Mathematik

Die Mathematik ist die einzige Wissenschaft, die ganz ohne Stoff auskommen kann, wenn sie will. »Aristoteles-heute« hält es mit der Kleine-Leute-Geometrie Euklids, in der die Form vom Stoff getragen wird und in der eine Grenze die Grenze von Etwas ist.

Wie der eine Teil der Logik bedient sich die Mathemetik in »Aristoteles-heute« der beiden unbewegten und immateriellen Gegenstände des Seins, des Leeren und der Form. Die Geometrie ist daher eine Form der Stofflogik mit Form. In der Geometrie ist jedoch nicht der Stoff, sondern die Form die Hauptsache. Der Stoff wird allein von aussen her, durch die Form bestimmt. Er ist hier so »überflüssig« wie in der Logik die Form, jedoch genau wie dort die Form, der Schlüssel zu Verständnis der Geometrie. Allein in der Arithmetik scheint sich das zu ändern. Denn obwohl die Urform in der Arithmetik, der Punkt oder die Zahl, vom Stoff »veschluckt« zu sein scheint, gibt es beim Rechnen mit Zahlen nicht den geringsten Platz für den Stoff und die Urform allein hat das Sagen.

Viele gehen noch einen Schritt weiter und leugnen den Stoff in der Mathematik. Ich will mir mangels Kompetenz kein Urteil darüber erlauben, ob das Sophistenkästchen ganz unten im Bild als die Form des Ganzen und der Eins der Arithmetik vielleicht doch möglich ist oder nicht. Auch Aristoteles' Untersuchungen über die Zeit (Ewigkeit) im vierten Buch der Physik zwingen uns, ein solches rotes Ungetüm kurz anzudenken (und schnell wieder beiseitezulegen), ein »Stetiges« aus Diskretem. Aber das führt hier zu weit. Hier lehnen wir das stofflose Gerede der Sophisten ab.

 

Die Logik als Form im Leeren ist nahe mit der Geometrie verwandt. Nur spielt in der Logik der Stoff des Leeren die Hauptrolle, während die Form eine verschwindende Rolle spielt. In der Geometrie dagegen ist umgekehrt der Stoff nur der Diener der Form, und es spielt keine Rolle, ob der Stoff etwas Physisches ist oder nicht, solange er nur unbewegt und stetig ist und die Formen in sich aufnimmt.

Die Arithmetik schliesslich geht noch einen Schritt weiter als die Geometrie. Das Äusserste kehrt sich nicht nur wie in Logik und Physik nach innen, es verschwindet. Innen ist nur noch die Urform, der Punkt oder die 1 , die auch in der Physik (Buch 4 bis 6) als Ort oder als Zeitpunkt eine wichtige Rolle spielen. Der Punkt ist wie jede Form entweder ganz oder gar nicht zu haben. Aber anders als die Linie und die Fläche ist der Punkt immer Form und nie Stoff. (Die Grenzfragen um den Punkt und die Form in der Differential- und Integralrechnung und allgemein der Infinitesimalrechnung, spielen hier noch keine Rolle. Nicht etwa, weil sie nicht wichtig wären, sondern weil wir noch nicht wissen, was die Formen sind .) In der Arithmetik ist von vornherein nur eine Ja-Nein-Logik möglich:

+1 = --1
-1 = -+1

Die 1 ist ein Punkt im »Zahlenuniversum «. Das Zahlenuniversum besteht aus der Eins und der Nicht eins .

 

Aber eine unendlich grosse Nichteins gibt es in der Arithmetik nicht. Dort ist die Nichteins genauso gross wie die Eins. Ist die Nicht eins unendlich gross? Ja. Wir müssen uns nur erinnern, dass es die Zahl in einer diskreten und in einer stetigen Version gibt, dass die Zahl auch Mass sein kann, dass die 0 und die 1 die Formen der Eins sind.

 

Der Stoff des Zahlenuniversums ist dem Betrag nach zweimal Unendlich gross. Nämlich von minus Unendlich über Null bis plus Unendlich. Die erfreuliche Eigenschaft bei den Zahlen, dass Stoff und Form den gleichen Namen tragen, einmal blau und einmal rot, erlaubt die Negation der 1 wie gehabt als die ganze Nicht- +1 :

 

Uns so bei jeder anderen Zahl.

Ärgert uns die Form in der Logik zu sehr mit ihren Mätzchen, dann denken wir sie weg. Aber ganz genauso problematisch ist der Stoff in der Mathematik und Geometrie, etwa wenn wir erklären wollen, woraus der Stoff der Linie, der Stoff der Fläche oder der Stoff des Körpers ist. Wie sollte das zwischen zwei roten Punkten Befindliche eine blaue Gerade sein, wo doch an jedem Punkt der Geraden ein roter Punkt ist? Wenn aber an jedem, dann auch an allen. Wenn aber an allen, dann besteht der Stoff nun doch aus Stofflosem, das Stetige aus Diskretem!

Die Mathematik hat nur mit den Formen des Stoffs und nur indirekt mit dem Stoff selbst zu tun. Selbst die Geometrie, die wie keine zweite Wissenschaft das Mass der Stoffe bestimmt, bestimmt es eigentlich nur durch die Formen, die in Zahlen gefassten Grössen, also von aussen an den Grenzen der Grössen.

Zwar ist es in der Geometrie wie in der Logik möglich, die Grundlagen rein stofflich zu interpretieren, wie man schön in der Gestaltung der sechs ersten Bücher der Elemente des Euklid von Oliver Byrne sieht. Sie zeigen, dass die Linie und die Fläche, anders als in der Physik, in der Geometrie auch Stoffe sein können, während sie in der Physik allein Formen sind. Dort ist aber genau wie in der Logik zu sehen, dass die stoffliche Interpretation an der Fläche ihre Grenze findet und das Diskrete oder der Körper besser mit der Form und die Zahl behandelt werden, wie es D.E. Joyce mit seinen Javy-Applets aller dreizehn Bücher der Elemente zeigt. Dass die Geometrie dem 3d Stoff nur mit der 2d Form zu Leibe rükken kann und die Arithmetik und Geometrie allein mit stofflosen Formen zu tun haben, ist kein Mangel, sondern der Vorzug dieser Wissenschaften. Denn als einzige haben sie einen Gegenstand, der zu keinem der beiden Stoffe der Physik gehört und damit weder an das Leere, noch an die Materie gebunden scheint.

Scheint. Denn auf Schritt und Tritt verfolgen uns das Ganze und der Teil der Logik, die wir aus der Physik haben, auch in der Mathematik, weil eine Grenze, die nicht die Grenze von Etwas ist, Unsinn ist. Und weil das Ganze und der Teil einer Menge, das Alle und das Einige, nur als abgeleitete Grössen der Logik einen Sinn ergeben.

Wenn aber der Stoff der Logik stets Stoff und nie Form ist, was passiert dann mit der Logik in der Mathematik, die doch wie keine zweite logisch ist, die aber stets von der Form und nicht vom Stoff handelt?

Dann muss entweder die Logik in der Mathematik zur Form konvertieren, was bereits geschehen ist. Die Arme hat nur noch die 0 und die 1 , kommt aber mit den beiden zu ganz erstaunlichen Ergebnissen. Oder die Mathematik muss zum Stoff zurückkehren, was noch nicht geschehen ist. Das bleibt aber auf absehbare Zeit ein Wunschtraum, vielleicht sogar für immer. Denn wir werden mit Aristoteles im sechsten Buch der Physik finden, dass zwar die Natur nicht die geringsten Probleme mit dem Diskreten und dem Stetigen hat, dass aber für uns die Kluft zwischen den beiden unüberbrückbar ist.

Aber sind wir einmal ganz mutig und fragen, ob mit dem Zahlenuniversum aus der Eins und der Nichteins wenigstens die Logik des Ganzen und des Teils aus dem mittleren Teil des Seinsbaums (A) möglich ist. Lassen wir uns von Aristoteles belehren, dass die Zahl der Grösse folgt, dass »alle«, »einige« und »eins« aus der Grösse abgeleitet sind, dass sie als rote Punkte vom blauen Stoff getragen werden (Physik 4.12: »und diess ergibt sich wohlbegründeter Weise, denn es folgt der Grösse die Bewegung, der Bewegung aber die Zeit, dadurch dass diese alle sowohl ein Quantitatives als auch ein Continuirliches als auch ein Theilbares sind; denn deswegen weil die Grösse derartig ist, hat die Bewegung diese Einwirkung erfahren, wegen der Bewegung aber die Zeit.«). Dann können wir das Ganze und die Teile der diversen Zahlenarten und -gattungen betrachten.

Viele Dinge, die Teil und Ganzes sind, lassen sich in Arten und Gattungen teilen, zwei zentrale Begriffe aus der Metaphysik des Aristoteles. So lässt sich die Gattung der Säugetiere in die Arten Mensch, Hund, Katze usw. teilen. Die Art Mensch besteht aus soundsovielen Individuen. Die Gattung der chemischen Elemente hat etwa eine Art Metalle, und die Metalle haben die Individuen, Eisen, Kupfer, Gold usw. Bei Gattung, Art und Individuum gehen Zahl , Stoff und Form eine Symbiose ein. Alle Individuen einer Art sind die ganze Art, und alle Arten einer Gattung sind die ganze Gattung. Das funktioniert in der Stofflogik gut, weil dort jedes Individuum eine Grösse hat, sich die Unteilbarkeit im Namen (individuum=lat. unteilbar) sich auf das Wesen aus Stoff und Form bezieht. Das Wesen Sokrates teilst du genau einmal, und damit ist das Wesen zerstört, wenn du es am Kopf und nicht am Fingernagel teilst. Die Grösse des Wesens dagegen kannst du unendlich oft und mehr teilen, ohne der Grösse ein Leid anzutun. Denn anders als bei der Materie gibt es kein kleinstes Leeres. Geteiltes Leeres ergibt immer wieder Leeres.

Nehmen wir also alle Zahlenindividuen der reellen Zahlen mit ihren Gattungen und Arten! Da haben wir es mit unendlich und mehr Individuen zu tun, die im Sinne des Wortes keinerlei Grösse haben. Denn jede Zahl als Punkt auf der Zahlengeraden oder im Zahlenuniversum gleicht jeder anderen Zahl wie ein Ei dem anderen: 0 =0 . Reden wir dennoch bei den Zahlen vom Ganzen und vom Teil , dann tun wir etwas eigentlich »nicht Erlaubtes« und betrachten die Menge als Grösse . Oder weniger freundlich: Wir schwindeln. Wir behaupten einfach das Unüberbrückbare als überbrückt.

Bleiben wir bei der Voraussetzung, daß die Menge der reellen Zahlen größer (mehr ) als die Menge der Rationalzahlen ist und die Menge der Rationalzahlen größer als die Menge der ganzen Zahlen, dann können wir alle logischen Identitäten A=B im Zahlenuniversum ablesen.

I

reelle Zahlen, also die transzendenten und Irrationalzahlen, die Rationalzahlen einschließlich der natürlichen Zahlen

1

die reellen nicht rationalen Zahlen (nur die unendlichen nicht periodischen Dezimalbrüche)

II

die Rationalzahlen, die aus ganzen Zahlen gebildeten Brüche, einschließlich der ganzen Zahlen

2

nur die gebrochenen Rationalzahlen, also ohne die ganzen Zahlen

III

die ganzen Zahlen

IV

die positiven ganzen Zahlen

V

die negativen ganzen Zahlen

 

2 ist nur der Ring zwischen 1 und III, und 1 ist nur der Ring außerhalb von II, während I sowohl II als auch III und II 2 und III umfassen.

Alle 16 logischen Sätze mit dem Ganzen und dem Teil, dem Nichtganzen und dem Nichtteil, sind in diesem Zahlenuniversum möglich. Nähreres darüber in Logik 2.1 und Logik 2.2.

Aber folgender Vorwurf gegen die TeilGanz-Logik mit Mengen kann zu Recht erhoben werden: Die ganze Weisheit des Zahlenuniversums heisst nur, dass das Ganze aus Teilen besteht. Darüber spottet schon Platon im Menon. Dort lässt er einen Sklaven aus der Tatsache, dass sich das Ganze in 2 Hälften teilt, »erkennen«, dass ihm die Trigonometrie im Blut steckt. Aber dieser Vorwurf gilt für alle Ganzen, nicht nur für das Zahlenuniversum. Also auch für die Logik selbst. Die Suche nach der Wahrheit über das Ganze kann dir keiner abnehmen. Da hilft dir keine Logik. Der Vorwurf sollte uns Mahnung sein, mit der Geometrisierung der Zahlen nicht gar so unbefangen umzugehen, wie das heute in der Physik um sich gegriffen hat. Aber auch in der Arithmetisierung der Grössen in der modernen Mathematik, die ekel gegen den Stoff ist, wird ganz sicher eine Menge stoffloses Gerede sein.

Mathematik in »Aristoteles-heute«

Dass hier Euler und Napier unter der Rubrik »unbewegt« stehen, obwohl sie doch beide zu den Pionieren in der Mathematik gehören, die die Bewegung mathematisch präzise faßbar machten, hat denselben Grund wie in der Logik: Willst du die Bewegung präzise fassen, so mußt du sie auf die Bewegungslosigkeit des Punkts zurückführen, was mit den Logarithmen oder der Differentialrechnung gelungen ist.

Dass hier weiter nur drei Mathematiker stehen, obwohl doch diese Wissenschaft wie keine andere über gesicherte Erkenntnisse verfügt, liegt zum einen an meiner Unkenntnis, zum andern daran, dass die Gegenstände der Mathematik unendlich an der Zahl sind.

Zwar ist es das Ideal der Mathematik, wie der Logik und der Physik, den ganzen Gegenstand der Wissenschaft zu erfassen. Das Ideal ist in der Logik am leichtesten zu verwirklichen. Schwieriger wird es in der Physik. Denn dort sind die Stoffe mit Attributen wie Schwere, Zeit, Bewegung ausgestattet.

Vollends unmöglich wird es jedoch in der Mathematik, den ganzen Gegenstand der Wissenschaft zu erfassen, weil es den nicht gibt. Zwar gibt es auch eine Art Mathematik (a), die Eins und die Nichteins, aber die Mathematik (A) als eine abgeschlossene Wissenschaft kann es nicht geben. Zwar scheint die Mathematik auf den ersten Blick die einfachste Wissenschaft zu sein, weil sich alles aus der Eins und der Nichteins entwickelt und weil sie die einfachsten Dinge der Welt betrachtet, die Formen. Aber schon ein Blick auf die Urform, den Punkt, zeigt uns, dass es hier mit der Gemütlicheit aus ist. Denn in einem einzigen Punkt können unendlich und mehr Punkte sein, ohne den Punkt zu ändern. Die Logik stösst hier an ihre Grenze, weil die Grenze der Logik die Grenze selbst ist. Wir haben es in »Aristoteles-heute« zwar ein wenig einfacher, weil sich die diskreten Formen in der Logik und in der Physik an den stetigen Stoffen orientieren. Aber auch hier wird dich die unscheinbarste aller Formen, der Punkt, beim Studium der Atome der Bewegung und der Zeit in der Physik noch manche schlaflose Nacht kosten.

Was noch fehlt

Eulers Differentialrechnung; eingefügt im Juni 2018

Eulers Integralrechnung; eingefügt im Juni 2018

Eulers Analysis des Unendlichen

Eulers Algebra

Eulers "Briefe"

Mathematiker mit dem Geist und dem Herzen Eulers