Kr.6.7.237b-238b Die Grösse oder Alles und das Ganze - KrSc

KrK.6.7.237b23.a

Kapitel 7 ist bei Aristoteles eine Auflistung der Kombinationsmöglichkeiten von endlicher und unendlicher Bewegung in endlicher und unendlicher Zeit. In unendlicher Zeit könne keine endliche Bewegung durchlaufen werden, in endlicher keine unendliche Bewegung stattfinden, Unendliches könne in endlicher Zeit nicht bewegt werden, ein endlich grosser Gegenstand in endlicher Zeit keine unendliche Bewegung durchlaufen usw. Das Kapitel ist belanglos, weil keine Aussage stimmt, wenn die Voraussetzung nicht stimmt. Es wird daher ausgelassen.

Grösse: Einleitung KrK.6.7.237b23.b

Nutzen wir also den Raum, um uns ein paar Gedanken über das Stetige und das Diskrete aus den beiden letzten Kapiteln zu machen!

Da wir nicht annehmen wollen, dass Aristoteles plötzlich von Sinnen ist, wenn er uns von den nicht anfangen wollenden Anfängen und den endlosen Enden der endlichen Bewegungen erzählt, tun wir lieber gleich, was wir in den meisten ähnlichen Fällen tun mussten: wir geben klein bei und geben ihm Recht. Die Wahrheit ist, dass kein Punkt einer Bewegung ein roter Punkt ist, sondern dass der Bewegungspunkt ein blauer Punkt ist, der Grösse hat und nicht keine Grösse hat. Dass kein Stetiges in Diskretes teilbar ist, sondern dass die Teilung nur bis zum unendlich Kleinen kommt. Das ist die Wahrheit. Aber die Wahrheit lehrt uns eindringlich, dass wir ohne die Unwahrheit nicht klarkommen, weil wir die roten Punkte der Bewegung und die roten Teilungspunkte benötigen. In anderen Worten: Der Idealismus oder die Unwahrheit wird zur notwendigen Voraussetzung der Forschung (Form und Wahrheit KrK.5.3.227b2.l).

Aristoteles trifft zwei affirmative Aussagen über das Stetige, in denen das Diskrete nur indirekt auftaucht.

Stetiges ist nicht in Diskretes teilbar.

Stetiges besteht aus Stetigem, nicht aus Diskretem.

Diese beiden Aussagen wollen wir untersuchen.

Ist die Grösse in Grössenloses teilbar? KrK.6.7.237b23.c

Es liegt nicht in unserer Hand, das Stetige zu bejahen oder zu verneinen, weil es eine Frage von Sein oder Nichtsein ist. Hier müssen wir Aristoteles folgen. Beim Diskreten gibt es einen Zwischenbereich, der weder ist, noch sein kann, den wir aber setzen müssen, die bewegten Formen. Weiter gibt es den Zwischenbereich, der Formen setzt, wo zwar keine sind, wo aber welche sein können, die unbewegten Formen. Und genau dort gibt es einen Bereich, der Bewegung setzt, wo keine Bewegung sein kann. Diese Zwischenbereiche haben alle nur eine einzige Grösse: keine.

Die unbewegte Form in Physik und Metaphysik ist die Grenze des Stoffs. Die Grössen Teil und Ganzes in der Logik werden durch die Grenze begrenzt. Die 0 und die 1 in der Mathematik sind die Grenzen der Eins (Form in Physik, Metaphysik, Logik und Mathematik KrK.5.3.227b2.q).

2021: Die wichtigste Neuerung neben der Trennung der Form vom Stoff in der Metaphysik ist die exklusive Alternative von Form und Stoff auch in der Logik. Der Stoff tritt entweder allein auf, oder die Form tritt allein auf, allerdings als Stellvertreterin des Stoffs. Beide Neuerungen sind in der »Kritik« noch unbekannt, setzen sich dort aber Stück für Stück gegen meinen Willen durch.

Ebenso bei den Grenzen der Bewegung. Jede stetige Bewegung in einer Zeit, die wir durch zwei Jetzt abgrenzen, hat einen Anfang, ein Ende und auf jedem Punkt ihrer Bahn einen Wegpunkt/Jetztpunkt. Anders die Bewegungspunkte. Hier haben wir mehrere oder unendlich viele gleichzeitige Zwischen gesetzt. Und damit die Bewegung aus dem Stetigen herausgeholt und ins Diskrete eingesperrt.

Als wir aber mit dieser Konstruktion den Übergang von der Ruhe im Punkt, dem diskreten Teil der Ruhe, zum Stetigen, der Bewegung erklären wollten, mussten wir entweder wider besseres Wissen den Widerspruch behaupten oder uns allein mit der unbewegten Grenze zwischen Ruhe und Bewegung zufriedengeben, haben uns also vom Stetigen ausgesperrt. Immerhin hatten wir eine notdürftige Erklärung für die Bewegung im Punkt. Letztlich lautet die aber in Hochsprache: Zwar behaupten wir, dass das Stetige aus dem Diskreten wird, aber wie das geschieht, wissen wir nicht. Denn ganz gleich, ob wir das Stetige ins Diskrete sperren oder uns vom Stetigen aussperren, wir bleiben im ewig unbewegten Stau stecken.

Schliesslich hat Aristoteles, der ausgewiesene Gegner des Atomismus, in den letzten Kapiteln von einem ganz anderen Zwischenbereich des Stetigen gehandelt, dem wir uns bis dahin widersetzt hatten, nämlich von den dicken blauen Punkten, die unendlich klein sind, aber Grösse haben und nicht grössenlos sind. Also einer Art Quantenphysik auf kleinem Massstab um die Null oder das Raummaterieteilchen herum.

Wie sieht es mit dem umgekehrten Vorgang aus? Wie wird der Übergang vom Stetigen zum Diskreten erzeugt? Die Teilung des Stetigen in das Diskrete ist nicht möglich, behauptet Aristoteles. Wir haben ihm immer rechtgegeben, sind aber noch einen Beleg dafür schuldig.

Untersuchen wir, ob wir das Grössenlose durch Teilung erreichen können! Denn falls Aristoteles in diesem Punkt recht behält, es also unmöglich ist, das Stetige in Diskretes zu teilen, dann spräche vieles dafür, dass es ebenso unmöglich ist, dass das Stetige aus Diskretem besteht.

In der Mathematik scheinen Stoff und Form von einer Art zu sein, angefangen von Platon, der Feuer, Wasser, Erde und Luft aus Dreiecken werden lässt1 bis zum Grenzwert, der die Null durch Teilung der Eins durch unendlich werden lässt. Oder zur Differentialrechnung, die die Seiten des Dreiecks auf Null schrumpfen lässt und damit die Sekante zur Tangente macht. Oder in der Umkehrung durch Integration aus dem Diskreten ein Stetiges erzeugt. Oder bei den

<logarithmen> transzendente Einheit ist Grösse KrK.6.7.237b23.d

Logarithmen, deren transzendente Einheiten die stetige Grösse erzeugen, so dass man die Numeruskurve als 'die' stetige Funktion schlechthin bezeichnet. Haben wir hier tatsächlich erreicht, wonach wir uns mit unserem plumpen 3d-Stoff und unseren verlogenen Formen vergeblich abgemüht haben, den Übergang vom Stetigen zum Diskreten und den Übergang vom Diskreten zum Stetigen? Ist das vormals Unüberbrückbare doch überbrückbar, nicht nur im hegelschen Umschlag von der Quantität in die Qualität, sondern wirklich und wahrhaftig? Erreichen wir mit einer der drei Rechenarten oder mit allen Dreien tatsächlich das Zwischen?

Grösse: die Null in der Mathematik KrK.6.7.237b23.e

Gegen die Annahme, dass die Null in das Zwischen ist, polemisiert Aristoteles mehrfach aufs heftigste. Bei der Grösse Null des Differentials wag(t)e ich keine Aussage, ausser der Aussage Eulers, dass sie eine Null ist.

Das Element der stetigen Funktion, die kleinste Grösse im Binomischen Satz ist . Ist eine der drei Grössen das Zwischen, oder zwei, oder vielleicht sogar alle drei? Nein, keine ist das Zwischen (mit Ausnahme des Differentials). Das Zwischen erreichen wir nicht durch Teilung, sondern durch Wegnahme:

Wie bei jeder x-beliebigen Grösse, so auch bei den Dreien darunter.

Und umgekehrt wird aus diesen Grössen das Stetige. Beim x durch Addition der stetigen Elemente. Beim Grenzwert durch Multiplikation mit dem Kehrwert, und das andre Mal in der stetigen Funktion. Beim Differential muss ich passen, da bin ich zu dumm. Vermutlich wird das Differential ein in das Diskrete hineingeschwindelter Bewegungspunkt sein, so ist es ja entstanden. Es ist also immer rot.

Grösse: die 0 ist 1 Zwischen KrK.6.7.237b23.f

Das Zwischen ist die natürliche unteilbare Grenze, die für Logik, Physik, Metaphysik, Mathematik und Alltag gleichermassen gilt. Sie wird vom Stetigen aus nicht durch Teilung, sondern durch Wegnahme oder durch Berührung erreicht, in keinem Fall direkt, in jedem Fall indirekt, nicht als selbständig Seiendes, sondern allein als Relation, das Zwischen zwischen Zweien. Dabei ist die Relation nicht eine mindere Realität, sondern eine Möglichkeit, die nie als ein Eines, sondern stets nur im Zusammenwirken wenigstens Zweier verwirklicht wird. Dass wir die Relation im Alltag wie ein Selbständiges behandeln, nicht von 'der 1 zwischen der 0 und der 2 sprechen', sondern nur von 'der 1', ist reine Bequemlichkeit.

Für die dx -Null hat Euler im ersten Kapitel seiner Differentialrechnung gezeigt, dass sie eine Null ist. Dass er die Null immer als »Nichts« bezeichnet hat mir aus Unverstand nie so recht behagt, aber beim Diffenrential hat er wohl recht. Wenn wir das Differential überhaupt als eine Grösse fassen, dann kann es nur eine Zwischen-Grösse sein. Die vielen anderen Annahmen, die in den beiden Buchstaben dx stecken, lassen wir hier weg. Für die beiden anderen gilt, dass sie aneinandergereiht eine Grösse ergeben, vorausgesetzt die Queracht ist eine bestimmte und nicht eine unbestimmte Zahl, nicht die Zahlengattung unendlich, sondern die Zahl unendlich.

Grösse: der Grenzwert KrK.6.7.237b23.g

Erreichen wir die Null durch die unendliche Teilung der Eins oder nicht? Wir erreichen sie nicht, Sie nicht und ich nicht. Wie behaupten nur, dass wir sie erreichen.

Zunächst wollen wir unter 'Teilung' nicht allein die Division verstehen, sondern allgemein das Aufteilen eines Ganzen in seine Teile, also nicht allein die mehr-weniger-Relation der Arithmetik, sondern auch die Orts-Identität des Teils mit dem Ganzen der Logik. Da gibt es im Bereich der Mengen und im Bereich der Größen zwei prizipiell verschiedene Formen der Teilung, die arithmetische Teilung und die geometrische Teilung. Die Begriffe 'arithmetisch' und 'geometrisch' haben in diesem Zusammenhang folgende Bedeutung.

Die arithmetische Teilung einer Grösse, etwa der Eins bedeutet die fortgesetzte Wegnahme oder Hinzufügung stets gleich grosser Teile des Ganzen, so lange, bis aus dem Ganzen das Zwischen oder aus dem Zwischen das Ganze geworden ist. Dabei behandeln wir die Eins als Stoff und die 0 als Form.

Oder kurz 1 - 1 = 0 und 0 + 1 = 1 .

Bei dieser Art der Teilung erreichen wir also nach wenigen Schritten das Zwischen oder das Ganze durch Wegnahme oder Hinzufügung. Zwischen der Null und der Eins ist keine Lücke, wenn die Zehntel Grössen und nicht Grenzen sind. Sind die Zehntel, die 0 und die 1 dagegen Grenzen, dann sind zwischen je zwei Grenzen stets gleich grosse Lücken, die geometrisch so gross sind wie sie selbst es arithmetisch sind.

Diese Art der Teilung meint Aristoteles nicht, wenn er von der Teilung in immer wieder Teilbares spricht. Er meint die so genannte geometrische Teilung, bei der zwei aufeinanderfolgende Glieder im stets gleichen Verhältnis zueinander geteilt werden. Die einfachste Form dieser Teilung ist die fortwährende Halbierung der Eins .

Wenn wir die Eins fortlaufend halbieren, so erhalten wir neben der Grössenfolge auch eine Zahlenfolge , nämlich die Folge der Grenzen der Grössen:

Grössenfolge und Zahlenfolge sind den Namen nach die gleichen. Es ist aber immer eine Grösse weniger als Grenzen, weil eine Grösse an zwei Enden begrenzt ist. Die rote Folge fängt bei 1 an, die blaue bei Einhalb.

Die von Aristoteles untersuchte Teilung gilt den Grössen, da sich bei uns die 1 oder die 0 als die Grenzen der Eins nicht geometrisch teilen lassen ('geometrisch' hier im herkömmlichen Sinn). Bei Aristoteles lässt sich die 1 überhaupt nicht teilen, weil es für ihn eine rote 1 ist. Brüche gab es noch nicht in Griechenland. Aber selbst wenn es sie gegeben hätte: Die 1 und die 0 sind genau wie jeder andere Bruch dazwischen, 1/2 oder 1/4 oder 1/64 , genau ein einziges Zwischen und damit unteilbar. Kronecker und andere modernen Mathematiker sind wieder auf die rote 1 zurückgekommen, was zur Folge hatte, dass heute viele ekel gegen die stetig ausgedehnten blauen geometrischen Grössen sind und natürlich zum Hauptteil an den übergeschnappten Formaktualisten. Dass in diesem Beispiel Stoff und Form den gleichen Namen tragen, ist Zufall, weil sich diese Teilung an jeder beliebigen Stelle der Zahlengeraden vornehmen lässt, bei +485 oder bei -10 24 oder bei π . Es erinnert uns daran, dass auch die Mathematik den Gesetzen von Stoff und Form unterworfen ist. Sobald eine Wissenschaft von sich behauptet, sie habe den Stoff überwunden, ist es bald unmöglich, die Wissenschaft von der Scharlatanerie zu unterscheiden.

Die Zahlen haben also die manchmal erfreuliche, manchmal weniger erfreuliche Eigenschaft, dass man den Stoff wie die Form behandeln kann, ohne einen Fehler zu machen. Es bleibt sich gleich, ob man

sagt. Man kann also die stofflichen oder stetigen Zahlen in bestimmten Fällen durch die förmlichen oder diskreten Zahlen ersetzen. Diese Eigenschaft ist manchmal weniger erfreulich, weil sich in diesem Bereich nicht so genau sagen lässt, wann Operationen dieser Art erlaubt sind und wann nicht. Auf jeden Fall aber ist es ein Bereich, in dem sich im wahrsten Sinne des Wortes eine Unendlichkeit an möglichen Erkenntnissen gleichermassen befindet, wie eine Unendlichkeit an möglichen Irrtümern. So dass wir hier eigentlich recht genau und für jedermann erkennbar zwischen gesichertem Wissen und reiner Vermutung oder Glauben oder Unwahrheit unterscheiden sollten. Der Grenzwert ist Beispiel, wie Glaube als Wissen ausgegeben wird oder wie ein gesetztes Sein zu einem tatsächlichen Sein mutiert ist.

Die Teilung in der Proportion Einhalb wird nur dann zu Null, wenn zwischen dem letzten Teilungsglied und der 0 keine Lücke mehr bleibt oder wenn die Summe aller Teilungsglieder genau die Eins ist.

Addieren wir die ersten sechs Teilgrössen der Halbierungen, so ergibt sich

Bereits nach sechs Teilungen haben wir die Eins fast erreicht. Es fehlt nur noch 1/64, also noch einmal die Grösse des letzten Teilungsgliedes.

Wir können mit der Teilung beliebig oft fortfahren. Aber so oft wir die Grösse auch teilen, es bleibt immer noch ein Rest übrig. Diese Teilung führt also nicht zu dem gewünschten Ergebnis, sondern nur dazu, dass am Ende immer noch ein Rest übrigbleibt, der bei der vorliegenden Reihe stets genauso gross ist wie das letzte Teilungsglied. Lassen wir also erst einmal das Restglied nach dem sechsten, siebenten oder allgemein nach dem n ten Glied beiseite und untersuchen, wie wir die Summe bis zum n ten Glied berechnen. Denn schon bei sechs Gliedern ist es ziemlich aufwendig, das im Kopf auszurechnen.

Wir haben das erste Glied,

Der Ausdruck

ist die Summenformel der geometrischen Reihe bis zum n ten Glied. a 1 ist das erste Glied, hier . q ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder, also oder . Er ist stets konstant, in unserem Fall genauso gross wie das erste Glied, ebenfalls 1/2. Die Summe der ersten sechs Teilungsglieder ist also:

Da wir bei dieser Reihe stets noch das n te Teilungs-Glied hinzufügen müssen, um zur Eins zu kommen und sich das n te Teilungsglied nach

was uns auch nicht weiter zu helfen scheint. Daraus ist nicht zu erkennen, ob die Null durch Teilung erreicht wird oder nicht, weil wir die Lücke am Ende durch Hinzufügung geschlossen haben, bevor wir mit dem Teilen 'fertig' waren. Fragen wir also anders herum.

Der Grenzwert der Summe der unendlichen geometrischen Reihe berechnet sich nach

Also scheint sich irgendwo zwischen dem n ten und dem unendlichsten Teilungsglied etwas abzuspielen, was das Restglied zum Verschwinden bringt, die Null durch Teilung erreicht und die Eins herbeizaubert:

Ersetzen wir das Fragezeichen durch x, dann ist der Ausdruck in der Klammer:

Das Restglied, das nach jeder Teilung hinzuzufügen ist, um die stetige Grösse komplett zu machen, heisst also:

was bei q = 0,5 zufällig gleich dem n ten Glied ist, da

Addieren wir also umgekehrt zur Summenformel bis zum n ten Glied das Restglied, so erhalten wir:

Was kein Wunder ist, weil wir es ja vorausgesetzt haben.

Der Grenzwert ist also nicht das Ergebnis tiefschürfender Gedanken um das Unendliche, sondern umgekehrt hat die Division von 'Eins durch Eins minus q' zur unendlichen geometrischen Reihe hingeführt .2 Entstanden ist der Grenzwert aus der Rechenaufgabe 1 : (1 - q). Schriftliches Teilen mit Rest:

Nach jeder Teilung bleibt der Rest q n .Teilen wir den Rest q n durch (1 - q) und addieren ihn zur Reihe, ergibt sich das gewünschte Ergebnis. Dabei spielt es keine Rolle, ob das n te Glied das zweite, dritte, unendlichste oder unendlich hoch unendlichste Glied ist: stets muss zum letzten noch q n : (1 - q) hinzugefügt werden, sonst geht die Rechnung nicht auf.

Wir können also feststellen, dass das diskrete Zwischen beim Rechnen nicht durch Teilung, sondern genau wie bei der arithmetischen Reihe durch Hinzufügung oder Wegnahme erreicht wird. Da wir aber wissen, dass 1 : (1 - 0,5) = 2 ist, ist dies eine erlaubte Notlüge im Bereich der Form. Wir haben also gefunden, dass der Grenzwert genau mit der oben gezeigten Schummelei erreicht wird (Grenzwert geschummelt Kr.3.6.206b3-9). Aristoteles behält wieder einmal recht. Die Teilung des Stetigen ergibt nicht das Diskrete.

Aber was wird aus dem Grenzwert Eins durch Unendlich ohne Restglied? Ist der nicht Null? Doch. Es ist aber keine dünne rote, sondern eine dicke blaue Null, wenn wir ehrlich sind. Nur wenn wir schwindeln, ist die Null rot. Wir schänden weder Aristoteles, noch die Mathematik mit der 'potentiellen Unendlichkeit'. Das Potentielle am Grenzwert ist der rote Grenzwert, die Form, nicht aber die Unendlichkeit. Nicht die mögliche Unendlichkeit erreicht die Null, sondern die unmögliche Unendlichkeit erreicht die rote Null, weil wir das so festlegen. Die einfache blaue Null wird bereits bei der Teilung durch Unendlich erreicht. Sie ist der Gigant unter den unendlich kleinen Grössen und hat beim Grenzwert nichts verloren.

Wenn wir im Schulunterricht trotzdem die einfache Eins durch Unendlich als Null setzten, ist das kein Fehler, sondern nur ein erlaubte Unwahrheit, die Gleichsetzung einer blauen stetigen Null mit einer roten diskreten Null. Die gleichen einander wie ein Ei dem anderen 0 = 0 .

Wir können die Logik Logik sein lassen, weil sie bei der Form nichts verloren hat und beide Nullen gleichsetzen und unseren kleinen Schwindel als solchen kennzeichnen. Wir können die Eins durch Unendlich auch als die rationale Null bezeichnen. Mit dieser rationalen Null können wir die unendlich vieldeutige Eins als die unendlichste Wurzel erklären, ohne uns die Zunge zu verrenken.3 Wir können sogar sagen, dass unser kleines blaues Stöffchen ein Stöffchen im Bereich der Form ist und und und. Alles im Bereich der Formen ist möglich, solange wir nicht vergessen, dass der Stoff unser Massstab ist.

Dieses Unendlich bezeichnet Cantor als die kleinste Mächtigkeit. Nennen wir die zugehörige rationale Null die grösste Ohnmächtigkeit, zum Zwischen zu werden. Dagegen bezeichen wir dieselbe 'gegen-unendlich-Null' als impotenten Schlappschwanz. Ähnlich wie im Grossen, so können wir auch bei der Null die diversen Ohnmächtigkeiten einander gleichsetzen, solange wir nicht vergessen, dass wir dabei ein wenig schwindeln.

Und nun die zweite Frage. Besteht die Grösse aus den Zwischen?

Besteht die Grösse aus Zwischen? KrK.6.7.237b23.h

Die Grösse ist der 3d-Stoff der Logik, heisst es in der Logik. Die Grösse ist das 3d-Leere, hiess es hin und wieder in der Physik. Materieller Stoff und Grösse sind Eins, heisst es bei Aristoteles. Dann gibt es noch die ideelle geometrische 3d-Grösse. Mit der Feststellung, die 3d-Grösse gibt es nicht oder gibt es nur als ein Ideelles, täten wir uns einen grossen 'Gefallen'. Denn wenn wir auf dem physischen Sein des Punkts, des Wegs, der Form, der Grösse beharren, dann ist dies die Konsequenz:

Wenn an jeder Stelle des Vollen ein Zwischen sein kann, und wenn an jeder Stelle des Leeren ein Zwischen sein kann, dann wäre an allen Stellen des Vollen und an allen Stellen des Leeren ein Zwischen. Wenn an allen, dann auch am Ganzen! Denn 'jeder' und 'alle' bezeichnen das Ganze, so sehr wir dem Zenon diesen Schluss von der 1 auf den Zentimeter mit unserer löchrig-ununterbrochenen roten Jetzt-Geraden verbieten wollen. Wenn das Wort 'jeder' überhaupt einen Sinn hat, dann den von 'alle' und wenn alle, dann das Ganze, mag es uns gefallen oder nicht. Denn auch eine ganze Menge ist ein Ganzes. Wenn auch nicht ein Ganzes aus Stoff und Form, so doch aus Einem, Vielen, Allen. Dann besteht aber entweder das Leere aus den Zwischen, oder das Volle besteht aus den Zwischen, oder aber es gibt einen 'dritten Stoff' neben dem Vollen und dem Leeren, die 3d-Grösse, die aus den Zwischen besteht. Genauso gross wie das Volle und das Leere und mit beiden zugleich. Das ist Unsinn!

Jetzt bleiben genau drei Möglichkeiten, die kein Unsinn sind. Entweder die Grösse ist das Leere. Oder die Grösse ist das Volle. Oder die Grösse ist ein Ideelles und Nicht-Seiendes. Ein Seiendes neben dem Vollen und dem Leeren kann die Grösse nicht sein. Für den dritten Stoff gibt es keinen Platz mehr in der Welt. Jeder Platz ist bereits besetzt.

Bei dieser Frage droht einem der Schädel zu platzen. Denn gerade habe ich doch getan, was ich eigentlich stets vermeiden wollte, nämlich Stoff und Form durcheinandergewürfelt, wenn ich sage, dass »alle« dasselbe wie »das Ganze« ist, eine Zahl dasselbe wie eine Grösse!

Wenn wir den Punkt, die Linie und die Fläche als ein Mögliches in das Wirkliche hineindenken, was hindert uns dann daran, dasselbe mit dem roten Körper zu tun? Die Unvorstellbarkeit des dritten Stoffes. Gut. Aber ist die Unvorstellbarkeit, unsere Phantasielosigkeit der Massstab des Seins? Oder ist am Ende doch Platons Formenreich der dritte Stoff neben der Materie und dem Leeren? Identisch in der Grösse und am selben Ort wie die beiden?

Die unbewegte Form haben wir als das Mögliche im Wirklichen gefunden. Ein Mischwesen aus Ideellem und Realem. Als ein Wirkliches haben wir sie bis jetzt nur in einem einzigen Fall gefunden. Wenn sich nämlich zwei stetige Raummaterieteilchen berühren, dann und nur dann gibt es für 1 Jetzt die wirkliche Form als einen einzigen Punkt, dem ewig unbewegten Ort im Leeren. Und das auch nur, wenn wir nebendran sitzen und die Behauptung dieser Berührung auf Papier festhalten.

Können wir angesichts dieser mageren Formen-Ausbeute sagen: Wenn es die Form an einer Stelle des Universums gibt, und wenn es an jeder Stelle des Universums möglich ist, dass sich zwei Raummaterieteilchen berühren, dann besteht das Ganze Leere aus den Punkten?

Vieles spricht dagegen. Manches dafür.

Es erscheint nicht möglich, dass ein Ding, das an jedem Ort sein kann, nicht an allen Orten ist. Wäre es aber überall, so gäbe es neben dem Vollen und dem Leeren einen dritten Stoff, für den kein Platz da ist. Also ist es offenbar selbst nicht.

Das wichtigste Argument gegen das Sein der Grösse ist: Wenn das Zwischen weder zum Vollen noch zum Leeren gehört, die Grösse aber aus den Zwischen besteht, dann gehört die Grösse weder zum Vollen noch zum Leeren.

Da es aber ausser dem Vollen und dem Leeren nichts gibt, kann die Grösse nicht sein. Also bleibt nur, dass sie ideell ist.

Was ist es eigentlich, das sich in uns dagegen sträubt, den Stoff aus Formen in Gedanken zuzulassen? Mit 'uns' meine ich den noch nicht durch die Philosophen der Wurstfabrikanten und Kurspfleger4 verdorbenen Leser. Die Unvorstellbarkeit allein kann es nicht sein. Das unendlich Grosse, das unendlich Kleine oder das Zwischen ist auch unvorstellbar, und die meisten glauben, dass die Welt unendlich gross ist. Er ist einmal die Art und Weise, wie wir uns von der Existenz des Zwischen versichern: Wir nehmen 2 Volle an, die sich berühren und sagen, das zwischen beiden sei genau 1 Zwischen. Dann aber ist es die Gewissheit, dass keine Menge der Welt das Grössenlose zur Grösse machen kann. Und das wird wohl so sein, weil es so ist.

Die nächste Vermutung wäre, es gibt nur den Stoff und keine Form. Die wollen wir aber ganz schnell wieder vergessen - selbst wenn sie wahr ist!

Wir müssen nur neue Regeln aufstellen. Wir können das Leere nicht mehr als die Grösse bezeichnen, weil die Grösse ein gedachtes Nicht-Seiendes ist. Die Logik der Grösse ist daher zunächst die Logik des Stoffs. Die Materie wäre in ihrer 3d-Ausdehnung mit den Ausdehnungslosen zugleich, wäre das Leere die Grösse und bestünde die Grösse aus Formen. Wenn der leere Stoff aus Formen bestünde, dann wäre er auch in die Formen zerlegbar, Division hin oder her. Denn wir haben oben nicht bewiesen, dass der Stoff nicht in Formen teilbar ist. Wir haben nur gezeigt, dass wir diese Teilung mit unseren Mitteln nicht fertigbringen. Dass die Natur kann, was wir nicht können, beweist jeder Atemzug und die Infinitesimalrechnung, die den Stoff als das Wirkliche und die Form als das Mögliche erkannt hat.

Dedekind KrK.6.7.237b23.i

Vor die Wahl gestellt, uns zwischen Form und Stoff zu entscheiden, entweder den formlosen Stoff oder die stofflose Form zu wählen, sagen wir, dass wir uns nicht vor diese Wahl stellen lassen. Jedes Wesen besteht aus Stoff und Form. Aber der Übergang zwischen Stoff und Form ist unüberbrückbar. Neben den vielen Absurditäten, die wir ausgiebig in der Physik behandelt haben, könnten wir einen Stoff nicht mehr in zwei gleichgrosse Teile zerteilen, bestünde er aus den Formen und müssten wie Dedekind den zerteilenden 'Schnitt' der einen oder der anderen Hälfte zuschlagen:

Aristoteles scheint also auch hier recht zu behalten, und das Stetige scheint nicht aus Diskretem zu bestehen.

»Ist a ein bestimmte Zahl, so zerfallen alle Zahlen des Systems R in zwei Classen, A1 und A2, deren jede unendlich viele Individuen enthält; die erste Classe A1 umfasst alle Zahlen a1, welche < a sind, die zweite Classe A2 umfasst alle Zahlen a2 welche > a sind; die Zahl a selbst kann nach Belieben der ersten oder der zweiten Classe zugetheilt werden, und sie ist dann entsprechend die grösste Zahl der ersten oder die kleinste Zahl der zweiten Classe. In jedem Falle ist die Zerlegung des Systems R in die beiden Classen A1, A2 von der Art, dass jede Zahl der ersten Classe A1 kleiner als jede Zahl der zweiten Classe A2 ist.« Richard Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig 1912

Was die Aussage für die Mathematik bedeutet, kann und will ich nicht beurteilen. Das Problem, eine Strecke ohne Rest in zwei Teile zu teilen, ist hier gelöst. Bei uns bleibt aus der Sicht Dedekinds bei der Teilung der Teilungspunkt selbst 'übrig', bei Dedekind nicht. Aber bei uns sind das Stetige und das Diskrete Zweierlei und nicht Einerlei. Das eine ist der Stoff und das Wirkliche , das andre ist die Form und das Mögliche, Unwirkliche, Unwahre .

Für die Philosophie wäre diese Teilung des Stetigen eine Katastrophe.


1. »Der Erde wollen wir also die kubische Form zuweisen; denn sie ist die unbeweglichste von den vier Gattungen und der bildsamste von allen Körpern; mit aller Notwendigkeit kann aber nur der so beschaffen sein, der auch die festesten Grundlagen hat, und von den Dreiecken, die wir zu Beginn angenommen haben, ist dasjenige mit zwei gleichen Seiten von Natur aus eine sicherere Grundlage als jenes mit ungleichen Seiten, und auch die gleichseitige Fläche, die aus diesen beiden zusammengesetzt ist, hat als Viereck sowohl in ihren Teilen als im Ganzen notwendig einen festeren Stand, als wenn die Oberfläche ein gleichseitiges Dreieck ist. Wenn wir daher diese Form der Erde zuweisen, bleiben wir damit bei der Aussage, die die Wahrscheinlichkeit für sich hat. Dem Wasser dagegen geben wir die Gestalt, die von den (drei noch) übrigen die schwerbeweglichste ist; die am leichtesten bewegliche geben wir dem Feuer und die mittlere der Luft. Und den kleinsten Körper geben wir dem Feuer, den grössten dem Wasser und den mittleren der Luft; ferner den spitzigsten dem Feuer, den zweitspitzigsten der Luft und den dritten dem Wasser.« Platon, Timaios

2. Vgl. Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, Erster Teil, Zweiter Abschnitt, Kapitel 4: Von der Division zusammengesetzter Grössen und Kapitel 5: Von der Auflösung der Brüche in unendliche Reihen, Nachdruck bei Reclam Stuttgart 1959, vergriffen. Und Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Differenzial-Rechnung, Teil I, Kapitel 3: Von dem Unendlichen und dem unendlich Kleinen, Nachdruck Wiesbaden 1981 , vergriffen. Siehe im Netz unter » Exkurse «, wo der obige Ausdruck erläutert und mit Euler hergeleitet wird.

3. Jede reelle Zahl, so lernen wir in der Schule, aus der die unendlichste Wurzel gezogen wird, also x hoch (Eins durch Unendlich), ergibt die Eins. Das ist aber nicht ganz richtig. Denn zur Eins kommt noch der unendlichste Teil des Logarithmus der Zahl dazu, aus der die unendlichste Wurzel gezogen wurde.

4. Ich muss diese polemische Formulierung für den Leser erläutern, der noch sich nicht mit Ökonomie befasst hat oder nur die Ökonomen der Wurstfabrikanten kennt. Die Wurstfabrikanten stehen für das produktive Kapital, die Kurspfleger für das nicht produktive Kapital. Das produktive Kapital stellt den Reichtum her. Das unproduktive Kapital erhält und verteilt ihn. Teilweise ist das unproduktive Kapital auch nutzlos und schädlich, wenn es an den Geldmärkten zirkuliert, ohne in den wirtschaftlichen Kreislauf zurückzufließen. Beide Kapitalarten gehören in denselben Club, nicht in zwei verschiedene Clubs. Wenn es bei Zuspitzung der Krisen für das Kapital brenzlig wird und das Kapital doch einmal bei seinem richtigen Namen, statt als 'zartes Pflänzchen' und ähnliche Euphemismen, genannt werden muss, dann teilen die Wurstphilosophen das Kapital in die guten und die schlechten Cops auf. So die Nazis, wenn sie vom schaffenden und vom raffenden Kapital reden, die edlen Germanen und die gierigen Juden. Die theoretisch und menschlich auf den Hund gekommene Sozialdemokratie gibt dafür die Steilvorlage: »Das industrielle Kapital ist in seinen Anfängen friedlich, im Gegensatz zum Bankkapital, das an Kriegen ein Interesse hat.« Karl Kautsky, Wehrfrage und Sozialdemokratie, Berlin 1928 , S. 14