einige Xs sind Ys" nicht wahr sein, wenn "Kein X ist Y" wahr ist, aber es kann wahr sein, wenn "Einige Xs sind nicht Ys" gilt. Und "Einige Xs sind nicht Ys" kann nicht wahr sein, wenn "Jedes X ist Y" gilt, aber es kann wahr sein, auch wenn "Einige Xs sind Ys" gilt.

Das Paar "Jedes X ist Y" und "Einige Xs sind nicht Ys" wird kontradiktorisch genannt. Ebenso das Paar "Kein X ist Y" und "Einige Xs sind Ys". In jedem Paar kontradiktorischer Sätze muß der eine wahr sein, und [60] der andere muß falsch sein, so daß die Bejahung des einen die Verneinung des anderen ist, und die Verneinung des einen die Bejahung des anderen. Das Paar "Jedes X ist Y" und "Kein X ist Y" wird gewöhnlich konträr genannt. Kontrarität führt zur äußersten Form der Kontradiktion. Konträre Sätze konnen beide falsch sein, aber können nicht beide wahr sein. Die beiden "Einige Xs sind Ys" und "Einige Xs sind nicht Ys", die beide wahr sein können, aber nicht beide falsch sein können, werden gewöhnlich subkonträr genannt. Aber aus Gründen, die noch zu nennen sein werden, werde ich die Unterscheidung zwischen den Wörtern konträr und kontradiktorisch verwerfen und sie als synonym behandeln. Und die Sätze die gewöhnlich konträr genannt werden, "Jedes X ist Y" und "Kein X ist Y" werde ich subkonträr nennen, während ich die gewöhnlich subkonträr genannten "Einige Xs sind Ys" und "Einige Xs sind nicht Ys" superkonträr nennen werde.Keine Panik, es wird einfacher, als es sich zunächst anhört. Daß de Morgan ausgerechnet das "logische Quadrat" als Vorlage nimmt und daran herumdoktort, liegt wohl wieder daran, daß er es für "aristotelisch" hält.

Ich werde nun zu einer erweiterten Betrachtung der logischen Sätze und zu der Struktur einer Notation kommen, die zur Darstellung ihrer verschiedenen Fälle geeignet ist.

Wie gewöhnlich sei der allgemein positive Satz durch A gekennzeichnet, der eingeschränkt positive durch I, der allgemein negative durch E und der eingeschränkt negative durch O. Das ist der gewöhnliche Umfang symbolischer Ausdrücke logischer Sätze. Ich schlage vor, die folgenden Erweiterungen in dieser Arbeit vorzunehmen: Es sei eine bestimmte Reihenfolge von Subjekt und Prädikat der Standard. Bei den Buchstaben X, Y, Z sei die Reihenfolge immer XY, YZ, XZ. Es seien x, y, z die gegenteiligen Namen von X, Y, Z, und ihre Reihenfolge sei dieselbe wie der Standard. Wenn die vier Satzarten aus X, Y, Z gebildet werden, sollen als sie A, E, I, O, bezeichnet werden. Werden sie dagegen aus den Gegenteilen gebildet, so heißen sie A’ E’ I’ O’. Bezogen auf Y und Z ist also "Jedes Y ist Z" (das Paar in dieser Reihenfolge) der A, während "Jedes y ist z" der A’ ist.Wichtig, gut und richtig ist, daß de Morgan stets die Reihenfolge XYZ im Schluß einhält und folglich auch die Satzteile stets dieselbe Reihenfolge haben. Schon hier zeigt sich aber die Problematik der Adaption des Barbara-Logiker-Sprachgebrauchs (der übrigens nicht auf Petrus Hispanus zurückgeht, wie ich bis vor kurzem auch noch glaubte, sondern die erste Quelle ist bei dem byzantinischen Mönch Psellus zu finden, gest. um 1096, vgl. Prantl): Der A, ist der +Y=(+)Z, während der A’ das Äquivalent des Satzes (+)Y=+Z, nämlich -Y=(-)Z ist. Die beiden allgemein positiven Sätze kannte Aristoteles schon, mußte sich aber mit Umkehrungsregeln und dem indirekten Beweis behelfen, wenn er sie ausdrücken wollte. Februar 2018: Ende 2001 habe ich zum ersten mal das Symbol für das Ganze [ ] benutzt. In der vorliegenden Arbeit von 2000 habe ich es noch nicht. Die obigen Sätze mit Ganzen schreibe ich heute so: [+]Y=(+)Z, (+)Y=[+]Z, [‐]Y=(‐)Z oder [+]X=(-)Y. Das bedeutet, überall, wo in meinen Kommentaren ein Vorzeichen plus oder minus ohne Klammern auftritt, ist in Gedanken [ ] um es herumzulegen. Ich würde vorschlagen, den A, und A’ sub-A und super-A des Begriffspaars in dieser Reihenfolge zu nennen. Die Hilfen, die das unserem Gedächtnis geben wird, werden sofort klar werden. Das gleiche gilt für I, und I’ usw.

Folgende Abkürzungen sollen gelten:
de Morgan Größenlogik
X)Y bedeutet "Jedes X ist Y"  + X=(+)Y
X:Y "Einige Xs sind nicht Ys" (+)X=(-)Y
X.Y "Kein X ist Y"  + X=(-)Y
X Y "Einige Xs sind Ys" (+)X=(+)Y
Da die Geistesverwandtschaft zwischen de Morgan und mir größer nicht sein könnte, erlaube ich mir, direkt im Text Erläuterungen meist in der Schrift Arial zu geben, wo ich es für nötig halte. Ich stelle de Morgans Sätze Seidels Sätze zur Seite. Die Sätze gehören natürlich weder mir noch de Morgan, sondern sind Ausdruck der unabhängig vom Hirn des Forschers existierenden oder wahren Zusammenhänge der Dinge. Diese Tatsache war zunächst eine bittre Pille für mich, als ich auf Mennes Anraten de Morgans Arbeiten studierte und sah, daß er im Keim alle Sätze, die ich für meine Entdeckung hielt, bereits gefunden hatte. Sie wich aber schnell der Freude über die Bestätigung, daß es nur eine Wahrheit gibt und daß jeder, der sie ersthaft sucht, zu den gleichen Ergebnissen gelangen muß. Die Rückkehr zu der aristotelischen Form der Sätze ist ein wichtiger Schritt zur Formalisierung der Satzgleichung. Statt der kindischen AEIO werden die beiden Satzteile getrennt. Statt der einen Gleichheit hätten wir aber nun 4 copulae zwischen den X und Y und damit acht Arten der Bejahung/Verneinung! Denn die copulae sollen den Satz ja angeblich als ganzen bejahen/verneinen.

[61] Es gibt acht verschiedene Arten, unabhängig von den Gegenteilen, in denen ein einfacher Satz mit Hilfe von X und Y gebildet werden kann. Diese acht Arten sind X)Y und Y)X; X:Y und Y:X; X.Y und Y.X; X Y und Y X. Aber diese acht sind nur sechs Sätzen äquivalent, denn X.Y und Y.X sind dieselben und ebenso X Y und Y X. Weiter, es gibt sechs einfache Sätze zwischen x und y, sechs zwischen X und y und sechs zwischen x und Y. Nimmt man die Gegenteile hinzu, so gibt es vierundzwanzig klare Arten, einen einfachen Satz aus X und Y zu bilden; aber sie sind nicht alle voneinander verschieden. Acht von ihnen enthalten den ganzen Rest. Diese acht sind die oben beschriebenen A, E, I, O, A’ E’ I’ O’. Das kann man aus der folgenden Tabelle, die sorgfältig studiert werden sollte, erkennen.

de Morgan und Größenlogik jeweils untereinander De Morgan kommt zu ausnahmslos richtigen Ergebnissen (bis auf das "=" zwischen erster und dritter Spalte bei den allgemeinen Sätzen, den Äquivalenten von Satz 3 bis Satz 6). Daß (-)- = (+) und (+)- = (-) gelten, wird sich in BERECHNUNG zeigen. Zunächst muß ich darum bitten, daß Sie mir auf Kredit glauben, daß in der Mathematik wie in der Logik Gleiches mal Gleiches Plus und Gleiches mal Ungleiches Minus ergibt (mit einigen Einschränkungen in der Logik). Weil de Morgan die mittlerweile vier Kopulae in die Mitte verfrachtet und die beiderseitige Quantifikation scheut, muß er bei den beiden Äquivalenten + X=(+)Y und (-)X= - Y und den folgenden nun doch die Reihenfolge von X und Y vertauschen.figs61.1 Formalismus der 8 Sätze
A, X)Y = X.y = y)x
+ X=(+)Y + X=(-)-Y - Y=(+)-X
O, X:Y = X y = y:x
(+)X=(-)Y (+)X=(+)(-)Y (-)Y=(-)-X
E, X.Y = X)y = Y)x
+ X=(-)Y + X=(+)-Y + Y=(+)-X
I, X Y = X:y = Y:x
(+)X=(+)Y (+)X=(-)-Y (+)Y=(-)-X
A’ x)y = x.Y = Y)X
- X=(+)-Y - X=(-)+Y + Y=(+)X
O’ x:y = x Y = Y:X
(+)-X=(-)-Y (+)-X=(+)Y (+)Y=(-)X
E’ x.y = x)Y = y)X
- X=(-)-Y - X=(+)Y - Y=(+)X
I’ x y = x:Y = y:X
(+)-X=(+)-Y (+)-X=(-)Y (+)(-)Y=(-)X

Ich vermute, die meisten Leser werden leicht die Wahrheit der hier behaupteten Identitäten erkennen. Die Äquivalente der allgemeinen Sätze (erste und dritte Spalte), die unter Namen wie Kontraposition oder Äquipollenz meist nur für den Satz 5 in der Logik ein Exotendasein fristen, sind zwar immer zugleich (2021: zeitgleich) wahr, aber sie sind nicht identisch (auch numerisch nicht, wie Sie de Morgans nun folgender Darstellung der Satzuniversen entnehmen können, es sei denn, +A und –A sind zufällig einmal gleichgroß bzw gleichviel, etwa die positiven und negativen Zahlen im Universum natürliche Zahlen. Aber auch da gilt:) Jedes mü von +A nimmt einen anderen Ort als -A ein, Identität ist aber das Einnehmen desselben Ortes. Vgl. Aristoteles’ Physik, Buch 4, Kap. 10-14, wo die Gleichzeitigkeit als eine Funktion des Ortes und die Zeit als Funktion der Bewegung, des sukzessiven Einnehmens vieler Orte, aufgezeigt wird.
Bei den eingeschränkten Sätzen hat de Morgan jedoch recht, (+)A=(-)B und (-)B=(+)A sind identisch.
Wo nicht, kann die folgende Illustration (die sehr von Nutzen sein wird, wenn ich den Syllogismus behandeln werde) ausprobiert werden. Es sei U der Name des Satzuniversums. Schreib so viele Us in eine Zeile, wie viele getrennte Gegenstände es gibt, auf die dieser Name anwendbar ist. Ein Dutzend ist zur Illustration genauso gut wie eine Million. Unter jedes U, das ein X ist, schreib X und natürlich x unter den ganzen Rest. Folge dem gleichen Plan mit Y. Das Auftreten von Buchstaben in derselben Spalte zeigt, daß sie Namen desselben Gegenstands sind. Das Folgende ist ein Muster für die acht Standard-Satzarten, auf die allen anderen zurückgeführt werden können. figs61.2 De Morgan’s 8 Satzuniversen
de Morgan Größenlogik de Morgan Größenlogik
A, UUUUUUUUUUUU A’ UUUUUUUUUUUU
XXXXXxxxxxxx  + X=(+)Y XXXXXXXXxxxx (+)X= + Y
YYYYYYYYyyyy (-)X= - Y YYYYYyyyyyyy  - X=(-)Y
O, UUUUUUUUUUUU O’ UUUUUUUUUUUU
XXXXXXXxxxxx (+)X=(-)Y XXXXXxxxxxxx (-)X=(+)Y
I, yyyyYYYYYYyy I’ YYyyyyyyYYYY
(+)X=(+)Y (-)X=(-)Y
E, UUUUUUUUUUUU E’ UUUUUUUUUUUU
XXXXxxxxxxxx  + X=(-)Y XXXXXXXXxxxx (+)X= - Y
yyyyyyyYYYYY (-)X= + Y yyyyyYYYYYYY  - X=(+)Y
Die Aufstellung der acht Sätze ist nicht weniger als der direkt an Aristoteles anküpfende Neubeginn der Logik, sieht man einmal von den AEIO ab, die hier zunächst nicht weiter stören. Die vier allgemeinen Sätze A, A’ E, E’ mit ihren Äquivalenten gehen aus de Morgans Universen eindeutig hervor. Ebenso alle (nicht echten) Nebenbedeutungen der allgemeinen Sätze, die ich hier nicht dazugeschrieben habe, um das Bild nicht allzusehr zu verwirren. Nach dem Studium der Wahrheitswertetabelle (S. 63) können Sie de Morgan’s Universen nochmals untersuchen und werden auch die Nebenbedeutungen finden. Bei dem Satz 3 E’: - X=(+)Y, den de Morgan ebenso wie Satz 10 I’: (-)Y=(-)Y entdeckt hat, lassen sich nicht nur die beiden Seiten, sondern unabhängig davon auch die beiden Vorzeichen vertauschen: (+)X= - Y und - X=(+)Y. Diese von Satz 6 E,: + X=(-)Y und Satz 7 I,: (+)X=(+)Y bekannte und scheinbar rätselhafte Erscheinung ist nichts andres als die Ungleichung -X > -Y |*(-1), wobei der Teil zum Ganzen und umgekehrt wird und die für alle allgemeinen Sätze gleichermaßen gilt, etwa + X=(+)Y ergibt. (-)X= - Y , da +X < +Y |*(-1) = -X > -Y. Und da das Ganze größer als der Teil ist (-)X= - Y, "ein Teil von -X ist das ganze -Y". Jeder eingeschränkte Satz, der sich als 2 ganze sich schneidende Größen darstellen läßt, die in einer dritten, dem Universum enthalten sind, hat immer auch die anderen 3 als Nebenbedeutung. Deren Summe ist immer das Universum, der "komplex eingeschränkte", wie ihn de Morgan nennt. Das zweite universe für O’ und I’ ist eigtl. überflüssig, da aus beiden Universen alle vier Sätze ablesbar sind. Daß die Größen getrennt werden müssen, ist nicht tragisch. Die Größe "alle Menschen" ist ja auch nicht ein einziger Klumpen. Wichtig ist nur, daß die vier das Universum restlos ausfüllen.

Schreiben wir die Satzuniversen als Wahrheitswertetabelle. Sie wird spaltensweise so gelesen: Wenn E’ wahr ist, dann sind I, O, O’ auch wahr, aber auch das allgemeine Äquivalente, das de Morgan eben in der dritten Spalte seiner Tabelle Seite 61 aufgezeigt hat; ebenso die anderen fünf allgemeinen Äquivalente, für die er keine eigenen Namen hat. Februar 2018: Ich habe vergessen zu sagen, dass, wenn E’ wahr ist, E’ wahr ist. Und ebenso bei allen anderen. Diese Nachlässigkeit unterläuft auch anderen. Sie wird in der mathematischen Logik zu einem Abschneiden der oberen allgemeinen Hälfte der Tabelle führen. figs61.3 Wahrheitswerte von E’ bis I’ (1)
E’ A’ A, E, I, O, O’ I’
E’ w
A’ w
A, w
E, w
I, w w w w w w w
O, w w w w w w w
O’ w w w w w w w
I’ w w w w w w w

[62] Im ersten Schema A, gibt es zwölf Us, von denen die ersten fünf sowohl Xs als auch Ys sind, die nächsten drei Ys aber nicht Xs, die letzten vier weder Xs noch Ys. Dieser so konstruierte Fall, daß X)Y wahr ist, zeigt X.y und y)x.

Die Sätze A, und A’, X)Y und x)y kann man contranominal nennen, weil jeder Name das contrary des Namens im anderen Satz ist. Es scheint also, daß bei inkonvertiblen Sätzen contranominal und konvers Begriffe mit derselben Bedeutung sind, weil X)Y und y)x dasselbe sind und ebenso x:y und Y:X. Und da es natürlicher ist, von den direkten Namen zu sprechen als von ihren Gegenteilen, ist es das beste für A’ und O’ die Ideen Y)X und Y:X Alle Sätze sind als Satzgleichung "konvertibel". zu verwenden, aber nicht um ihre Ableitung aus x)y und x:y zu vergessen. Beachten Sie, daß jeder allgemeine Satz in seiner positiven Form konvertierte contranominals hat. So ist X)Y = y)x. Die Negation beider Satzteile funktioniert bei den beiden allgemein positiven Sätzen bei Vertauschung der X und Y. Daß die X und Y im Äquivalent vertauscht werden müssen, ist dagegen nur in de Morgans Formalismus notwendig, weil de Morgan nur eine Art der affirmative form, nämlich ")" kennt. Auch hier haben die Nachfolger eine neue copula: "(" hinzugesetzt und die "Algebra der Logik" mehr und mehr zu einem Kramladen gemacht. Und obwohl X.Y ist, ist es nicht y.x, bringen wir jedoch X.Y in die positive Form X)y, ist er äquivalent zu Y)x. Aus einem alten Manuskript: Da ist jedes Komma richtig, und das ohne den Formalismus! de Morgan bezeichnet den allgemein negativen Satz gelegentlich als in einer affirmative form ausdrückbar. Das ist aber die Ganzes:Teil-Beziehung (links Ganzes, rechts Teil), der allgemein negative Satz ist also nicht auf beiden Seiten allgemein. Bei den eingeschränkten Sätzen haben die negativen Formen dieselben Eigenschaften. Die contranominals der konvertiblen Sätze E, und I, haben eine völlig verschiedene Bedeutung. Sie wurden bis jetzt noch nie in die Logik eingeführt, und es werden einige Worte der Erläuterung angebracht sein.

Zunächst zu I’ oder x y. Wir drücken hier daus, daß einige nicht-Xs nicht-Ys sind oder daß es Dinge in dem Universum gibt, die weder Xs noch Ys sind. Das heißt, X und Y sind keine Gegenteile.des Herausgebers des Reprint von 1926: Say Komplemente, das heißt, füllen das Universum nicht aus, noch füllen sie es mehr als aus. Dann E’ oder x.y. Hier sagen wir, daß kein nicht-X nicht-Y ist oder daß alles im Universum entweder X oder Y ist oder beides. Die beiden letzten Wörten sind wichtig: Ließen wir sie weg, so kämen wir zu der Vorstellung daß bei x.y X und Y Gegenteile seien, was nicht notwendig wahr sein muß. "Ganz nicht-X ist Teil von Y", -X=(+)Y. Hier müssen wir dem Entdecker noch etwas Unbeholfenheit zugestehen, zumal er beides, negative Begriffe im gesprochenen Satz und die beiserseitige Quantifikation nicht zur Verfügung hat. Ich habe eine halbe Ewigkeit gebraucht, um den Satz in ein einigermaßen verständliches Deutsch zu bringen. Einige sagen, der Satz sei sinnlos, weil das ganze nicht-X von einer unbenennbaren Größe handelt. Dann ist aber die ganze Logik sinnlos, weil in jedem Äquivalent unendliche Größen stehen und der Satz nur wahr ist, wenn das Äquivalent wahr ist. Sagst du "Alle Menschen sind Tiere", so darf im ganzen restlichen Universum: Nicht-Menschen kein Stückchen Mensch mehr sein, denn das könnte ja eine Pflanze sein. Ob einem die negativen Begriffe dabei behagen oder nicht, spielt keine Rolle. Es ist so.

Folglich sind die acht Standardformen des Ausdrucks in bezug auf die Reihenfolge XY und dargestellt in einer Form, die möglichst bequem und einfach zu denken und auszusprechen ist, folgendermaßen:

figs62 Formulierung der 8 Sätze

A, oder X)Y Jedes X ist Y A’ oder Y)X Jedes Y ist X
O, oder X:Y Einige Xs sind nicht Ys O’ oder Y:X Einige Ys sind nicht Xs
E, oder X.Y Kein X ist Y E’ oder x.y Alles ist entweder X oder Y
I, oder X Y Einige Xs sind Ys I’ oder x y Einige Dinge sind weder Xs noch Ys

Kommen wir zurück auf die Tabelle (S. 61), so sehen wir jetzt folgende allgemeine Gesetze. 1. Jede Triade von Äquivalenten (gut! Ich schwörs bei Gott, glaubte ich an ihn, daß ich den Begriff Äquivalent hatte, bevor ich de Morgan kannte!) enthält zwei Inkonvertible und eine Konvertible. 2. Jede der acht Formen spricht bei den Vieren X, Y, x, y von [63] jeweils Zweien allgemein und von Zweien eingeschränkt. 3. Ein Satz spricht verschieden von jedem Namen und seinem Gegenteil, universell vom einen und partikulär vom andern. 4. Die im gewöhnlichen Sinne kontradiktorisch genannten Sätze, mögen hier in einem anderen Sinn so genannt werden, denn sie sprechen in der gleichen Weise von Gegenteilen. So spricht X)Y allgemein von X und partikukär von Y. Seine Verneinung X:Y oder y:x spricht allgemein von x und eingeschränkt von y.

Und es ist klar, daß die acht Formen entweder nicht zusammen sein können oder daß die eine sein muß, wenn die andere ist oder daß die eine mit oder ohne die andere sein kann. Die Möglichkeiten für jeden Fall sind in der folgenden Tabelle dargestellt.

figs63.1 Wahrheitswerte der 8 Sätze (2)

verneint enthält ist indifferent zu verneint ist enthal- ten in ist indifferent zu
A, O, E, E’ I, I’ A’O’ O, A, E, E’ A’ O’ I, I’
A’ O’ E’ E, I’ I, A,O, O’ A’ E’ E, A, O, I’ I,
E, I, A, A’ O,O’ E’ I’ I, E, A, A’ E’ I’ O,O’
E’ I’ A’ A, O’O, E, I, I’ E’ A’ A, E, I, O’O,

Ich schreibe auch diese Tabelle einmal als Wahrheitswertetabelle in den Text. Verneint=f, (enthält und ist enthalten)=w, indifferent=i, benutze aber die Reihenfolge der Sätze wie in der Größenlogik (3 bis 10), weil die contranominals den Eindruck vermitteln, sie hätten etwas miteinander zu zun, was nicht der Fall ist. Die Wahrheitswerte werden spaltenweise von oben nach unten gelesen, bei "ist enthalten" von links nach rechts. 2018: Die Diagonale E’E’ bis I’I’ ist mit den Wahrheitserten w zu füllen, da jeder Satz sich selbst gleich ist. Aber das Weglassen der oberen Wahrheitswerte wird ab nun zur Tradition. figs63.2 Wahrheitswerte der 8 Sätze (3)

E’ A’ A, E, I, O, O’ I’
E’ f f i i f
A’ f i f i i
A, f i f f i
E, i f f f i
I, i w w f i i i
O, w i f w i i i
O’ w f i w i i i
I’ f w w i i i i

Alle Wahrheitswerte "w" und "f" sind richtig, die "i" nicht. Sie sind in den unteren vier Zeilen für alle Sätze für alle stets "w", in den oberen vier Zeilen stets "f". Daß alle Sätze mit sich selbst identisch und damit "w" sind, ist klar. Die Indifferenz bei den vier allgemeinen in den vier unteren Zeilen sind genau die "eingeschränkten Sätze mit allgemeiner Nebenbedeutung", ein Irrtum, dem ich jahrelang aufgesessen bin. De Morgan hätte bei seinen Satzuniversen bleiben sollen und aus ihnen dierekt die Wahrheitswerte ablesen müssen. Vermutlich erfindet er die "Indifferenz" für die Konstruktion der Sätze 1 und 2. Jetzt wird vieles umständlich aber auch vieles Neues<-irgendwas in dem Sinn nur in Deutsch!! 2021 entdecke ich, dass de Morgan als Erster die verschiedenen Bedeutungen des Partikulären erkennt und formuliert.

Ein Satz, der völlig indifferent ist, sei ein concomitant (Begleiterscheinung). Begriffe de Morgans, die ich nicht in meinen logischen Sprachgebrauch übernehme, lasse ich unübersetzt. Teilweise stimme ich nicht überein, teilweise ist de Morgan meinem Ansatz überlegen oder besser: voraus; nämlich da, wo er Satz- und Größenlogik (Prädikatenlogik und Syllogistik) in Eins bringt, weil de Morgan nicht mal eben von der inneren Struktur des Satzes absieht. Teilweise aber sind seine Begriffe auch mehrdeutig. Concomitant kann auch die stets geltende Nebenbedeutung eines Satzes sein. Dann scheint es, daß jeder allgemeine Satz als concomitants wenigstens sein contranominal und dessen Gegenteil hat; aber jeder eingeschränkte Satz hat alle als concomitants, außer sein eigenes Gegenteil. Jeder allgemeine verneint neben seinem eigenen Gegenteil die beiden allgemeinen mit entgegengesetzten Namen und enthält die beiden eingeschränkten mit dem gleichen [entgegengesetzten] Namen. Die beiden concomitants eines allgemeinen können als sein allgemeines und eingeschränktes concomitant bezeichnet werden.

Es ist eine gewisse Wiederholung in der Wahl unserer vier Formen, die mit den vier XY, Xy, xy, xY kombiniert werden. Wenn irgend eine der vier Formen A, E, A’ E’, auf sie alle angewandt wird, ergibt es die vier Formen abgeleitet aus aus XY. So ergibt der A, mit XY, Xy, xy, xY alle vier A, E, A’ und E’ aus XY. Und der E’ mit XY, Xy, xy, xY ergibt die E’ A’ E, A, aus XY usw.

Setzen wir für ")" in alle Verbindungen zwischen X und Y: + =(+) ein, so ergibt sich: figs63.3 Das Positive und das Negative in den 8 Sätzen
de Morgan Größenlogik
X)Y A, ++X=(+)+Y; +X=(+)Y
X)y E, ++X=(+)-Y ; +X=(-)Y
x)y A’ + -X=(+)-Y ; -X=(-)Y, Äquivalent von (+)X=+Y
x)Y E’ + -Y=(+)+Y ; -Y=(+)Y
Setzen wir für "." in alle Verbindungen zwischen X und Y: (+)= - ein, so ergibt sich:
X.Y E’ (+)+X=+-Y ; (+)X=-Y
X.y A’ (+)+X=--Y ; (+)X=+Y
x.y E, (+)-X=--Y ; (-)X=+Y
x.Y A, (+)-X=-+Y ; (-)X=-Y, Äquivalent von +X=(+)Y
De Morgan fährt fort:

Zur Übung wird es nützlich sein, das obige und mehr noch die Fälle, die im folgenden enthalten sind, zu prüfen.

Es gibt vier Dinge in einem Satz, die alle in ihr Gegenteil umgewandelt werden können: Subjekt, Prädikat, Reihenfolge und Kopula. Es sei S die Richtung, das Subjekt in sein Gegenteil zu ändern, P [64] das gleiche für das Prädikat. T sei die Richtung, die Reihenfolge umzuwandeln; und F sei die Richtung, die Form aus affirmativ in negativ oder aus negativ in bejahend zu ändern. Wenn T auftritt, sei diese Änderung bereits vollzogen, um Verwirrung zu vermeiden. S ergibt SPT, auf X)Y angewandt zunächst x)Y aus S, dann x)y aus P und y)x aus T, was wieder X)Y ist, so daß die Umwandlung von Subjekt, Prädikat und Reihenfolge überhaupt keine Umwandlung ist.

SPT mit  + X=(+)Y
SP  - X=(-)Y
T  - Y=(-)X
(-)X= - Y
ergibt das Äquivalent des Ausgangssatzes, aber aus dem Äquivalent eines ganz anderen Satzes. Da wollen wir vorsichtig sein. Denn daraus müßte ein logisches Gesetz "zweimal unwahr ist wahr gefolgert" werden.

Es sei L die Repräsentation von überhaupt keiner Änderung. Um die äquivalenten Änderungen zu untersuchen, beachten Sie erstens, daß F und P allein identisch sind [Identitäten ergeben].

F, das angeblich den Satz als ganzes durch "ist" nach "ist nicht" negiert und P, das die rechte Seite von +Y nach -Y negiert, seien dasselbe.

So ergibt F auf X.Y angewandt X)Y, und P auf X.Y ergibt X.y. Und X)Y = X.y.

F mit  + X=(-)Y
F  + X=-(-)Y=(+)Y ist nicht erlaubt
mit (-)X= + X
F (-)X= -+X= -X das Äquivalent von X)Y
P mit  + X=(-)Y
P  + X=(-)-Y=(+)Y der Satz 5 selbst oder X)Y
Die Operation F gelingt, wenn wir das Äquivalent von Satz 6 nehmen, weil die Negation von (-)Y in -(-)Y keine eindeutige Größe ist, nicht (+)Y ergibt. Die Frage, warum aus Satz 6 Satz 5 "werden" soll, stellen wir hier nicht.

Diese vollkommene Identität der Auswirkung von F und P, ergibt sich in allen Kombinationen, in denen T nicht auftritt. Aber wenn T auftritt, dann sind S und F identisch. So ergibt ST, auf Y)X angewandt X)y oder X.Y. Und FT, auf Y)X angewandt, ergibt X.Y.

ST mit  + Y=(+)X
S  - Y=(+)X Satz 3 und nicht Satz 6
mit  -(-)Y= - X nicht erlaubt, da -(-)Y nicht eindeutig
mit (-)-Y= - X wieder Satz 3 und nicht Satz 6
T (+)X= - Y wieder Satz 3 und nicht Satz 6
FT mit  + Y=(+)X
F  + X=-(+)Y nicht erlaubt
F  + X=(+)-Y=(-)Y
T  + X=(-)Y
Es ist klar: Solange wir nicht wissen, was die "Negation eines Satzes" von "ist" in "ist nicht" bedeutet und zweierlei Negationen "ist/ist nicht" und "+X-X" nebeneinanderherlaufen, ist der Formalismus nicht eindeutig. Außerdem ist nicht einsichtig, warum man aus einem Satz, etwa "Alle Menschen sind Tiere" durch "S" den Satz "Alle Nicht-Menschen sind Tiere" oder "Alle Menschen sind Nicht-Tiere" machen sollte. Das ist noch mehr Experimentieren mit einem noch nicht ausgereiften Formalísmus.

Der Grund dafür ist, daß T Subjekt und Prädikat vertauscht, so daß F nach T eine Änderung vornimmt, die durch die Änderung des ehemaligen Subjekts ausgeglichen wird. Entspechend erinndern Sie sich, daß jede zweifach durchgeführte Operation überhaupt keine Operation (so ist PP gleich L, und TT ist L), dann haben wir alle Fälle.

P=F, SP=SF, PF=L, SPF=S ST=FT, SPT=FPT, SFT=T, SPFT=PT

die Sie zur Übung ausprobieren sollten. Weiter, in einem konvertiblen Satz ist die Transformation keine Änderung oder T=L. In einem inkonvertiblen ändert die Transformation den Satz in sein contranominal, oder T=SP. Oder so ausgedrückt: L ist in einem konvertiblen Satz T, was im inkonvertiblen Satz SP ist; was wiederum in konvertiblen Sätzen SPT ist; was wiederum in inkonvertiblen TT ist oder L. Schreiben Sie sich diese so auf, daß unter ihnen ihre Äquivalente stehen, die oben gezeigt wurden.

L T SP SPT L
PF SFT SF PFT PF

Die untereinandergeschriebenen Kombinationen sind in der Auswirkung immer dieselben. Die durch Doppellinien getrennten haben die gleiche Auswirkung Konvertiblen. Die durch einfache Linien getrennten haben den gleichen Effekt bei Inkonvertiblen. Noch einmal, P bei Konvertiblen ist das gleiche wie PT, was für Inkonvertible das gleiche ist wie PSP oder S, was wiederum für Konvertible das gleiche wie ST ist, was für Inconvertible SSP pder P ist. Werden diese wie die eben genannten behandelt, ergibt sich:

[65]
P PT S ST P
F SPFT SPF FT F

In diesen beiden Zyklen stehen L und alle 15 Kombinationen, die aus S, P, F, T gemacht werden können. Und jeder mögliche Fall äquivalenter Änderungen ist in diesen beiden Tabellen enthalten. So ist PT in allen Fällen äquivalent zu SPFT; in konvertiblen Fällen zu P und F, in inkonvertiblen zu S und SPF. Und keine andere Kombination ist jemals äquivalent zu PT. Beachten Sie bei der Überprüfung dieser Tabellen, daß F immer in der unteren Zeile erscheint und nie in der oberen; und daß diese Operation Konvertible in Inkonvertible ändert und vice versa. Also müßten wir erwarten, daß die Äquivalente, die F enthalten, auf Inkonvertible angewandt, die ergeben, die ohne F auf Konvertible angewandt werden und vice versa. Und so finden wir zum Berispiel, daß SPFT und SPF äquivalent sind, wenn sie auf Inkonvertible angewandt werden; streiche das F, und wir haben SPT und SP, die äquivalent sind bei Konvertiblen.

Es scheint also, daß jede Änderung, die in einem Satz gemacht werden kann, auf L, P, S oder PS hinausläuft. Ich verzichte darauf, die Tabellen de Morgans mit dem Formalismus der Größenlogik nachzuvollziehen, weil das wie das berühmte "logische Quadrat" nur eine Systematik vortäuschen würde, wo keine ist. Bei den zahllosen Versuchen, die der Entdecker de Morgan geht, seine Entdeckungen in einen einheitlichen Formalismus zu gießen, ist es nur natürlich, daß dabei auch weniger geeignete Wege sind. Außerdem hat er ja oben schon gezeigt, daß auch mit den Regeln der Größenlogik alle drei anderen aus einem allgemeinen Satz abgeleitet werden können. Die Frage, ob es einen "Sinn" ergibt, nur eine Seite einer Gleichung mit einem Vorzeichen zu multiplizieren, stellen wir uns nicht und begnügen uns damit, daß etwa +X=(+)Y und +X=(-)-Y tatsächlich identisch sind, weil ein Nicht-Teil vom Nicht-Y ein Teil vom +Y, also (+)Y sein muß, wenn die Welt aus +Y und -Y besteht. Das ist eine andere Verifikation der vorstehenden Tabelle, denn alle vier Formen können abgeleitet werden, indem die angewandt werden, die sich auf XY in den Fällen Xy, xY, und xy beziehen.

Wir haben gesehen, daß A, und A’ beide I, und I’ enthalten, und daß E, und E’ beide O, und O’ enthalten. Folglich kann jeder allgemeine Satz als die strengthended form (verstärkte Form) seiner beiden eingeschränkten mit dem gleichen Vorzeichen bezeichnet werden. Und jeder eingeschränkte als die weakened form (abgeschwächte Form) seines allgemeinen mit dem gleichen Vorzeichen. Die weakened form ist die Nebenbedeutung des allgemeinen Satzes, die stets zutrifft, sobald er zutrifft. Umgekehrt trifft der allgemeine Satz nicht unbedingt zu, wenn der eingeschränkte Satz zutrifft. Das strengthening nur dann erlaubt, wenn der allgemeine Satz feststeht. 2021: Ab S. 65 belehrt mich de Morgan über das weakenige und strengthening eines Besseren. Der einzige Unterschied, der zwischen den beiden konvertiblen Formen des eingeschränkten Satzes XY und YX, xy und yx zu sein scheint, ist, daß die strengthened forms, die aus der Ausdehnung des Subjekts abgeleitet werden, unterschiedlich sind. So ergibt xy x)y oder Y)X; aber yx ergibt y)x oder X)Y.

Eine komplexer Satz beinhaltet die Bejahung oder Verneinung aller acht einfache Sätze. Wären diese acht Sätze alle concomitants oder einige wären wahr und einige falsch, dann gäbe es 256 Möglichkeiten des komplexen Satzes. Aber wie in der Tabelle auf Seite 63 zeigt, gibt es nur sieben.

[66] Als erstes sei das Verhältnis der Namen X und Y so, daß keiner der vier allgemeinen zutrifft. Dann sind alle vier eingeschränkten Sätze wahr. Nennen wir diesen Satz den komplex eingeschränkten und bezeichnen ihn mit P. Wenn wir die Koexistenz einfacher Sätze durch + zwischen den verschiedenen Buchstaben kennzeichnen, dann haben wir

P = O’ + O, + I’ + I, "+" ist beides, Summe und Koexistenz. Die Summe aller vier echten eingeschränkten Sätze ist stets das All, und jeder der drei anderen trifft zu, sobald der vierte zutrifft. Soll das "+" nur Koexistenz bedeuten, so sind es vier Sätze und nicht einer. Soll es ein Satz sein, so ist es das All und damit für die Logik nicht zu gebrauchen.

Dieser Fall tritt in der Theorie der Syllogismen sehr selten auf.

Als nächstes sei einer der allgemeinen Sätze wahr. Dann sind fünf andere durch Bejahung oder Verneinung gekennzeichnet [siehe die Wahrheitswertetabelle Seite 62]. Es bleiben zwei concomitants, die kontradiktorisch sind, so daß nur eine von beiden wahr sein kann. Mit Ausnahme des komplex eingeschränkten Satzes muß jeder komplexe Satz aus der Koexistenz eines allgemeinen Satzes und einer seiner concomitants bestehen. Aber deshalb gibt es nicht acht weitere solcher Sätze, denn A’+A, und A,+A’ sind dasselbe, ebenso E,+E’ und E’+E,. Es bleiben also sechs übrig. Es sind dies
A,+O’ A,+A’ A’+O,
E,+I’ E,+E’ E’+I,

Sie müssen getrennt untersucht werden.

Nimm zuerst A,+A’ (die Reihenfolge XY im wohlverstandenen Sinne). Dann haben wir X)Y und Y)X. Das bedeutet, es gibt überhaupt keinen Gegenstand, der einen dieser Namen hat, den nicht auch der andere hätte. Die Namen X und Y sind in diesem Fall identisch, nicht als Namen, sondern in ihrer Anwendung. Wo immer der eine angewandt werden kann, kann es der andere. So sind in der Geometrie (das Universum sei ebene gradlinige Figur) gleichseitig und gleichwinklig identische Namen. Nicht, daß sie in der Etymologie oder der Bedeutung übereinstimmten, mehr noch, nur wenige Wörter könnten den ersten erklären, während der zweite für viele nicht ohne Schwierigkeit verständlich wäre. Aber sie stimmen darin überein, daß jede Figur, die das Recht hat den einen Namen zu tragen, dasselbe Recht hat, auch den anderen zu tragen. Wir werden in diesem Fall X ein Identisches von Y und Y ein Identisches von X nennen. Das Symbol der Identität sei D. Dann haben wir

D = A, + A’

Die Erklärung oder gar "Definition" des einfachsten logischen Satzes, der Identität von +X und +Y + X = + Y aus
+ X =(+)Y "und" (+)X= + Y
ist ja logisch so ein Ding. Das "+" in D = A, + A’ kann weder als Summe, noch als gleichzeitiges Zutreffen verstanden werden. Selbst wenn du auf die beiderseitige Quantifikation verzichtest, X und Y vertauschst und dann sagst: Wenn "Alle X sind Y", und "Alle Y sind X" zutreffen, so müssen +X und +Y identisch sein, dann ist das für "gleichzeitiges Zutreffen" nur dann Identität, wenn du im ersten Satz rechts "alle Y" und im zweiten rechts "alle X" voraussetzt. Andernfalls redest du Unsinn, weil als Alternative nur noch "einige Y" und "einige X" übrigblieben und damit die Identität ausgeschlossen wäre. Faßt du das "+" als Summe auf, so erhältst du die doppelte Größe des Satzes: 2(+X=+Y). Die Ablehnung der beiderseitigen Quantifikation der Logiker nimmt hier ein wenig groteske Züge an.

[67] Als nächstes nimm A, und O’. Dann haben wir X)Y und X:Y. Jedes X ist Y, und soweit ist es die Eigenschaft der Identität. Aber einige Ys sind nicht Xs. Es gibt mehr Ys als Xs, und X macht vor einem vollständigen Anspruch auf Identität mit Y halt. X sei ein subidentical von Y genannt (so ist Mensch ein subidentical von Tier), und D, bezeichne diesen Fall. Dann ist

D, = A, + O’ Das gleichzeitige Zutreffen von A, und O’ hat de Morgan schon vollständiger als hier in der Wahrheitswertetabelle gezeigt. Dort fehlt nur noch das Zutreffen von A, mit sich selbst und die Korrektur der beiden "i". Außerdem fehlt das Äquivalent, das aus dem Satzuniversum noch ablesbar ist.

Als nächstes sei A’ und O, . Dann haben wir Y)X und X:Y. Jedes Y ist X, und soweit herrscht Identität. Aber einige Xs sind nicht Ys, es gibt mehr Xs als Ys, oder X geht über einen Anspruch auf Identität mit Y hinaus. X sei nun ein superidentical von Y genannt und mit D’ bezeichnet. Dann ist

D’ = A’ + O,

Die Begriffe superidentical und subidentical sind offensichtlich korrelativ. Wenn X der eine von Y ist, ist Y der andere von X.

Nun wollen wir E, + E’ betrachten. Wir haben dann X.Y und x.y. Es gibt nichts, was sowohl X und Y wäre, und es gibr nichts, was keines von beiden wäre. Folglich sind X und Y Gegenteile und füllen das Universum aus. Diese Beziehung sei durch C bezeichnet. Dann ist

C = E, + E’

Die Herleitung der Identität von +X und -Y durch +X=(-)Y "und" -X=(+)Y scheint noch absurder als die bei "D", ist aber "nur" gleich absurd ("Alle X sind nicht Y, und alle Nicht-Y sind X"). Dabei wäre es für de Morgan kein Problem gewesen, die beiden Sätze so einfach, wie sie sind, mit seinem universe darzustellen: figs67 Die 2 noch fehlenden Universen
D UUUUUUUUUUUU
XXXXxxxxxxxx +X = +Y
YYYYyyyyyyyy -X = -Y
C UUUUUUUUUUUU
XXXXxxxxxxxx +X = -Y
yyyyYYYYYYYY -X = +Y
Nur wäre die Unterscheidung zwischen den subs und supers wieder überflüssig, weil Satz und Äquivalent das Universum restlos ausfüllen.

Als nächstes nimm E,+I’. Wir haben dann X.Y und xy. Nichts ist beides X und Y, aber es gibt Dinge, die weder X noch Y sind. X und Y sind vollkommen voneinander getrennt, aber sie belaufen sich nicht auf Gegenteile, weil sie das Universum nicht ausfüllen. Sie seien subcontraries genannt (so sind im Universum Metall, Gold und Silber subcontraries) und C, bezeichne diese Beziehung. Dann ist

C, = E, + I’

Als letztes nimm E’+I,. Wir haben x.y und XY. Die Namen füllen das Universum; denn es gibt nichts, was entweder X oder Y ist. Mehr noch, sie überfüllen es; denn einige Dinge sind Xs uns Ys. Es gibt also ein vollständiges Gegenteil und noch mehr. X und Y seien supercontraries genannt, Die supercontrary-Beziehung trifft man nicht oft an, obwohl sie für vollständiges System des Syllogimus wesentlich ist. Das andere Stück des supercontrary oder des subidetical, ist so sehr das einfachste all unserer Komplexen Beziehungen, daß die letzteren den ersteren kaum gestatten aufzutreten. Das erste Beispiel, das mir dazu einfiel, war Mensch und irrational (wobei von der Qualität der Individuen und nicht der Art die Rede ist) im Universum Tier. Sie überfüllen das Universum, weil Idiot beiden gemeinsam ist. Aber es ist natürlicher zu sagen, daß rational (in diesem Sinne) subidentical zu Mensch ist. und C’ bezeichne diese Relation. Dann haben wir

C’ = E’ + I,

[68] Um unsere Sprache zu vervollständigen, sei A, in bezug auf die Reihenfolge XY sub-affirmativ genannt; und A’ oder Y)X superaffirmative. Das ist ein wenig kurios: Denken dürfen wir die Reihenfolge XY, aber sagen nicht.<-abschwächen! E, sei subnegative genannt, und E’ oder x.y supernegative. Die eingeschränkten Sätze sollen auch diese verschiedenen Namen tragen.

De Morgan's Sprachgebrauch kann hier nicht ganz einheitlich sein. Dennoch ist eine grafische Veranschaulichung ganz hilfreich. figs68.1 De Morgan’s sub- und super-identities Die linke Seite stellt beide Größen gleichzeitig dar, während die rechte nur von den kleineren Kreisen handelt, so de Morgan. In Wahrheit stellen beide das gleiche dar, jeder "einfache" Satz ist komplex. Und zwar so komplex, wie ein Satz nur sein kann, denn jeder logische Satz stellt mit seinen Nebenbedeutungen und seinem Äquivalent das All dar. Die wirklich einfache Darstellung jedes Satzes ist ein einziger Kreis. Das funktioniert aber nur, wenn beide Seiten quantifiziert werden, sonst muß zur Klarstellung immer der überstehende nicht zum Satz gehörige Teil mitgezeichnet werden. Die wirklich komplexe und die wirklich einfache Darstellung der Sätze sieht so aus: figs68.2 Die 7 komplexen Universen und einfachen Sätze Jeder Satz ist einfach, und jeder Satz ist komplex. "Komplex" bedeutet nichts anderes, daß, wenn der Satz gilt, notwendig eine, zwei oder drei andere Sätze gelten, deren Summe (wörtlich!) stets das All ist. Die Komplexität der Sätze 3 bis 6 besteht aus dem Satz, dem Äquivalent und dem Teil, der weder Satz noch Äquivalent ist: 3 Teile. Die Komplexität von Satz 1 und 2 ist zugleich deren Komplement, das heißt Satz und Äquivalent sind als Summe das All: 2 Teile. Die Komplexität des echten eingeschränkten Satzes sind immer alle 4 echten eingeschränkten Sätze, die ebenso zusammen das All sind: 4 Teile. Es gibt einen Satz, zwei Sätze, drei Sätze usw. Einen Satz, der zwei oder drei Sätze ist, gibt es nicht. Was de Morgan meint, ist, daß jeder Satz eine, in Wahrheit mehrere immer geltende Bedeutungen hat. Jeder Satz ist einfach, spricht nur genau von der einen Größe des Satzes, dieses da als "alle Menschen" und den mit diesen identischen "Teil der Tiere". De Morgan hat nicht recht, wenn er sagt, die bisherige Logik habe bisher stets einfache Sätze betrachtet. Die bisherige Logik hat sich nur nicht wie de Morgan Rechenschaft darüber abgelegt, daß bei der Betrachtung des log. Satzes "alle Menschen sind Tiere" mehrere Teile zu betrachten und zu unterscheiden sind. Im Gegenteil muß man sogar sagen, daß die bisherige Logik die Sätze als "komplexe Sätze" behandelt hat, indem sie stets die beiden ganzen Größen +Menschen und +Tiere als die beiden Satzteile behandelt hat, den "überstehenden Teil" als zum Satz gehörig. Ausnahmslos alle zeichnerischen Darstellungen aber auch der philosophische Firlefanz um die "unteilbaren Begriffe" zeigen die beiden ganzen Größen und behaupten, dies sei die Darstellung von "alle Menschen sind Teil der Tiere". Dabei ist es genau das, was de Morgan als "komplexen" Satz bezeichnet, eine logische Ungenauigkeit, nämlich einen Satz mit nur einer von mehreren Nebenbedeutungen. 2021 Dass bei Satz 6 als All nicht die gewohnte Darstellung zweier Getrennter zu sehen ist, ist kein Fehler. Die getrennte Darstellung eines allgemeinen Satzes ist nur eine von drei, bei den Sätzen 1 und 2 sogar von vier Darstellungen (..c/L21/L21-10.html).

Diese Erweiterung unserer Sprache erfordert ein wenig Erläuterung.

Wenn ich sage, daß X ein subidentical von Y ist, dann meine ich damit, daß die etymologischen Suggestionen befriedigt sind. Der ganze Name X und mehr ist im Y enthalten. Aber wenn ich sage, daß X ein subaffirmative von Y ist, oder X)Y, dann meine ich damit nicht mehr, als daß wir einen Satz haben, dessen Form nicht superaffirmative, gemäß der Etymologie dieses Wortes, ist. Ein Algebraiker würde den Unterschied auf einen Blick erkennen. Er muß oft zwischen einem Fall unterscheiden, in dem a kleiner als b ist und dem, in dem a kleiner oder gleich b ist, also zwischen dem Fall, in dem die äußerste Grenze der Behauptung nicht eingeschlossen ist und dem, in dem sie eingeschlossen ist.

Weiter, das Wort negativ hätte man besser nicht so oft als die Exklusion der ersten Idee als die Inklusion in das Gegenteil ansehen sollen [Prima!]. So gibt ein allgemeines subnegative die Vorstellung der vollständigen Einschließung in das Gegenteil, womit möglicherweise der äußerste Fall gemeint ist, nämlich daß die subnegative Namen aus Gegenteilen besteht. Weiter, supernegative suggeriert die Idee des supercontrary, möglicherweise mit dem schwächsten Extrem eingeschlossen, der Beziehung of contrary.

Zur Einübung dieser Sprache und der Ideen, die sie wiedergeben will, stelle ich nun die folgenden Untersuchungsergebnisse auf.

Allgemeine Bejahung (universal affirmation), obwohl bereits ein allgemeiner Begriff, soll super- und subaffirmation einschließen. Wird jedoch nur einer der drei betrachtet und vom Rest unterschieden, dann bedeutet er Idenität. Das gleiche gilt für die Negation und contrariety (Gegenteiligkeit ). Subidentity verlangt allgemeine subaffirmation und eingeschränkte supernegation. Identität ist allgemeine sub- und superaffirmation. Superidentity erfordert allgemeine superaffirmation und eingeschränkte subnegation. Subcontrariety erfordert allgemeine subnegation und eingeschränkte superaffirmation. [69] Contrariety ist sowohl allgemeine sub- als auch supernagation. Supercontrariety erfordert allgemeine supernegation und eingeschränkte subaffirmation. Weiter, allgemeine subaffirmation ist entweder subidentity oder identity. Eingeschränkte subaffirmation ist die Verneinung von contrary und subcontrariety. Allgemeine superaffirmation ist entweder superidentity oder identity. Eingeschränkte superaffirmation verneint contrariety und supercontrariety. Allgemeine subnegation ist entweder subcontrariety oder contrariety. Eingeschränkte subnegation verneint subidentity und identity. Allgemeine supernegation ist entweder supercontrariety odercontrariety. Eingeschränkte supernegation verneint superidentity und identity. Das alles wird durch die folgende Tabelle ausgedrückt:
D, bejaht A, und O’ A, bejaht D, oder D
D " A, und A’ A " D, oder D oder D’
D’ " A’ und O, A’ " D’ oder D
C, " E, und I’ E, " C, oder C
C " E, und E’ E " C, oder C oder C’
C’ " E’ und I, E’ " C’ oder C
Verneinung von D, bejaht A’ oder O, O, verneint D, und D
" D " O’ oder O, O " D, und D oder D’ und D
" D’ " A, oder O’ O’ " D’ und D
" C, " E’ oder I, I, " C, und C
" C " I’ oder I, I " C, und C oder C’ und C
" C’ " E, oder I’ I’ " C’ und C

Nehmen wir zunächst die beiden linken Quadranten durch, und zwar die jeweiligen D, und Verneinung von D, D und Verneinung von D usw. Wir beharren stur wie ein Bauer darauf, daß "Verneinung" nur einen einzigen Sinn hat, nämlich aus +A -A zu machen oder von der Größe +A und dem Rest der Welt -A zu sprechen. Die Bejahung von D, sei D, selbst, also die beiden Sätze A, und O’ usw. Verneinung sei "-" und bedeute die Multiplikation der Gleichung mit "-1". Beide Seiten der Gleichung werden also mit "-1" malgenommen. Einschränkung: Das "-" stehe bei jedem Teilprodukt immer direkt vor der Größe A oder B. Dann erhalten wir (obere Zeile de Morgan, die unteren größenlogisch):
- D, = -[A, & O’] = -A, | -O’ = A’ - O,
- [ + A=(+)B & (-)A=(+)B] =  +-A=(+)-B | (-)-A=(+)-B
=  - A=(-)B | (+)A=(-)B
= (+)A= + B | (+)A=(-)B

Das trifft zu bis auf Satz 1: +A=+B, der weder Satz 4, noch Satz 8 ist. Auch ist fraglich, ob eine Multiplikation von "Alle Menschen sind Tiere" in "Ein Teil der Menschen sind alle Tiere" zulässig ist, auch wenn am Schluß ein richtiges Ergebnis "herauskommt", das wäre die logische Regel "zweimal falsch ist wahr". Die beiden zweiten Zeilen der linken Quadranten: Beim Nichtzutreffen der Identität +A=+B, trifft entweder Satz 8 oder Satz 9 zu. PROBLEM: Die Negation von Satz 1 ist Satz 1, Zutreffen und nicht Nichtzutreffen! Das Gleiche, nur mit vertauschten Seiten, würde aber bei der Multiplikation von Satz 4 und Satz 5 passieren! Das stimmt in allen Fällen, aber das gleichzeitige Zutreffen von Satz 4 und Satz 5, A’ und A, gibt es in der Größenlogik nicht. Nun die beiden dritten Zeilen:
- D’= -[A’ & O,]=-A’ | -O,= A, | O’
- [(+)A= + B & (+)A=(-)B] = (+)-A=+-B | (+)-A=(-)-B
= (-)A= - B | (-)A=(+)B
=  + A=(+)B | (-)A=(+)B
Das trifft ebenfalls mit Ausnahme von Satz 1 zu. Daß aber aus der Multiplikation von Satz 4 mit "-1" Satz 5 werden sollte, ist schwer nachvollziehbar. Auch brächte es den Formalismus, nach dem "-1": "alles außer" bedeutet, durcheinander. Aber weiter, die vierten Zeilen:
- C, = -[E, & I’] = -E,& -I’ = E’ | I,
-[ + A=(-)B & (-)A=(-)B] = + -A=(-)-B | (-)-A=(-)-B
= - A=(+)B | (+)A=(+)B
Das trifft zu bis auf Satz 2, der weder Satz 3 noch Satz 7 ist, wenn auch hier schwer vorstellbar ist, daß die Multiplikation mit "alles außer" Satz 6 den Satz 3 hervorbringen soll. Die fünfte Zeile E, und E’ gibt es wieder nicht in der Größenlogik. Aber es stimmt: Beim Nichtzutreffen der Identität +A=-B, treffen der Satz 7 oder der Satz 10 zu. Multiplikation von Satz 2 mit "-1" ergibt jedoch wieder Satz 2 selbst, von E, und E’ E’ und E,. Nun die beiden letzten Zeilen:
- C’=-[E’ & I,]=-E’ | -I,= E, | I’
- [(+)A= - B & (+)A=(+)B] = (+)-A= + -B | (+)-A=(+)-B
= (-)A= + B | (-)A=(-)B
Trifft ebenfalls nicht auf Satz 2 zu, weil der nicht Satz 10 ist. Lassen wir also die beiden Sätze der Identität, Satz 1 und Satz 2 weg, so treffen die de Morgan'schen Regeln zu, wenn wir die Rechenregeln aus BERECHNUNG der Größenlogik anwenden. Allerdings führen wir Multiplikationen mit Größen ungleich +1 von nur einer Seite einer Gleichung durch. Etwas Richtiges wird über den Zwischenschritt mit etwas Falschem "erreicht". Die beiden rechten Quadranten nehme ich erst einmal nicht durch, weil die "komplexen" Sätze de Morgans mehrere Sätze zugleich sind. Oktober 2018 Soviel ist aber bereits klar, der eine de Morgan’sche Satz -(a & b) = (a | b) hat einen kleinen Fehler, weil er nicht alle möglichen Fälle umfasst. 2021: Den kleinen Fehler hat de Morgan im rechten unteren Quadranten behoben, siehe Kommentar zu Seite 69 des Originals.

Jedes subidentical eines Namens ist das subcontrary seines contrary; Jedes subidentical eines Namens ist das subcontrary seines contrary: Das bedeutete entweder +A=(-)A, was Unsinn ist, oder de Morgan meint "jedes subidentical eines Satzes usw." jedes subcontrary ist das subidentical des contrary. Behandle das Wort contrary als negativ, das Wort identisch als positiv, und die beiden seien unterschiedliche Zeichen. Dann gilt die algebraische Regel, "gleiche Zeichen ergeben ein Positives, ungleiche Zeichen ein Negatives", in jedem Fall, einschließlich der Spielarten des wohlbekannten "zwei Negative ergeben ein Positives". Wenn die ändernde Präposition zuerst kommt, muß sie beibehalten werden, kommt sie an zweiter Stelle, muß sie geändert werden. So ist das subcontrary eines contrary ein subidentical; aber das contrary eines subcontrary ist ein superidentical. Fügen wir aber zwei Beziehungen zueinander, so sind wir beim Syllogismus angelangt, wie wir bald sehen werden.

Die folgenden Tabellen zeigen in verschiedener Reihenfolge und Auswahl eine Verbindung zwischen den Ausdrücken, deren Verifizierung nützlich sein mag.

[70]
XY YX xY Yx Xy yX xy yx
A, O’ D, A’ O, D’ E’ I, C’ E’ I, C’ E, I’ C, E, I’ C, A’ O, D’ A, O’ D,
A’ O, D’ A, O’ D, E, I’ C, E, I’ C, E’ I, C’ E’ I, C’ A, O’ D, A’ O, D’
E, I’ C, E, I’ C, A’ O, D’ A, O’ D, A, O’ D, A’ O, D’ E’ I, C’ E’ I, C’
E’ I, C’ E’ I, C’ A, O’ D, A’ O, D’ A’ O, D’ A, O’ D, E, I’ C, E, I’ C,

Diese Tabelle beinhaltet einige der Regeln, die bereits auf den Seiten 64 bis 65 aufgestellt worden sind. Sie drückt aus, daß zum Beispiel der A, O’ und D, von X,Y jeweils dasselbe sind wie der E, I’ und C, von y,X

De Morgan meint damit, daß die Ganzes:Teil-Beziehung A, = +(+) oder die Teilnicht:Teil-Beziehung O’ = (-)(+) auf die Größen +X, +Y angewandt wird. Und entsprechend auf der rechten Seite die Beziehung +(-) auf E, = +(-) und I’ = (-)(-) auf -Y und +X; so "entstünde", wie er sich ausdrückt, aus einem allgemein subaffirmative ein allgemein subnegative, aus einem eingeschränkt supernegative ein eingeschränkt superafirmative, weil das "Prädikat" von +Y in -Y wechselt und damit das Vorzeichen von negative in affirmative wechselt u.u.
+X, +Y -Y, +X
A, +(+) ++X=(+)+Y +-Y=(-)+X +(-) E,
+X=(+)Y (-)X= - Y
O’ (-)(+) (-)+X=(+)+Y (-)-Y=(-)+X (-)(-) I’
(-)X=(+)Y (-)X=(+)Y
Auf C, und D, müssen wir nicht eingehen, weil es nur Verdopplungen von Satz 5 und Satz 6 sind. Ich werde im weiteren Verlauf de Morgans komplexen Sätze in der Regel als ihre zugrundeliegenden allgemeinen bzw. echten eingeschränkten Sätze behandeln.

Diese Tabelle kann so dargestellt werden, indem die identicals als Inkonvertible und die contraries als Konvertible behandelt werden.

Wechsel von wechselt in Konvertiblen wechselt in Inkonvertiblen
SubjektPrädikatSubjekt und PrädikatReihenfolgeSubjekt und ReihenfolgePrädikat und ReihenfolgeSubjekt, Prädikat und Reihenfolge Vorzeichen und PräpositionVorzeichenPräpositionNichtsVorzeichenVorzeichen und PräpositionPräposition Vorzeichen und PräpositionVorzeichenPräpositionPräpositionVorzeichen und PräpositionVorzeichenNichtsa)
a)Beim Wechsel von Subjekt, Prädikat und Reihenfolge ändert sich nicht nichts, sondern aus dem Satz wird sein Äquivalent, zum Beispiel +A=(+)B -> -B=(-)A.

In allen Fällen, in denen das Subjekt gewechselt wird, wechseln sowohl Vorzeichen als auch Präposition. Wechsel des Prädikats ist Wechsel des Vorzeichens. Wechsel von Subjekt und Prädikat ist Wechsel der Präposition. Diese drei Fälle sind beim Syllogismus von großer Wichtigkeit. Der Leser sollte sie sich im Kopf behalten:
Subjekt mit Vorzeichen und Präposition
Subjekt und Prädikat mit Präposition
Prädikat mit Vorzeichen

Es ist wünschenswert, sich den stetigen Übergang (continuous transition!) der verschiedenen komplexen Beziehungen von einer in die andere zu untersuchen: Das Wachsen von Namen (!!) betrifft nicht nur den Wortkundler, sondern auch den Logiker.

Mit den Analogien und Affinitäten, durch die das Gebiet (dominion) eines Namens Instanz für Instanz und Klasse für Klasse ausgedehnt wird - und manchmal, wenigstens in der Sprache der Wissenschaft, vermindert um einen Teil, den es vorher hatte - habe ich hier nichts zu tun. Es genügt, daß die Erscheinungen existieren, die man als graduelle Transformation einer Beziehung in eine andere bezeichnen könnte. Die Wörter Faß (butt) und Flasche (bottle) zum Beispiel, sind jetzt subcontraries im Universum Behälter. Etymologisch gesehen aber [71] zeigt sich der Diminutiv bottle als als subidentical zum butt. Und müßten wir die ganze Klasse butt nehmen, dann wäre die Anzahl der buss, boot, bushel, box, boat, bottle, pottle usw., die alle vom selben Ursprung abstammen, sicher sehr groß.

Ich setze voraus, daß alle Instanzen eines Namens in seinem Universum gezählt und angeordnet sind, eine vorstellbare, wenn auch nicht erreichbare Annahme. Ebenso, daß die Instanzen des Namens angrenzend aufeinanderfolgend (contiguous) continuous und contiguous: stetig und angrenzend. Mit einem der wichtigsten naturphilosophischen Gegenstände, der Stetigkeit, kann die Logik meist nichts anfangen, auch wenn es sie ohne sie nicht gäbe. Trifft sie dann doch wider Willen auf die stetige Größe, muß sie sie in diskrete Stücke zerhacken und dann wieder eine 1:1-Zuordnung zur stetigen Welt herstellen. Die Quantentheorie ist logisch vorprogrammiert, weil die diskreten Stücke dann doch wieder stetig sein müssen usw. Vgl. auch Aristoteles' Ausführungen über die beiden Begriffe im sechsten Buch der Physik. angeordnet sind wie auf Seite 61. Aus welchem Grund auch immer die Sätze in eine solche besondere Ordnung gebracht wurden: Es wird allgemein so sein, daß die Instanzen nahe der Grenze die Eigenschaften des Namens in einem geringeren Grad haben als die, die näher an der Mitte sind. Es sei die aufeinanderfolgende Zusammenstellung aller Instanzen des Y hergestellt, das Universum sei U. Ein anderer Name, X, fange an zu wachsen, beginnend mit einer Instanz, daß heißt, von einem Objekt des Universums U auf einen Gegenstand des Universums U angewandt, er sei ein Y oder nicht. Dann zur nächsten angrenzenden Instanz und so weiter. Wir müssen die Anzahl der Wege herausfinden, auf denen solche Wechsel einen Namen veranlassen, sei es durch Anwachsen oder durch Verminderung, seine Beziehung von der einen in eine andere zu wechseln. Die Änderung der Zustimmung oder Einschränkung sei durch (>) und (<) gekennzeichnet. Ich weiche hier von de Morgans Notation ab weil Position und Negation in der Größenlogik einheitlich + und - sind. Er benutzt (+) und (-) für (>) und (<).

Der Name X beginne innerhalb der Grenzen des Namens Y. Seine Anfangsrelation ist dann D, . Und die Möglichkeit der folgenden stetigen Änderungen ist offensichtlich:

D, (>) D (>) D’ D, (>) P (>) C’
D, (>) P (>) D’ D, (>) P (<) C,

Also kann D, zu D’ entweder durch D oder P werden, dagegen C, oder C’ nur durch P. Als nächstes beginne X außerhalb der Grenzen von Y. Die Anfangsrelation ist C, . Dann können wir erhalten:
C, (>) C (>) C’ C, (>) P (>) D’
C, (>) P (>) C’ C, (>) P (<) D,

X beginne nun sowohl innerhalb als auch außerhalb von Y. Seine Anfangsrelation ist dann P. Und wir haben:
P (>) D’, P (>) C’, P (<) D, P (<) C,

Aber wenn (<) entweder D, D C, oder C folgt, haben wir nichts außer
D, (<) D, D (<) D, C, (<) C, C (<) C,

[72] Beginnen wir mit dem anderen Extrem, dem Namen U, dann haben wir
U (<) D’ U (<) C’

Von D’ und C’ angefangen haben wir
D’ (<) D (<) D, D’ (<) P (<) C,
D’ (<) P (<) D, D’ (<) P (>) C’
C’ (<) C (<) C, C’ (<) P (<) D,
C’ (<) P (<) C, C’ (<) P (>) D’

Aber wenn (>) auf D’ oder D, C’ oder C folgt, dann haben wir nur
D’ (>) D’ D (>) D’, C’ (>) C’ C (>) C’

Aus dem obigen scheint es so, daß der Übergang, der durch einen Wechsel der Präposition begleitet ist, entweder nur durch den Buchstaben ohne Präposition oder durch P bewerkstelligt werden kann. Ebenso in allen Fällen mit einer fortgesetzten Art des Wechsels. Aber wenn der Übergang einen Buchstabenwechsel einbezieht, kann er nur durch P stattfinden, mit Fortsetzung der Art des Wechsels, wenn die Präpositionen verschieden sind und mit Wechsel der Art, wenn sie gleichbleiben. Die nachfolgenden Reihen enthalten die Zusammenstellung der Ergebnisse. Ich will diese Stellen nicht kommentieren. Vielleicht lassen sie sich in einem späteren Entwicklungsstadium der Logik verwenden, in der Bewegung, Veränderung, Werden und Vergehen, Wachsen und Schwinden und nicht nur fixe Größen behandelt werden können. Das wäre dann die Einlösung aller Hegelschen Träume. Bis dahin sehe ich sie als unerlaubte Multiplikation von nur einer Seite einer Gleichung mit einer Größe ungleich +1 an.

Mit einer Mit einer Mit zwei
Änderung (>) Änderung (<) Änderungen (><)
D, D D’ D’ D D, D, P C,
D, P D’ D’ P D, C, P D,
C, C C’ C’ C C, (< >)
C, P C’ C’ P C, D’ P C’
D, P C’ D’ P C, C’ P D’
C, P D’ C’ P D,

Die folgenden Überlegungen werden den Nutzen und auch die Vollständigkeit der Erweiterung der Satzlehre in diesem Kapitel veranschaulichen. Zwei der grundlegendsten Unterscheidungen in unserem Denken sind die Begriffe notwendig und hinreichend, ohne das wir es nicht tun können und mit dem wir nicht fehlgehen können, was vorausgehen muß und was folgen muß. Die Gegenteile davon sind nicht-notwendig und nicht-hinreichend. Der Leser kann die acht Aussageformen mit X als Subjekt und Y als Prädikat leicht identifizieren mit den copulae: kann nicht ohne sein, kann ohne sein, kann nicht mit sein, kann mit sein, kann nicht fehlgehen ohne, kann fehlgehen ohne, kann nicht fehlgehen mit, kann fehlgehen mit. [Zusatz de Morgan’s aus dem Inhaltsverzeichnis, Ed. 1926] Mit diesen vier Wörtern, beide auf Y und y angewandt, haben wir die Beschreibung der acht [73] Relationen von X zu Y. Zum Beispiel sagt uns A, oder X)Y, daß, um ein X zu nehmen, wir ein Y nehmen müssen, oder um ein X zu sein, ist es notwendig, ein Y zu sein. Behandeln wir alle in der gleichen Weise, so erhalten wir:
A, X)Y Um ein X zu nehmen, ist es notwendig, ein Y zu nehmen.
A’ Y)X " X " hinreichend, " Y "
E, X.Y " X " notwendig, " y "
E’ x.y " X " hinreichend, " y "
I, X Y " X " nicht notwendig, " y "
I’ x y " X " nicht hinreichend, " y "
O, X:Y " X " nicht notwendig, " Y "
O’ Y:X " X " nicht hinreichend, " Y "

Und die Konvertibilität im üblichen Sinn kann in dieser neuen Darstellung in jedem Fall durchgeführt werden, wie sich leicht zeigen läßt. Was können wir zum Beispiel meinen, wenn wir sagen: Um ein X zu nehmen, ist es nicht hinreichend, etwas zu nehmen, was kein Y ist? Klar, daß wir kein Y oder y nehmen, wie gleichzeitig ein x nehmen können, oder daß es xs gibt, die ys sind. Und so für den Rest.

Von den vier Paaren XY, Xy, xy, xY wissen wir, daß jeder Satz sich durch drei andere ausdrücken läßt und sich durch einen nicht ausdrücken läßt. Wenn wir nun die Wörter unmöglich und kontingent, wobei das letztere bedeutet, daß der betrachtete Fall möglich oder unmöglich sein kann, je nachdem, dann können wir für die allgemeinen Sätze leicht folgende Tabelle verstehen:

figs73 Ursprung des Vierzeilers von 123 (1)

XY Xy xy xY
A,E,A’E’ X)YX.YY)Xx.y NUHK UNKH HKNU KHUN

Die Buchstaben N, U, H, K sind die Initialen von notwendig [unmöglich, hinreichend, kontingent] ... Und wir lesen die erste Zeile, daß wenn X)Y gilt, es für X notwendig ist, Y zu sein; X zu sein, ist unmöglich, y zu sein; x zu sein ist hinreichend, y zu sein; und x zu sein ist kontingent möglich oder unmöglich, Y zu sein.

Februar 2018: Offenbar haben wir hier den Ursprung der vierzeiligen Wahrheitswertetabelle der mathematischen Logik, in der nur (zeilenweise) die partikulären Wahrheitswerte der allgemeinen Sätze und nicht die allgemeinen Wahrheitswerte der allgemeinen Sätze beachtet werden. Für notwendig, hinreichend und kontingent ist "w" zu setzen, und unmöglich ist "f". Links fehlen noch die Sätze D C, 1, 2 und P, 7(-10).

Weiter, wenn wir mit n und h nicht notwendig und nicht hinreichend meinen; mit M wirklich möglich und mit K wie vorher (K sein eigenes Gegenteil??), dann haben wir für die eingeschränkten Sätze folgende Tabelle:

[74]

figs74.1 Ursprung des Vierzeilers von 123 (2)

XY Xy xy xY
O,I,O’I’ X:YX YY:Xx y nMhK MnKh hKnM KhMn

Bei den vier könträren Paaren der eingeschränkten Sätze sind n, M, h, K exakt so gelagert wie N, U, H, K bei den allgemeinen Sätzen. Die Vertauschung von Y und y wird immer von der Vertauschung von N und U, H und K, und M, h und K begleitet. Die Vertauschung von X und x ist die von N und K, H und U, n und K, h und M; von beiden, X und x, Y und y ist die von N und H, K und U, n und h, K und M.

Februar 2018: Dass de Morgan bei den partikulären Sätzen nur die partikulären Wahrheitswerte betrachtet, stiftet keinen Schaden, weil alle allgemeinen Wahrheitswerte "f" sind. Dafür sind alle 16 partikulären Wahrheitswerte "w". 2021 In der n-Diagonale zeigt de Morgan, dass es sich bei den vier partikulären um vier handelt: Jeder der vier hat sich selbst als Hauptbedeutung und die drei anderen als Nebenbedeutung.

Die komplexen Sätze können so beschrieben werden. Wie X das subidentical, identical oder superidentical von Y ist, ist es für X notwendig und nicht hinreichend, notwendig und hinreichend oder nicht notwendig und hinreichend, Y zu sein. Entsprechend, wie X das subcontrary, contrary oder das supercontrary von Y ist, ist es für das X notwendig und nicht hinreichend, notwendig und hinreichend oder nicht notwendig und hinreichend, y zu sein. Oder wie in der folgenden Tabelle:

figs74.2 Ursprung des Vierzeilers von 123 (3)

XY Xy xy xY
D,C,D’C’ NnUHnM UNhMHn HnMNhU MHnUNh
DCP NHUnhM UNHNhM NHUnhM UNHnhM

Anstelle von UK und MK schreiben Sie U und K für "unmöglich, und möglich oder unmöglich, je nachdem" ist "unmöglich" usw.

Die Namen der komplexen Relationen subidentity, identity usw. sind wie ich vermute, einigermaßen angemessen. Die Namen der einfachen Relationen, die auf den Seiten ff vorgeschlagen wurden, haben keinen Vorteil auf ihrer Seite, außer der Analogie mit den komplexen und der Verbindung der Notation. Ein wenig Übung ihres Gebrauchs werden diese Namen zugänglicher machen. Aber es wird ratsam sein, sie mit aussagekräftigeren Namen zu [75] verbinden, die wir dann annehmen, ob wir nun ihre Synonyme beibehalten oder verwerfen.

X)Y, die Relation von X zu Y ist im wohlverstandenen Sinne die von Art zu Gattung. Wir können diese Wörter annehmen, behalten dabei aber im Kopf, daß das Wort Art den extremen Fall, daß die Art so ausgedehnt ist wie die Gattung. Mathematik ist logisch, aber Mathematik ist nicht Logik, möchte man de Morgan immer wieder sagen, die Menschen sind in keinem Fall alle Tiere. Die Gattung ist das Ganze, die Art ist der Teil. Bei X:Y können wir X eine Nicht-Art von Y nennen und Y eine Nicht-Gattung von X (??). Bei X.Y können wir X ein exclusive oder excludent von Y nennen oder aber ein non-participant, und genauso Y von X. Bei XY können wir sagen, jedes ist das participant oder non-exclusive des anderen. Bei x.y, was bedeutet, daß X und Y das Universum auffüllen oder mehr als auffüllen, können wir sagen, sie sind Komplementär-Namen. Bei (+)X=-Y betrachtet de Morgan konsequent nur die beiden allgemein negativen Größen (genau wie das Volksvorurteil beim allgemein negativen Satz +A=(-)B nur die beiden allgemein positiven Größen betrachtet), obwohl -X und -Y die Größe von Satz und Äquivalent ist. Diese beiden Größen sind keine Komplemente. Das gilt nur für die Sätz 1 und 2. x y, was nur bedeutet, daß X und Y zwischen sich nicht das Universum beinhalten, könne wir als nicht-komplemantär bezeichnen. Also haben wir

Inkonvertible Name von X in bezug auf Y
A, X)Y Art oder subaffirmative
O, X:Y Nicht-Art oder eingeschränkt subaffirmative
A’ Y)X Gattung oder superaffirmative
O’ Y:X Nicht-Gattung oder eingeschränkt supernegative
Konvertible Name von X und Y in bezug auf einander
E, X.Y Exclusives oder non-participants oder subnegatives
I, X Y Non-exclusives oder participants oder eingeschränkt subaffirmatives
E’ x.y Complements oder supernegatives
I’ x y Non-complements oder eingeschränkt superaffirmatives

Die folgenden Übungen dieser Begriffe beinhalten wirklich die Beschreibung aller Syllogismen, die im nächsten Kapitel besprochen werden.

Einschließung in die Art ist Einschließung in die Gattung; und Einschließung der Gattung ist Einschließung ihrer Teile (seien es Arten oder nicht).

Ausschließung von der Gattung ist Ausschließung von den Arten; und Ausschließung der Gattung ist Ausschließung ihrer Teile (seien es Arten oder nicht).

Einschließung oder Ausschließung der Arten ist teilweise Einschließung oder Ausschließung der Gattung.

Wenn die Art komplementär ist, dann die Gattung; und wenn die Gattung nicht komplementär ist, dann ist es auch nicht die Art.

Ausschließung vom einen Komplement ist Einschließung in das andere.

Komplemente desselben sind participants.

[76] Zwei Arten einer Gattung sind keine Komplemente, ebenso nicht zwei Ausschließungen derselben.

Das Komplement einer Gattung ist eine Nicht-Art; und das Komplement ist eine Nicht-Art eines Nicht-Komplements.