L2.2.de.65-81 5a bis 5k

Das Äqou von 5a scheint "eindeutiger" zu sein als der Schluss selbst, weil nur eine Größe statt zwei gezeichnet werden muß. Aber zum einen ist nur der innere Teil von 5a der Schlusssatz. Zum andern können wir den Schluss Äqou auch als All zeichnen. Zeichnen wir, ausgehend von Äqou als der inneren Größe, den Schluss 5a um Äqou herum, also Schluss mit Äquivalent als All:

66 so scheint sich die Annahme zunächst zu bestätigen, dass der Äqou "eindeutiger" ist. Zeichnen wir jedoch den Schluss 5a als den inneren Teil und das Äquivalent als den Rest der Welt:

so ergibt sich ein ähnliches Bild (siehe Sechs allgemeine Pärchen , und siehe Alle Nebenbedeutungen der allgemeinen Sätze als All in L2.1). Beide Darstellungen stellen sowohl einander ausschließende Größen wie [+]A und [-]A dar wie auch Teil:Ganzes-Relationen wie den Teil von B, der ganz A ist. Man sieht aber schön, dass sie allgemeingültig sind, weil sie das Universum umfassen.

67

Oben oder unten Nebenbedeutungen einzusetzen, ist zunächst sinnlos, weil beide B eingeschränkt sind.






Erst der Rest der Welt, [-]B ergibt einen Schluss.

68

L2.2.dea.68-73 Ungelöste Schlüsse aus Logik 1

Die Schlüsse 5d, 5h und 9d ließen sich in Logik 1 nicht lösen. Dort habe ich mich mit Aristoteles nur an die endlich großen Größen herangewagt. Als Prämissen waren die Sätze 4 - 9 erlaubt. Satz 10 war nur als Schlusssatz möglich. Ein Äquivalent gab es nur für den Satz 6 (was schon eine Anleihe an das Unendliche war, dort aber nicht weiter behandelt wurde), nicht für die Sätze 4 und 5. So mußten wir im Schluss 5d im Bereich des endlich großen [+]B feststellen, dass zwischen A und C alle bis dahin bekannten allgemeinen und eingeschränkten Verbindungen zwischen A und C möglich waren, weshalb kein Schluss (Logik 1 , Analytik 1) gezogen werden konnte:

Beispiele für mögliche Verbindungen zwischen A und C bei diesem Prämissenpaar: 69

Alle vier Fälle stellen genau die beiden Prämissen dar. Aber jedesmal kommt ein anderer "Schlusssatz" heraus!

Nein, die beiden Prämissen lassen nur mehrere Verbindungen zwischen den Größen zu. Und die Bilder sind alles andere als hier zulässige Schlussbilder. Wir haben wieder den schon in 3c geschilderten Fehler begangen. Mensch und Fisch wurden als zwei getrennte Größen gezeichnet, was ja noch in Ordnung ist. Aber in keiner Prämisse steht ein ganzes B. Da ich in Teil 1 noch keine Äquivalente hatte, mußte ich bei den Beispielen das B "halbieren". In wenigstens einer Prämisse, also auch im Bild, muß aber ein ganzes B stehen. Dennoch, wir müssen später auch diese Verbindungsmöglichkeiten zwischen den drei Größen untersuchen, weil ein Schlusssatz nur dann wahr ist, wenn er für alle Verbindungen zwischen A, B und C gilt.

Unsere Aufgabe ist es dann herauszufinden, welcher, wenn überhaupt einer, der Schlusssatz ist. (+)B kann in den beiden Prämissen ein beliebiger Teil von [+]B sein, so dass zwischen dem Teil von [+]B in der ersten Prämisse und dem in der zweiten kein notwendiger Zusammenhang besteht, außer dem, dass beide irgend welche Teile von [+]B sind. Es lassen sich mühelos Beispielbegriffe finden, die einander ausschließende "Schlusssätze" ergeben ("mühelos" ist übertrieben: für das letzte Beispiel, bei dem der Satz 7 herauskommt, mußte ich ganz schön lange überlegen, 70 A und C haben eine echte Teilgröße, weil auch Hunde und andere Tiere Astronauten waren). So kann über den Zusammenhang zwischen A und C nichts gesagt werden. Erst wenn feststeht, dass die 'beiden' B in beiden Sätzen für alle möglichen Verbindungen zwischen den Größen teilweise oder ganz ein und dasselbe sind und in wenigstens einem Satz ein ganzes B steht, wird ein Schluss möglich.

Mit der Einsetzung der Äquivalentsätze oben und unten wird der Schluss sofort möglich:

[-]B ist das gemeinsame Dritte von (-)A und (-)C in Äqou, ÄqoNbu und NboÄqu sind Teile davon. Das Experimentieren mit den verschiedenen Verbindungen zwischen A und C entfällt, weil die Darstellung keinen Zweifel offenläßt. Der Sprung vom Endlichen ins Unendliche hat keine Geheimnisse mehr und sieht so aus:

71 Innen die diversen Verbindungen der endlich großen Größen, mit denen wir uns in Logik 1 herumgeschlagen haben, kein allgemeines B, außen die Größe des Äquivalents oben und unten. In der Mitte, im Bereich des [+]B ist es nicht möglich, einen der drei allgemeinen oder einen eingeschränkten Satz als Schlusssatz zu bestimmen.

Man sieht, warum Aristoteles den Schluss nicht finden konnte: Er hat sich selbst den Umgang mit den unendlich großen Größen nicht erlaubt. Obwohl der Schluss 5d von den Prämissen her "eigentlich" zu Logik 1 gehört, der Logik der endlich großen Größen, ist er erst mit Hilfe der unendlich großen Größen lösbar und hat im Beispiel die unendlich große Größe [-]B als Schlusssatz, die (-)A=(-)C ist. Das [-]B ist zwar als Ganzes bisher unerkennbar und unbegreifbar, aber es ist genau bestimmt, nämlich alles, was nicht [+]B ist.

Zwar sind die "Nicht-Menschen" und die "Nicht-Fische" keine allzu anschaulichen Größen, aber wir haben jetzt in beiden Prämissen ein allgemeines B. Und wir suchen ja nicht nach dem, was wir mit Händen greifen und aufzählen oder mit dem Zollstock abmessen können, sondern nach der Wahrheit.

Die Erkenntnis: Die Welt ist unendlich groß, hat eine unendlich große Größe, können wir nur als einmaligen intellektuellen Akt begreifen. Sie ist eine hypothetische Setzung, die wir entweder tun oder lassen.1

72 Ein Einwand gegen die obige Darstellung der fünf Verbindungsmöglichkeiten zwischen A und C (die vier im Innern und das äußere Äquivalent):

(-)A=(-)C gilt doch in der inneren Darstellung des Schlusses mit 'halbiertem' B auch für die Teile von [+]B, die weder Teil von [+]A noch [+]C sind, so dass nicht eindeutig klar ist, dass [-]B die Größe des Schlusssatzes ist.

Aber [+]B kann die Summe von [+]A & [+]C sein: [+]A & [+]C = [+]B, ein Sonderfall der Verbindung [+]A=(-)C mit einer gemeinsamen Grenze von A und C.

In diesem Fall gibt es keinen Teil von [+]B, der weder [+]A noch [+]C ist. Also scheint immer das ganze [-]B oder ein Teil davon der Schlusssatz von 5d zu sein.

Dieser Grenzfall im Sinne des Wortes stößt uns auf ein Problem, dem wir bisher ausgewichen sind und in der Logik auch weiterhin ausweichen werden: Wenn [+]A und [+]C gemeinsam das ganze [+]B ausmachen und der Strich oder die Kreisfläche die Grenze zwischen A und C ist, wozu gehört dann die Grenze? Zu A, zu C, zu beiden oder zu keinem? Zugegeben, das hört sich an wie die Frage nach den Engeln auf der Oblate, ist aber tatsächlich die schwierigste Frage der Seinslehre und der Naturphilosophie. Diese Frage kann in der Logik nicht beantwortet werden.

Diese Frage ist die Frage nach der Form. Gehört die Form untrennbar zur Materie, wie Aristoteles behauptet, oder ist sie eine getrennte Idee, wie Platon sagt? Oder ist sie ein "Drittes"? Oder gibt es die Form am Ende überhaupt nicht? Jedes Schulkind weiß doch heute, dass es ebene Flächen an materiellen Körpern nicht gibt! Ist es dann aber wirklich so, dass wir uns mit einem verwaschenen Ungefähr abfinden müssen, wie uns sowohl viele Philosophen als auch Mathematiker und Physiker seit einigen Jahrzehnten sagen? Die Frage hat die Philosophie seit ihrem Bestehen in zwei gegnerische Lager gespalten, den Idealismus und den Materialismus. Man muß hier den Aristoteles in weiten Bereichen zu den Materialisten rechnen, obwohl er mit seiner Teleologie der Form genau wie Platon allerhand Wunderbares andichtet. Seine Polemik gegen den Idealismus Platons in der Metaphysik sollte zur Grundausstattung jedes angehenden Materialisten gehören. Der Idealismus hat diverse Märchen erfunden, um die Formwerdung der Materie zu deuten; vom heiteren Idealismus Platons über die Ideen Gottes bis hinab zu dem wider 73 wärtigen sozialen Darwinismus, der heute wieder ungeniert auftritt und dessen Vertreter natürlich viel zu unbedarft sind, um von ihren idealistischen Wurzeln etwas zu wissen.2

Viele Materialisten weichen der Frage nach der Form aus oder schlagen sich gar auf die Seite der Idealisten und gestehen der Form nur ein ideelles Sein im Bereich der Geometrie zu. Hegels gegenseitige Durchdringung und dialektische Einheit von Stoff und Form geben zwar eine gewisse Beruhigung, da sie das Unerklärliche irgendwie vereinen. Aber das hilft uns nichts, wenn wir mit geometrischer Strenge nach dem Sein oder Nichtsein der Form fragen.

In der Logik müssen wir uns damit begnügen, die Grenzen der Größen genau wie die Größen selbst zu setzen, aber die Klärung ihres Wesens aus der Untersuchung herauszulassen, obwohl beide Grundlage der Logik sind. Anders gesagt, ob der Äquator allein eine ideelle Grenze ist oder ob ihm ein Etwas in der Natur entspricht, kann die Logik nicht beantworten. Sie benutzt zwar die Grenzen der Größen, aber die Grenzen selbst erklärt der Formalismus nicht. Mehr noch, dem Kleinsten ergeht es wie dem Größten. Obwohl es ohne Grenze keine Logik gäbe, weil jede Größe eindeutig begrenzt sein muß, bleibt die Grenze selbst von der Logik ausgeschlossen (s. auch Logik1, S. 49 Fussnote).

74

Ein weiteres Beispiel, wie es Aristoteles gelingt, mit den Größen zu arbeiten, ohne deren Formalismus zu haben, ist der 5f, bei Ar. in der sogenannten "zweiten Figur":

75 Er weiß durch Zeichnungen, dass bei 5f der Satz 6 herauskommt und nicht der Satz 8, der durch die Konversion von (+)M=[+]N in (+)N=(+)M herauskäme (7f, der erst später gefunden wurde). Sein Formalismus stößt wieder an seine Grenzen. Als 'Wahrheitswertetabelle' stehen ihm nur ein Äquivalent, eine Nebenbedeutung und die für alle log. Sätze geltende Gleichheit beider Seiten des Satzes 7 zur Verfügung:

Wenn [+]A=(-)B, dann [+]B=(-)A,

wenn (+)A=[+]B, dann (+)A=(+)B und

wenn (+)A=(+)B, dann (+)B=(+)A.

Den Satz 5 hat er nur im Kopf, nicht im Formalismus.3 Also macht er kurzerhand folgendes: Er vertauscht die Prämissen und konvertiert [+]M=(-)X in [+]X=(-)M. Damit erhält er den Schlusssatz [+]X=(-)N, den er dann wieder in [+]N=(-)X konvertiert und unter die ursprünglichen Prämissen setzt.

"Erneut, wenn M jedem N, aber keinem X (zukommt), dann wird auch X keinem N zukommen - wenn nämlich M keinem X, dann auch X keinem M; M aber kam doch jedem N zu; X wird also keinem N zukommen; es ist ja hier wieder die erste Schlussform entstanden-; da aber die Verneinung die Umkehrung zuläßt, so wird auch N keinem X zukommen, mithin wird es der gleiche Schluss." Erste Analytik, Kap. 5, deutsch Hans Günter Zekl, Meiner, Hamburg 1998 (Kirchmann).

Der Satz 4 bleibt unangetastet. Das gelingt aber nur, indem aus dem Schluss 5f der 6d gemacht wird (vgl. Spiegelung ). Aristoteles bezeichnet die Schlüsse, die auf die "erste Figur" (A-B-C) zurückgeführt werden, als "unvollkommen", weil sie bei ihm nicht ohne Umstellungen der Prämissen und/oder der Satzteile auskommen. Die "Figuren" hat Aristoteles allein deswegen erfunden, weil er Größenverbindungen wie hier den Satz 5 hatte, aber keinen zugehörigen Formalismus. 76

L2.2.deb.76-81 Schlüsse, die in Logik 1 in zwei Bereiche geteilt werden mußten

In Logik 1 gab es vier Schlüsse, 5g, 5i, 7d und 8d, die in zwei getrennte Größen geteilt werden mußten, weil es für die Sätze 4 und 5 noch keine Äquivalente gab.

Daraus ließ sich zunächst nichts über die Beziehung zwischen A und C ablesen, da die beiden (+)B in den beiden Prämissen zwei beliebige Teile von B sein konnten. Der eine konnte Teil des anderen, der andere des einen, beide konnten getrennt oder beide konnten identisch sein. Der Schlusssatz (-)A=(+)C ließ sich nur durch die Umwandlung der 2. Prämisse in (-)B=(+)C ablesen.

A: Haie, B: Meerestiere, C: Säugetiere

Hier ließ sich zwar mit Sicherheit sagen, dass (-)A=(+)C ist, weil links das [+]A ein Teil von [+]B ist und folglich rechts der Teil von [-]B, der (+)C ist, ein Teil von [-]A sein mußte. Das war aber sehr unbefriedigend, weil der Schluss als zwei getrennte Größen gezeichnet wurde und damit die in den beiden Prämissen stehenden B unterschiedliche Vorzeichen hatten, kein gemeinsames Drittes waren. Der Schlusssatz stand zwar definitiv fest, war aber nur durch Nachdenken, nicht aus dem Formalismus selbst erkennbar. (+)B und (-)B sind zwei vollkommen verschiedene Größen. In unserem Schluss stünden nicht drei, sondern vier Größen. Die Verdopplung des B müssen wir aber als Logiker wie der Teufel das Weihwasser fürchten. Ein Schluss besteht aus 3 Größen, nicht mehr und nicht weniger.

77 Hier wandeln wir einfach die erste Prämisse in ihr Äquivalent um und setzen die beiden echten Nebenbedeutungen 9 und 10 der zweiten Prämisse ein:

Jetzt stehen die "beiden" B in den beiden 5g's in einer eindeutigen Beziehung zueinander, und der Schluss läßt sich als eine geschlossene Fläche zeichnen. Man könnte auch in der Schlusszeichnung den überstehenden Teil der beiden Sätze weglassen, da ein Teil von (-)A wieder ein Teil ist. Dann ergäbe sich definitionsgemäß eine Größe als Schlusssatz:

Da hier aber die Prämissen nicht mehr erkennbar sind, bleiben wir bei der Darstellung des Schlusses als zwei Kreise, in der B Teil und Ganzes ist. Es muß nur sicher sein, dass sich jeder Schluss als ein Kreis zeichnen läßt und ohne den "überstehenden" Teil aus drei identischen Größen besteht, also letztlich auf den 1a zurückgeht. Oder besser, alle Schlüsse haben ein und dieselbe Struktur. Den 1a zeichnet nur aus, dass er aus drei ganzen Größen besteht. 78

Der in Logik 1 nicht lösbare 5h wird durch die Umwandlung beider Prämissen gelöst, die obere in ihr Äquivalent, die untere in ihr kleines Äquivalent oder eine Nebenbedeutung. Auch bei diesem Schluss scheint es innerhalb des [+]B alle möglichen Teil:Ganzes-Beziehungen zwischen A und C zu geben:

[+]A=(+)B

(+)B=(-)C

?




Beispielbegriffe


1
2 3 4
A

Mensch
Säuger Säuger Wassertier
B

Tier
" " "
C

Säuger
Mensch Fisch Säuger

79 Die vier zeichnerischen Darstellungen und damit auch die Beispielbegriffe sind aber alle falsch.

Einmal ist in allen aus den Bildern ablesbaren Prämissen wieder nur ein Teil von B beteiligt. Keine hätte ein ganzes B. Aber falsch wäre das eigentlich nicht. Das halbierte B ergäbe nur keinen Schluss. Der würde erst nach Umwandlung der ersten Prämisse in ihr Äquivalent möglich. Zum andern aber ist die zweite Prämisse in diesem Bild in allen vier Fällen kein echter eingeschränkter Satz. Bei allen vier Verbindungen zwischen A und C gilt (+)B=[+]C und nicht die geforderte echte eingeschränkte Prämisse (+)B=(-)C, es ist wieder die Darstellung von 5d und nicht 5h, nur A und C im vierten Beispiel sind andere Begriffe.

Bei 5h wird die zeichnerische Darstellung mit den ganzen Größen schon etwas komplizierter als bei 5d, dem ersten Schluss, der in Logik 1 nicht lösbar war. (+)B=(-)C ist ein echter eingeschränkter Satz. Die beiden Größen B und C bilden in jedem Fall eine echte Teilgröße, müssen also als zwei sich schneidende Größen gezeichnet werden. Mit der echten eingeschränkten zweiten Prämisse und den Äquivalenten sieht der Lösungsversuch etwa so aus:

5h

[+]A=(+)B

(+)B=(-)C

Beispielbegriffe


1
2 3
A

Wal
Hecht Säuger
B

Wassertier
" Lungenatmer
C

Säuger
" Wassertier

80

Der hervorgehobene Teil außerhalb von [+]B ist nur ein Teil von [-]B, da die drei Teile von [+]C außerhalb von [+]B jeweils einen Teil von [-]B abschneiden. Die Größenverbindung (+)A=[+]C ist bei 5h nicht möglich, weil sonst ganz C Teil von B wäre. Wieder haben wir im Innern der Zeichnung das B 'halbiert', also in keiner Prämisse ein ganzes B. Aber was sind die beiden Schlusssätze im Bild? Offenbar sind die beiden Schlusssätze die über das [+]B hinausragenden Teile, weil da die erste Prämisse ein ganzes B hat, (-)A=[-]B. Der hervorgehobene Teil ist (-)A=(-)C, und die drei über [+]B ragenden Teile von (+)C=(-)A. Die freien Teile von [+]B, die weder von [+]A, noch von [+]C bedeckt sind, sind nicht der Schlusssatz (-)A=(-)C, weil hier folgende Konstruktion denkbar ist, die das ausschließt:

Hier gibt es keinen Teil von [+]B, der zugleich (-)A und (-)C ist, die 2. Prämisse ist echt, läßt sich nicht in einen allgemeinen Satz verwandeln. Also kann (+)B nicht die Größe des Schlusssatzes sein. Die echte eingeschränkte Prämisse muß sich immer als zwei sich schneidende Größen zeichnen lassen. Dadurch ist hier die 2. Prämisse der Garant dafür, dass sich das [+]B nicht so weit ausdehnen kann, dass es das ganze [+]C bedeckt. Dann wäre nämlich die 2. Prämisse (+)B=[+]C und damit wieder 5d, die Äquatorversion.

Die anschauliche Darstellung mit den ganzen Größen, die dem alltäglichen oder natürlichen richtigen logischen Denken entspricht, ist also voller Tükken.

Daher war es auch das Ziel des Formalismus, sich von der Anschauung zu befreien, ohne sie zu verleugnen. Ohne sie gäbe es keine Logik.

81

Auch 5i ließ sich in Logik 1 nur als zwei Kreise zeichnen.

Zwei entgegengesetzte Vorzeichen von B oder zwei eingeschränkte Vorzeichen von B lassen wir in HERLEITUNG, nicht durchgehen. Es muß immer mindestens ein ganzes [+]B oder ganzes [-]B dabei sein, und beide B müssen entweder positiv oder negativ sein. Andernfalls ist kein Schluss möglich.

82


1. Wenn Cantor sagt, dass die "Zahl durch einen einzigen Abstraktionsakt... nur als organische Einheit von Einsen zu erklären." ist und es "grundsätzlich falsch (sei)... den Zahlenbegriff vom Zeitbegriff...abhängig machen zu wollen", dann richtet sich das gegen die psychologische Auslegung der Zahl, wie sie Aristoteles im vierten Buch der Physik gibt, wo er bei der Untersuchung der Zeit die Zahl als vom zählenden Individuum abhängig nahelegt. Vgl. Georg Cantor, Mitteilungen über die Lehre vom Transfiniten, 1887/88, S. 381 Fußnote.
Diesen Fehler in Aristoteles' Werk hat auch ein anderer bedeutender Aristoteles-Schüler erkannt, jedoch ruht die Erkenntnis des Unendlichen der Größe und der Zahl nach in Gott: "Gott aber erkennt das Unendliche oder unendlich vieles nicht so, als zähle Er Teil nach Teil, da Er alles zugleich erkennt, ohne Nacheinander." Thomas von Aquin, Summa Theologiae, Vollständige, ungekürzte deutsch-lateinische Ausgabe, übersetzt von den Dominikanern und Benediktinern Deutschlands und Österreichs, Salzburg, Graz Wien Köln 1933ff, Band 2, Gottes Leben, sein Erkennen und Wollen, Frage 14, Artikel 12, S. 46. In englisch in Reply to Objection 1.

2. Vgl. Georg Lukacs, Die Zerstörung der Vernunft, Band 2 und Band 3, Kap. 7, Sozialer Darwinismus, Rassentheorie und Faschismus, Luchterhand, Darmstadt 1974. Stellenweise ist die Terminologie etwas stalinistisch angehaucht, nicht der Inhalt. (Man darf ja nicht vergessen, dass er Kultusminister des "Prager Frühlings" war!). Es das einzige Werk, das sich mit der philosophischen Vorbereitung des Faschismus ernsthaft auseinandersetzt. Die Widerwärtigkeit hat aber auch ein ganz "rationales" Ziel, das nahezu vollständig erreicht ist: Kein Mensch liest das großartige Werk Darwins "Vom Ursprung der Arten", das es bei Reclam für ein paar Mark gibt, in dem die bewußt planende Natur oder Gott durch die bewußtlos wirkenden Gesetze der Natur auch im Bereich der Entwicklung des Lebens abgelöst werden und damit die letzte Bastion des Idealismus geschliffen wurde. Siehe auch die zahlreichen Stellen bei Engels in MEW 20 .

3. Vgl. Logik 1 S. 53-67 : "Die beiderseitige Quantifikation bei Aristoteles und seinen Nachfolgern"