Kr.3.7.207a-208a Wie es das Unendliche gibt - KrSc

unendlich Kleines Kr.3.7.207a33-b1

»So versteht man, dass es ein Unendlich durch Anwachsen nicht zu geben scheint in der Weise, dass es 35 jede gegebene Grösse überschritte, dass es dagegen in der Teilung möglich ist. Denn wie der Stoff, 207b so wird das Unendliche innen umschlossen und zwar von der Gestalt [eidos] ... « [G109]

KrK.3.7.207b1

'Das Umschlossene ist aber kleiner als das Umschliessende usw.', soll sich der Hörer dazudenken und daraus den Schluss ziehen, dass das All keine Grenze hat, weil die ein Grösseres als das All voraussetze. Das ist falsch, wie uns Ar eben gerade gesagt hat. Das Wesen ist die untrennbare Vereinigung von Stoff und Form. Die Grenze ist nicht grösser als das Begrenzte, die Form nicht grösser als der Stoff, sondern sie ist genauso gross, wie uns Ar noch zeigen wird. Begrenztes und Grenze folgen nicht auf einander, sondern sind so zugleich, wie 'zwei' Dinge nur zugleich sein können, nämlich am selben Ort. Also kein Beweis gegen die Grenze des unendlichen Alles umfassenden Alls.

keine kleinste Grösse Kr.3.7.207b1-10

»... Seinen guten Grund hat auch dies, dass es bei der Zahl eine untere, aber keine obere Grenze gibt, dass es hingegen bei der Ausdehnungsgrösse gerade umgekehrt keine 5 untere Grenze gibt, während nach oben zu keine unendliche Quantität auftreten kann. Und zwar liegt der Grund für diese Verhältnisse in folgenden Tatsachen:

Die Einzahl ist unteilbar, mag das in Einzahl Auftretende sein, was es will - ein Mensch z.B ist ein Mensch und nicht viele -; die Zahl aber ist (stets Anzahl und als solche nichts anderes als) mehrere 'Eine' und irgendeine Menge von 'Einen'; Bei der unteilbaren Eins ist also (nach unten zu) stehenzubleiben - denn die Drei und die Zwei sind ja nur abgeleitete Termini, nicht anders natürlich auch alle übrigen 10 Zahlen...« [W79]

KrK.3.7.207b10

Die Eins oder die Einheit ist unteilbar. Beleg ist das Wesen, etwa das Wesen Mensch: Teilst du das Wesen Mensch, so ist es kein Mensch mehr.

Die stetige Grösse dagegen ist unendlich teilbar aber keinesfalls unendlich gross, weil die Welt endlich gross ist. Aber ob das Wesen endlich oder unendlich gross ist, spielt keine Rolle, weil die Beziehungen vom Ganzen zum Teil im Endlichen dieselben sind wie im Unendlichen, wenn wir sie im Endlichen richtig und damit wahr erkannt haben.

Das Wesen ist der geformte Stoff. Es ist stetige Ausdehnung und diskrete Grenze zugleich. Der Teil des Wesens, den wir die Form nennen, hat die denkwürdigen Eigenschaften, dem Ganzen nichts zu rauben, wenn er wegfällt und dem Ganzen nichts hinzuzufügen, wenn er da ist.

Die Eins ist entweder Grenze der Einheit und hat das Grenze-Sein mit allen anderen Zahlen, natürlichen, rationalen, irrationalen oder transzendenten Zahlen gemein, sie gleichen einander wie ein Ei dem anderen 0 = 0.

Oder sie ist die Ausdehnung der Einheit 01 . Die Strecke der Einheit 01 ist teilbar und nicht unteilbar.1 Der Stoff der Einheit ist teilbar, die Form der Einheit wie jede andere Form nicht: Während die Zahl als Grenze eine absolute Grösse, nämlich keine Grösse hat, ist die Strekke 01 willkürlich gesetzt. 1 cm ist ein bestimmter Teil des Erdumfangs. Aber ganz gleich, wie gross oder klein die Einheitsstrecke ist, sie ist unendlich teilbar.

möglich unendlich grosse Zahl Kr.3.7.207b10-15

»...nach oben zu aber kann man in Gedanken unbegrenzt weiterzählen, denn jede Ausdehnungsgrösse lässt sich unendlich oft halbieren. Die Zahlenreihe ist also im Modus der Möglichkeit unendlich gross, im Modus der Wirklichkeit ist sie es nicht. Aber sie geht über jede bestimmte Anzahl nochmals hinaus«, »aber nicht trennbar ist diese Zahl von eben jener fortgesetzten Zweitheilung, und es bleibt auch dabei die Unbegränztheit nicht beharren, sondern ist immer im Entstehen begriffen, 15 wie auch die Zeit und die Zählung der Zeit ... « [W79,P141]

KrK.3.7.207b15

Fehlte nur noch dass er »wie ja auch die Zeit unter den Händen zerrinnt« kurtzmalert. Wie Zeit und Zahl miteinander zusammenhängen, behandelt Aristoteles in Buch 4, Kapitel 10 bis 14: Das aristotelische Raum-Zeit-Kontinuum.

Die Anzahl der durchführbaren und zählbaren Teilungen eines Stetigen ist unendlich. Teilungsstücke und zugehörige Anzahl der Teilungen müssen der Zahl nach identisch sein. Es gibt 'der Möglichkeit nach' die unendlich grosse Zahl und die ihr genau entsprechende unendlich kleine Grösse und die ihr genau entsprechenden unendlich vielen Teilungsstücke. Der Wirklichkeit nach aber gibt es sie nicht, weil wir mit dem Zählen und Teilen einfach nicht fertigwerden. Da Achill aber die Schildkröte einholt und nicht nicht einholt, richtet sich die Zahl nicht nach unserem Dauerzähler oder -teiler, sondern die Natur kann tun, was wir nicht können oder die Praxis, was die Theorie nicht kann: Aus der Bewegung des Brustkorbs > 0 relativ zur Wirbelsäule wird Bewegung = 0, wird Bewegung > 0 usw. Jeder Atemzug belegt das ohne Division.

unendliche Teilung des Stetigen Kr.3.7.207b15-21

»...Gerade umgekehrt liegt es bei den Ausdehnungsgrössen: das Kontinuum [syneches] lässt sich ins Unendliche teilen, kann aber nicht unendlich gross werden. Denn auch im Modus der Möglichkeit kann es nicht grösser sein, als es im Modus der Wirklichkeit zu sein vermag. Weil es nun keine unendliche sinnliche Ausdehnungsgrösse gibt, ist in diesem 20 Bereich auch kein Hinausgehen über jedwede bestimmte (endliche) Quantität möglich. Sonst würde es ja etwas geben, das grösser als das Weltall wäre.« [W79]

KrK.3.7.207b21

Die Gleichung Menschenmögliches <= Naturmögliches funktioniert nur in einer Richtung. Soll sie in beiden Richtungen funktionieren, müssen wir sie auf logisch formulieren: [+]Menschenmögliche=(+)Naturmöglichen. Was der Natur möglich ist, muss auch dem Denken möglich sein, weil es in der Natur nichts Unmögliches gibt. Insofern sind die beiden inneren Trinitäten (Aufgabe der Physik KrK.2.9.200b12) kleiner als die äussere, genauer: weniger, da du Ideen und Stoff nur über die Menge vergleichen kannst. Die Anzahl des Naturmöglichen ist unendlich, wie auch die Anzahl des Denkmöglichen. Die Anzahl des gedachten Denkmöglichen endlich. Und hier ist auch das einzige potentiell Unendliche: Das uns Denkmögliche ist potentiell unendlich, wie auch Engels fand. Umgekehrt muss das Denkmögliche nicht unbedingt ein Naturmögliches sein. Hier vertun wir uns oft. Aristoteles bringt alles durcheinander. Erst soll sich das Wirkliche nach dem Möglichen richten, das in Wahrheit ein Unmögliches ist. Jetzt soll sich das Mögliche nach dem Wirklichen richten, und das Wirkliche soll sich nach unseren Sinnen richten. Mein Sehvermögen bestimmt die Grösse des Weltalls, oder mein Heim ist meine Welt.

Wenn es ein mathematisch Unendliches gibt, so ist es entweder eine gedankliche Konstruktion, die sich von den wirklichen Grössen entfernt hat und nicht unbedingt deren Gesetzen gehorchen muss. Oder es ist eine Wiedergabe eben dieser Grössen. Die sind oder sind nicht. Modalitäten haben im Sein keinen Platz. Die Seinslehre handelt vom Sein und nicht vom Möglichsein.

Grösse, Bewegung, Zeit Kr.3.7.207b21-27

»Das Unbegränzte aber ist nicht das nämliche bei der Grösse und bei der Bewegung und bei der Zeit, wie wenn es bloss eine Natur [physis] wäre, sondern das Abgeleitetere wird nach dem Ursprünglicheren benannt,« »z. B. Bewegung, weil die Grösse unendlich ist, an der sich die Bewegung oder Veränderung oder das Wachsen vollzieht, die Zeit aber wieder 25 wegen der Bewegung.« »Damit ist allerdings auf Künftiges vorgegriffen; in einem späteren Zusammenhang wird jeder dieser Begriffe und der Grund für die unendliche Teilbarkeit jedweder Ausdehnungsgrösse erörtert werden.« [P141,143,G110,W80]

ewige Bewegung in endlicher Welt KrK.3.7.207b27

Da das All unendlich in der Zeit ist, muss es doch eine unendlich grosse Grösse geben, den unendlich langen Weg, den die Fixsternsphäre bei ihrer Rotation um die Erde herum zurücklegt. Glücklicherweise behelligt uns Aristoteles in der Physik nicht allzusehr mit seinen historisch bedingten Ansichten über den Aufbau der Welt.

Eine unendliche Bewegung in einem endlichen All ist nicht möglich, sagt die moderne Physik und zwingt uns damit zum Aberglauben, weil sie gleichzeitig eine endlich grosse Welt lehrt. Bemerkenswert ist, dass Aristoteles die Grösse, die sonst nur als Abhängige auftritt, als das Ursprüngliche bezeichnet. Ob die Welt unendlich gross ist oder nicht, sehe ich heute etwas entspannter als bein meinen ersten Kontakten mit der Wissenschaft. Man lässt sich als junger Wissenschaftler leicht verleiten, die Kämpfe der Inquisition wieder und wieder nachzukämpfen. So wichtig solche ideologischen Auseinandersetungen auch sind, so leicht geraten sie zu einem Schattenboxen. Der Papst hat keine Waffen. Wer die Unendlichkeit nicht erträgt, soll sich zu ihm bekennen und an die endlich grosse Welt glauben. Ob wir sagen 'endlich und nicht begrenzt' oder 'unendlich und begrenzt' bleibt sich gleich, nur dass wir bei der unendlichen Welt keine Märchen erzählen müssen.

Unendliches und Mathematik Kr.3.7.207b27-32

»Unsere Erklärungsweise stört auch die Betrachtungen der Mathematik nicht, wenn sie das Unendliche als ein Wirkliches aufhebt und als Anwachsen für nicht durchführbar erklärt. Denn 30 die Mathematik braucht das Unendliche so wie so nicht und benutzt es auch nicht, sie verlangt nur eine beliebig grosse begrenzte Strecke, und jede Strecke lässt sich im selben Verhältnis teilen, wie die allergrösste.« [G110]

KrK.3.7.207b32

Aristoteles behält oft an den unmöglichsten Stellen recht. Dies ist eine davon. Die Hinzufügung proportional immer kleiner werdenden Teile, so, dass der letzte Teil ohne Grösse ist, gibt es nicht (Grösse: der Grenzwert KrK.6.7.237b23.g). Aber es gibt den Grenzwert, und es gibt das Unendliche in unendlicher Unendlichkeit in der Mathematik.

Unendliches ist Stoff ohne Form Kr.3.7.207b34-a4

»Da wir viererlei Ursachen abgegrenzt haben, ist 35 natürlich das Unendliche zur stofflichen Ursache zu rechnen und sein Wesen 208a Gestaltlosigkeit, der das Stetige und Wahrnehmbare an sich zugrunde liegt. Auch alle anderen Denker benutzen offensichtlich das Unendliche als Stoff. Deswegen ist es auch widersinnig, es zum Umfassenden machen zu wollen statt zum Umfassten.« [G110]

Unendliches ist Stoff mit Form KrK.3.7.208a4

Auch wir bezeichnen die unendlich grosse Grösse, das Leere, als Stoff. Wir werden aber darauf beharren, dass die grösste Grösse, so, wie jede andere auch, eine Form hat. Entweder hat jedes Wesen eine Form oder keines hat eine Form. Solche prinzipiellen Dinge dulden keine Ausnahmen.

Das Problem mit der Form ist ein und dasselbe beim Schuhkarton wie bei der endlich oder unendlich grossen Welt. Wir müssen es also nur beim Schuhkarton lösen. Dort ist es sogar doch noch ein wenig komplizierter als beim All, weil der Schuhkarton wie die Licht- oder Wasserwelle auf beiden Seiten der Grenze ein 'Stetiges' hat, nämlich die Luft und die Luft, das Wasser und die Luft oder den Raum und den Raum.


1. Die Bruchrechnung ist erst lange nach dem Mittelalter über die Araber nach Europa gekommen. In Indien gab es die Bruchrechnung schon um 800 v. Chr. (Korrektur: 600 n. Chr. 2015)