Kr.3.6.206a-207a Das potentiell Unendliche - KrSc

KrK.3.6.206a9

Eben noch als genial bezeichnet, macht Aristoteles nun die Möglichkeit-Wirklichkeit zum Ärgernis. Es gibt keine wirkliche, sondern nur eine mögliche Unendlichkeit und die auch nur bei der Teilbarkeit der stetigen Körper oder Grössen. Die Unendlichkeit wird zwischen zwei Grenzen eines Endlichen eingesperrt, etwa der Strecke 01, und dort gibt es sie nur als mögliche Unendlichkeit, weil wir nicht bis unendlich zählen können und nicht unendlich oft teilen können.1 Das Natur-Mögliche mutiert zum Menschenmöglichen.

Teilbarkeit von Zeit und Grösse Kr.3.6.206a9-18

»Dass aber auch dann, wenn man schlechthin nichts Unendliches annimmt, sich viel Unmögliches 10 ergibt, ist klar. Denn dann wird die Zeit Anfang und Ende haben, und Grössen werden nicht in Grössen teilbar sein, und die Zahlenreihe wird nicht unendlich sein. Wenn aber keine der beiden geschilderten Auffassungen möglich zu sein scheint, bedarf es eines Schiedsrichters; offenbar gibt es das Unendliche in einer Weise, in anderer Weise auch nicht.

Das Sein ist entweder ein Möglich-sein oder ein 15 Wirklich-sein2, und das Unendliche ist entweder durch Anwachsen oder durch Teilen3. Dass eine Grösse nicht als Wirklich-sein unendlich sein kann, ist schon gesagt, aber durch Teilen kann sie es sein. Es ist nämlich nicht schwer, die Behauptung unteilbarer Linien zu widerlegen.4 Also (!) bleibt nur die Annahme übrig, dass das Unendliche als Möglich-sein und Anlage da ist.« [G104f]

KrK.3.6.206a18

Das unendlich Grosse gibt es nicht, aber das unendlich lang währende, die Ewigkeit gibt es und ebenso das unendlich Kleine (nicht die Null!) der geometrischen Folge, also das Resultat der Teilung in gleicher Proportion. So, wie die Anzahl der möglichen Teilungen wirklich unendlich würde, so würde die dazugehörige Zahl unendlich, die diesen Teilungen entspricht. Beide müssen ja gleichgross sein. Angenommen, die hier 'möglich' genannte Anzahl oder Zahl wäre wirklich erreicht: Dann wären wir mit unseren Teilungen bei einer unendlich kleinen Grösse angekommen mit dazugehöriger unendlich grosser Zahl. Diese unendlich kleine Grösse wäre aber immer noch eine Grösse. Das heisst, sie wäre teilbar, unendlich teilbar. Aristoteles wird dies noch oft und mit Recht betonen, wenn er später ans Punkteleugnen gehen wird (Buch 6 Die bewegte Form). Jedenfalls wäre schon jetzt bei dem ersten riesig grossen unendlich Kleinen aus dem möglichen Unendlich ein wirkliches Unendlich geworden.

Wichtiger als seine Konfusion des Menschenmöglichen mit dem Naturmöglichen ist hier sein Beharren auf der absoluten Trennung des Diskreten vom Stetigen, dass keine Unendlichkeit der Welt es fertigbringt, aus einer Grösse ein Grössenloses zu machen. Das ist also eine Unmöglichkeit, so Ar, keine Möglichkeit. Die Möglichkeit ist vielmehr das erste riesengrosse Unendlichkleine. Und die wird wirklich?

Möglichsein und Möglichwerden Kr.3.6.206a18-22

»Man darf jedoch dieses Möglichsein nicht so denken, wie 20 das Möglich-sein dieses Bildwerks, so dass also gerade so, wie dieses Bildwerk auch entstehen wird, auch ein Unendliches da sein wird als Wirklichkeit. Nein, da 'sein' vielerlei bedeutet, ist das Unendliche zu denken, wie Tag und Olympiade, bei denen wieder und wieder ein Neues entsteht« [G105]

Möglichsein ist Unmöglichsein KrK.3.6.206a22.a

Das Möglichsein ist also ein Unmöglichsein und zudem kein Sein, sondern ein Werden, ein unendlich klein Werden.

Aristoteles nimmt uns auf den Arm: Zunächst ist die Möglichkeit etwas, aus dem nicht weniger als alle Bewegung wird, was jeder Bewegung zugrundeliegt, sonst könnte sie sich nicht verwirklichen, die Voraussetzung allen Werdens und Vergehens, allen Wachsens und Schwindens aller Bewegung in der Wirklichkeit. Jetzt dient die plumpe Analogie mit der Olympiade zur 'Erläuterung' des potentiell Unendlichen, das sich um das bloss Menschenmögliche kümmert und daraus ein 'Naturunmögliches' herbeiredet.

Ewigkeit KrK.3.6.206a22.b

Die unendlich grosse Grösse gibt es nicht, weil das All endlich gross ist. Aber die Bewegung der Welt in der Zeit ist ohne Anfang und Ende, denn die Welt ist ungeworden und unvergänglich.

Folge endlich grosser Grössen Kr.3.6.206a25-b3

»Im übrigen aber ist [die Unendlichkeit] keineswegs dieselbe, wenn es sich um die Unendlichkeit der Zeit ... oder aber um die Unendlichkeit der Grössenteilung handelt. Allgemein nun ist Unendlichkeit lediglich fortwährende Sukzession von Gliedern (einer Reihe), wobei also jedes Glied durchaus endlich ist, aber eben auf jedes Glied jedesmal wieder ein weiteres folgt. [Der Terminus 30 'sein' ist mehrdeutig. Das Unendliche ist nicht in der Weise eines bestimmten Gegenstandes - nicht so wie ein Mensch oder ein Haus -, sondern wie ein Tag oder ein Kampfspiel ist, die ja auch keine Substanzen sind, sondern nur in der Sukzession der kommenden und vergehenden Phasen bestehen, von denen jede endlich ist, nur dass auf jede stets eine weitere folgt.] Aber doch (ist ein Unterschied nicht zu 206b übersehen;) bei der Grössenteilung bleibt der jeweils herausgegriffene Teil (als das Weiterzuteilende) erhalten, während die Phasen der Zeit ... jeweils vergehen, ohne dass jedoch (die Sukzession selbst) ein Ende hätte.« [W75f]

unendliche Folge endlicher Teile KrK.3.6.206b3.a

Wenn das so ist, wie Ar nun sagt, dann besteht die Unendlichkeit der Zeit doch aus lauter Endlichkeiten und ist wirklich, nicht möglich, mögen die Zeitteile vergehen oder nicht, oder aber die Welt hat einen Anfang in der Zeit. Dann ist sie nicht ohne Anfang. Kants Aporie der durchlaufenen Unendlichkeit, des Unendlichen, das jetzt eine Ende hat ohne einen Anfang, nämlich genau da, wo und wann wir sind, laden wir mit Aristoteles auf uns, ohne eine Antwort zu geben, ausser der, dass die Unendlichkeit auch an dem anderen Ende unendlich ist, an dem wir längst nicht mehr sein werden. Aber Aristoteles' Nahelegen der Unendlichkeit als schwächelnde Möglichkeit der Bewegung und nicht als fix und fertige Grösse müssen wir ablehnen. So wie es Bewegung und Nichtbewegung, Volles und Leeres gibt, gibt es auch das werdende und vergehende und das seiende Unendliche. Das einzige Werden, das mit dem Werden nicht fertig wird, ist die Bewegung der Welt. Jedes andere Werden hat ein Ziel, das erreicht wird und auf das das Sein folgt. Oder?

Rot und Blau KrK.3.6.206b3.b

Sei unsere Ausdehnungsgrösse die Strecke 01. Sie werde in der Proportion 1 / 2 in Richtung 0 geteilt. Dann wäre der Grenzwert dieser Teilung Null, wenn die Teilung die Null erreicht hätte, das letzte Teilungsresultat Null ist. Nicht eher, so Ar:

Zur Trennung des Stetigen vom Diskreten färbe ich auch bei den Zahlen das Diskrete rot und das Stetige blau . 'Diskret' bedeutet grössenlos. 'Stetig' bedeutet mit Grösse. Zwar bedeuten beide Begriffe noch unendlich viel mehr, aber Grösse haben , ist das, was das Stetige immer hat. Und keine Grösse haben, ist das, was das Diskrete immer hat. Das Festhalten an dieser einfachen Wahrheit, dass der Stoff stets Grösse hat, die Form stets grössenlos ist, wird uns zwar noch eine Menge Kopfzerbrechen bereiten, aber zugleich unendlich viele Erkenntnisse bringen. Hier werden wir uns auf keine Kompromisse einlassen, die gewisse Unbequemlichkeiten wegdenken. Anders als bei den 3d-Grössen der Physik, können die Grössen Linie und Fläche der Mathematik auch blau sein, wenn sie die Formen Zahl (Punkt) oder Linie enthalten. In der Geometrie oder wie hier in der geometrischen Veranschaulichung der Zahlen ist der Stoff also ein relativer Begriff und nicht wie in der Physik absolut. Die stoffliche Seite der 2d-Fläche wird uns nur dann interessieren, wenn wir ihre 1d-Form untersuchen, so im vierten Buch bei der Untersuchung der Zeit.

Grenzwert geschummelt Kr.3.6.206b3-9

»In gewisser Weise ist die ins Grössere gehende Unendlichkeit mit der ins Kleinere gehenden identisch. Denn innerhalb einer endlichen Ausdehnungsgrösse stellt die ins Grössere gehende Unendlichkeit 5 einfach die Umkehrung (der ins Kleinere gehenden) dar. Denn nach eben dem Verhältnis, nach welchem (eine endliche Ausdehnungsgrösse) ins unendliche geteilt wird, lässt sie sich durch Hinzufügung (weiterer Stücke) zu dem (als Ausgangsstück gewählten) Bruchteil dann auch (wieder ins unendliche) aufbauen. Nimmt man nämlich innerhalb einer endlichen Ausdehnungsgrösse einen ihrer Bruchteile (als Ausgangsstück) und fügt diesem (weitere Stükke) an, so wird man jene endliche Ausdehnungsgrösse (selbst bei Unendlichem Addieren) nicht mehr wiedererreichen, (sofern man sich nur an folgende Regel bindet, dass die zu addierenden Stücke zueinander durchwegs) im nämlichen Verhältnis (stehen müssen, dabei aber) nicht etwa irgendein Bruchteil des Ganzen erneut in gleicher Grösse hinzu addiert werden darf.« [W76]

KrK.3.6.206b9.a

Das ist also geschummelt:

Erst wenn der letzte Summand = 0 ist, wird die 1 erreicht. Das ist aber nicht möglich. Rot und Blau sind stets getrennt, das Stetige ist stetig, und das Diskrete ist diskret. Grösse ist nicht grössenlos, und Grössenloses ist nicht Grösse. Immer. Auch wenn der Stoff bei den geometrischen Zahlen relativ ist, so ist er doch innerhalb der Linie immer Stoff und nie Form.

Das ist doch eindeutig. Der Grenzwert wird weder durch das mögliche, noch durch das wirkliche Unendlich erreicht (auch wenn Ar später bei Zenons Schildkröte im Wettlauf mit Achill sich selbst widersprechen muss und sagt, das ginge doch und es dort als 'nebenbei' durchlaufenes unendlich bezeichnet). Die Berufung auf Aristoteles bei der sog. potentiellen Unendlichkeit in der Infinitesimalrechnung ist so absurd, wie die mögliche Unendlichkeit selbst. Das Potentielle am Grenzwert ist der Grenzwert selbst und nicht die Unendlichkeit.

Das Mittel, zu dem Aristoteles wiederholt greift, um den Grenzwert zu leugnen, ist unser auf das Endliche ausgerichtete Werktags-Verstand, den er kurzerhand zum Massstab der Welt erklärt und die der Natur unterstellte Tätigkeit des Marathon-Dividierens. Das Unendliche ist 'möglich' (in Wahrheit unmöglich), wenn es allein das Tun des Menschen, das Teilen ist. Um dieses Unendliche geht es beim Grenzwert, etwa beim Teilen von 1 / n nicht. Da geht es um die rote Null oder den Punkt. Allein die Annahme ihrer Existenz, setzt das Unendliche in unendlicher Unendlichkeit voraus. Und selbst dann gilt (beim Teilen): Kein 'aktual' Unendliches wird aus der 'aktual' unendlich kleinen Grösse ein Grössenloses machen. Das Raummaterieteilchen z. B. ist nicht Null, sondern der Gigant unter den unendlich kleinen Grössen, ein Universum im Vergleich zum Grössenlosen. Das Grössenlose als Resultat des Teilens ist nicht das Potentielle, wie in seltender Schlampigkeit des Denkens in den Schulen gelehrt wird, sondern ist das Unmögliche, jedenfalls für uns. Keines unserer Werkzeuge vermag das Stetige in das Grössenlose zu zerhacken. Auch nicht die Mathematik (Grösse: Einleitung KrK.6.7.237b23.b).

Der Grenzwert - ein guter Name mit schlechter Begründung - ist allein durch Setzung. Dass dies eine erlaubte Setzung oder Notlüge im Bereich der Form ist, wird mit der Form untersucht werden.

Sein der Grenze KrK.3.6.206b9.b

Aber völlig unabhängig von unserer Teilungsfähigkeit beharrt Aristoteles völlig zu Recht auf der Existenz der Null oder des Punkts. Andernfalls gäbe es beispelsweise keinen Anfang und kein Ende irgend einer Bewegung, weil das zwei grössenlose Grenzen sind. Wir könnten keine Zeit eindeutig benennen, weil 12:00 Uhr ein Zeitpunkt, eine Grenze ist. Kurz, ein heilloses Chaos entstünde, wenn die Null und die Grenze nicht wären. Offenbar ist die Null in Allem und Jedem. Wenn sie aber als Grenze ist, wie dies zuerst die Pythagoreer von der Zahl lehrten, lautet die Frage: Wie ist sie, wenn sie ein Etwas in der Welt ist? Wir gehen davon aus, dass die Grenzen sind und werden hartnäckig nach ihrem Sein fragen. Das wird umso schwieriger, als Aristoteles sich wegen Platon mit Händen und Füssen gegen die Formen als abgetrennte Entitäten wehrt. Aber nicht nur wegen Platons Ideen, sondern vielleicht noch mehr wegen der vermeintlichen oder tatsächlichen logischen Widersprüche wehrt er sich. Und das ist auch hier das eigentlich Wichtige. Der logische Widerspruch muss vermieden werden.

Sein des Punkts KrK.3.6.206b9.c

Vom Sein oder Nichtsein des Punktes und der Grenze scheint nicht wenig abzuhängen. Die Formen der Dinge, Anfang und Ende jeder Bewegung, die Bewegung selbst könnten nicht bestimmt werden, wenn es den Punkt und die Grenze nicht gäbe. Wir müssten ewig im Ungefähren herumtappen, gäbe es die Grenzen und die Null nicht. Und es gäbe keine Wissenschaft, keine Verständigung unter den Menschen, weil nicht ein einziger Gegenstand eindeutig begrenzt werden könnte.

Eudoxos Kr.3.6.206b12-27

»Dies ist schlechterdings die einzige Weise, in der Unendlichkeit denkbar ist: im Modus der blossen Möglichkeit und im Rahmen des Ausschöpfungsverfahrens - sie ist auch im Modus der Wirklichkeit gegeben, aber nur in dem Sinne, wie wir vom Tag und vom Kampfspiel sagen 15 können, sie seien -. Das Unendliche hat den Modus der Möglichkeit, wie ihn das Material besitzt. Es hat keinen Bestand an ihm selbst, wie ihn das Endliche hat. Und in derselben Weise gibt es im Modus der blossen Möglichkeit also auch eine Unendlichkeit im Rahmen additiven Aufbaus, jene, von der wir gesagt haben, sie sei im gewissen Sinne mit der Teilungsunendlichkeit identisch. Denn (auch hier) besteht immer erneut die Möglichkeit eines Weitergehens zu Neuem, nur dass sich nicht über jede Grösse hinausgehen lässt, wie es andrerseits 20 bei der Teilungsunendlichkeit der Fall ist. wo jedwede bestimmte Grösse unterschritten werden kann und immer nochmals eine kleinere besteht. Bei der additiven Unendlichkeit besteht ein unbegrenzter Fortgang über jede Grösse hinaus nicht einmal im Modus blosser Möglichkeit, es sei denn, man glaubte an einen Körper, der als zusätzlichen Charakter aktual unendliche Ausdehnung besitze, wie das die Naturphilosophen glaubten, wenn sie erklärten, der Körper ausserhalb der Welt, dessen Wesen Luft oder dergleichen sei, besitze Unendlichkeit. 25 Aber wenn in dieser Form kein sinnlicher Körper denkbar ist, der im Modus der Wirklichkeit Unendlichkeit besässe, so gibt es zweifellos nicht einmal im Modus der Möglichkeit ein additiv Unendliches in einem anderen Sinn als in dem erwähnten einer Entsprechung zur Teilungsunendlichkeit.« [W76f]

KrK.3.6.206b27

Die Methode der Ausschöpfung, die Exhaustionsmethode wurde von dem griech. Mathematiker und Philosophen Eudoxos (ca. 408-355), dessen Schüler Ar ist, später auch von Archimedes (ca 391-338) z. B. bei der Bestimmung der Kreiszahl π entwickelt. Die Summation der sog. konvergierenden geometrischen Reihe, Achills in Zahlen fixierter Wettlauf mit der Schildkröte, setzt bereits im Ansatz die Endlichkeit, nämlich den Grenzwert, voraus (Achilleus Kr.6.9.239b14-29). Machen wir daraus eine divergierende Reihe, bei der die Folgeglieder verhältnisgleich immer grösser werden, so ist die unendlich grosse Zahl sehr schnell erreicht. Aber beide Operationen sagen uns nichts über die Grösse der Welt, sondern nur etwas über die Menge der Zahlen und etwas über unsere beschränkten Fähigkeiten, wenn wir an die divergierende Reihe denken.

Wenn die 'Tage ewig wiederkehren', die Zeit und damit die Bewegung ewig, ungeworden und unvergänglich sind, dann ist das keine mögliche, sondern in jedem Jetzt eine wirkliche Unendlichkeit, oder die Welt hat einen Anfang in der Zeit.

Ebensowenig wie das Unendliche hat das Endliche an ihm selbst Bestand, sondern ist an einen endlichen Gegenstand gebunden. Das Unendliche für sich gibt es genausowenig wie das Endliche für sich. Das Unabhängige ist jedoch das Unendliche, das Abhängige das Endliche, weil es der Teil des Ganzen ist.

Aristoteles spricht sich nochmals ausdrücklich gegen seine Patenschaft für den Grenzwert in der Mathematik aus. Es bleibt immer noch eine Grösse übrig beim Teilen, das Unausgedehnte wird nie erreicht, weder möglicherweise noch sonstwie (Die 'Schnitte' bezeichnet er mehrfach und ausdrücklich als 'unerlaubt', z. B. Kr.6.10.240b-241b, wir werden sie dagegen auch ohne Erlaubnis um so mehr anwenden). Was physikalisch unmöglich ist, ist auch mathematisch unmöglich, die 'Schnitte' und das unendlich Grosse, daher gibt es auch keine mathematisch unendlich grosse Grösse, zwar eine unendlich kleine, den 'potentiellen' Jumbo unter den unendlich kleinen Grössen, aber auf keinen Fall die Null als Ergebnis der Teilung. Er ist konsequent. Seine unerbittliche Konsequenz im Denken, die hier ein wenig ärgerlich ist, wird uns auch bald wieder zu seinen staunenden Bewunderern machen.

Kr.3.6.206b27-30

»Denn selbst Platon hat zwei Unendlichkeiten nur deswegen angesetzt, weil es unendlichen Weitergang einerseits ins Unendlichgrosse, andrerseits ins Unendlichkleine zu geben scheint. 30 Aber er macht von ihnen dann keinerlei Gebrauch.« [W77]

KrK.3.6.206b30

Wir werden das ausgiebig nachholen. Platon zitieren, Wagner: sei nicht Platon, sondern Eudoxos, Mathematiker fragen

Aristoteles' endliche und doch nicht begrenzte Welt Kr.3.6.206b33-a10

»Es ergibt sich also, dass das Unendliche gerade entgegengesetzt ist zu dem, was darüber gelehrt wird: 207a nicht das nämlich ist unendlich, zu dem es kein aussen gibt, sondern das, das immer noch etwas aussen lässt. Ein Beweis: man sagt, auch die Ringe ohne Stein seien unendlich, weil immer wieder ein Kreis herausgegriffen werden kann, der ausserhalb des andern liegt. Freilich ist das nur vergleichsweise gemeint, nicht im eigentlichen Sinne, weil dies zwar zutreffen muss, 5 daneben aber auch die andere Bedingung, dass man niemals wieder zum Ausgang zurückkommt. Bei dem Kreis aber ist es so, nur der unmittelbar folgende ist ein anderer. Unendlich also ist, wovon ausserhalb jeder herausgegriffenen Grösse noch etwas angetroffen wird. Wo das nicht der Fall ist, da handelt es sich um ein Absgeschlossenes und Ganzes. Denn so bestimmen wir das Ganze, als dasjenige, dem 10 nichts fehlt, wie Mensch und Truhe.« [G107]

unendlliche und begrenzte Welt KrK.3.6.207a10

Dass das Unendliche nicht abgeschlossen und kein Ganzes ist, 'ergibt' sich nicht, sondern wird unterstellt. Mit einem halben Unendlichen geben wir uns nicht zufrieden. Wenn es ist, dann ist es, wie alles, was ist, Eines und ein Ganzes. Dann hat es wie Mensch und Truhe oder Schuhkarton eine Grenze oder Form. Oder es hat wie Mensch und Truhe oder Schuhkarton keine Form. Entweder alle oder keins.

Weder Aristoteles' Ring, noch eine antieuklidische Geometrie sind Antworten auf die Frage, ob die Welt unendlich gross ist oder nicht. Wir brauchen bloss die Voraussetzung zu ändern und das Gebilde unendlich gross und doch 'begrenzt' nennen. Dass ein Ganzes nur ein Ganzes ist, wenn es endlich wie ein Schuhkarton ist, wollen wir nicht als Beweis gegen die Unendlichkeit der Welt gelten lassen, sowenig, wie unsere Unfähigkeit, bis einmal unendlich zu zählen. Und wir wissen über die Grenzen des Schuhkartons genausowenig wie über die Grenzen des Alls. Und die schlampige Ausdrucksweise, die das Unbegrenzte mit dem Unendlichen in einen Topf wirft, unterstützen wir nicht.

Ganzes und Grenze Kr.3.6.207a10-15

Gilt die Definition des Ganzen als das Begrenzte »mit Bezug auf den Einzelgegenstand, so auch im umfassenden Sinn: so ist das Seinsganze das, das nichts ausser sich hat. Was hingegen etwas ausser sich hat, das ihm fehlt, ist kein Ganzes, mag das Fehlende sein, was es will. Totalität und Vollständigkeit sind entweder völlig miteinander identisch oder doch wesensverwandt miteinander. Was vollständig ist, hat stets einen Abschluss. Abschluss aber heisst 15 Grenze.« [W78]

grenzenlos und ohne Grenze KrK.3.6.207a15.a

Das unendlich Grosse hat keine Grenze, ist 'grenzenlos', ist also nicht vollständig, kein Ganzes, keine Einheit. Beleg ist der Schuhkarton, weil der noch den Schuhladen aussen um sich herum hat. Die Unendlichkeit hat keine Form, ist formlos. Woraus folgt das? Aus dem Schuhkarton? Die Minimalanforderung an einen Gegenstand ist, dass er ein Einer ist, dass er ist und dass er ein Ganzer ist. Warum sollen wir dem Unendlichen Alles Umfassenden unterstellen dürfen, was wir sonst keinem Gegenstand unterstellen?

Teil und Ganzes KrK.3.6.207a15.b

Wenn der Teil ist wie das Ganze und die Teile zum Ganzen gehören, der Teil aber eine Grenze hat, muss da nicht das unendliche Ganze eine Grenze haben?

Es wird immer deutlicher, dass es Aristoteles nicht um Widerlegung, sondern Leugnung geht. In der Wahl der Mittel ist er nicht zimperlich. So gebraucht er die Möglichkeit, die oben als das Zugrundeliegende aller Bewegungen eingeführt wurde, nun in einem ganz anderen, entgegengesetzten Sinn, als Unmöglichkeit , als das, was der Mensch nicht bewerkstelligen kann, nämlich bis unendlich zu zählen. Theoretisch wäre es uns möglich, bis unendlich zu zählen, praktisch ist es aber unmöglich. Die 'Möglichkeit' ist also eine unmögliche Möglichkeit. Das ist hart an der Schmerzgrenze. Wir können uns das Ganze nicht ohne Grenze denken. Wir können aber auch genau das Gegenteil behaupten. Wer denkt sich das Sonnensystem, die Milchstrasse, unser Teilall als eine Knastzelle mit Mauern aussenherum?

Unendliches und nicht Begrenztes wollen wir nicht. KrK.3.6.207a15.c

Jeder denkt sich zwar das All und jeden beliebigen Teil als grenzenlos und nicht als begrenzt. Ja, der Stoff gilt den Philosophen vom alten Griechenland bis heute als das Formlose schlechthin. Da kenne sich einer aus.5 Wir wollen hier den Philosophen ausnahmsweise rechtgeben und uns jedes Wesen, also auch ein unendlich grosses Wesen wie die Welt, als geformten Stoff und damit als begrenzte Grösse vorstellen. Das Besondere an dieser Grenze ist, dass sie eine einseitige Grenze ist, der einzige Ort der Welt, von dem aus aus wir nur in eine Richtung schauen können, was wir später noch tun werden (KrK.8.2.253a2). Anders die darunterliegenden Grenzen. Die Grenzen, die wir unserem Teilall, den Galaxien, dem Sonnensystem geben, sind Grenzen der Teile des Ganzen. Nicht mehr. Aber auch nicht weniger.

Kr.3.6.207a15-17

15-17 Weil das Ende eine Grenze ist, »muss man glauben, dass Parmenides richtiger als Melissos gesprochen habe, denn der letztere bezeichnet das Unbegränzte als ganz, der erstere aber sagt, 'das Ganze sei begränzt vom Mittelpunkte aus in gleichem Schwunge';« [P139]

KrK.3.6.207a17

Ob Parmenides' Grenze der Welt wie bei Ar auch die Grösse der Welt festlegt oder nicht, steht nicht fest, liegt aber nahe. Wir sagen mit Ar, dass das Ganze eine Grenze habe, nur kann das Ganze sowohl endlich als auch unendlich gross sein.

Ganzes und Unendliches Kr.3.6.207a18-22

»die ganze Erhabenheit des 20 Unendlichkeitsbegriffs - das Unendliche sei das Allbefassende, und es schliesse das Seinsganze in sich - stammt ja nur vom Totalitätsbegriff; jener ist ja ein Abglanz dieses letzteren. Denn das Unendliche steht der Vollständigkeit der Ausdehnungsgrösse lediglich als deren Material gegenüber; es ist das Ganze bloss im Modus der Möglichkeit, keineswegs in dem der Wirklichkeit«. [W78]

ganzer Schuhkarton KrK.3.6.207a22

Ob sich die Erhabenheit des Unendlichen vom ganzen Schuhkarton herleitet, sei dahingestellt. Den ganzen Schuhkarton vermag ich mir viel deutlicher vorzustellen als das unendliche All, dennoch kommt er mir weit weniger erhaben vor als dieses. Aristoteles' Philosophie wird hier zur Rechthaberei. Dass wir uns das All als eine begrenzte Einheit vorstellen müssen, ist eine ganz andere Frage: A und Nicht-A auf dem Papier sind 2 cm gross und nicht unendlich, auch wenn sie das All darstellen. Die Frage nach der Grenze der 2 cm und die Frage nach der Grenze des Alls ist ein und dieselbe. Die Grösse (in Kubikmetern) hat damit nichts zu tun.

mögliches Ganzes ist Teil seiner selbst Kr.3.6.207a22-32

Das Unendliche »ist das Ganze bloss im Modus der Möglichkeit, keineswegs in dem der Wirklichkeit, teilbar im Sinn des Ausschöpfungsverfahrens und seines Gegenstücks, des Additionsverfahrens; derartiges wie Ganzheit und Grössenbestimmtheit besitzt es niemals an ihm selbst, 25 sondern nur im Hinblick auf ein anderes; ein Unendliches hat keineswegs die Stellung eines Umfassenden, vielmehr ist es ... gerade ein in Anderem Enthaltenes. Darum ist der Gegenstand seinem Unendlichkeitsmoment nach auch unerkennbar; das (blosse) Material ist ja ohne Gestalt. Daraus ergibt sich zweifelsfrei, dass das Unendliche nicht so sehr unter den Begriff des Ganzen als unter den des Teils fällt; denn das Material ist ein Stück im Ganzen wie das Erz ein Stück in der Erzstaue 30 ... es ist völlig undenkbar, dass das Unerkennbare und Unbestimmte eine umschliessende und bestimmende Funktion übernehmen könnte.« [W78]

Stoff und Form KrK.3.6.207a32

Tatsächlich zwingt uns Aristoteles' Stoff-Form-Konstrukt zu einer völlig neuen, ja abenteuerlichen Auslegung vom Teil und dem Ganzen, die uns noch gar nicht so recht bewusst war. Denn einerseits sagen wir nicht, die Statue besteht zum Teil aus Erz und zum Teil aus Form, sondern sie besteht ganz aus Erz. Das Erz ist nicht Teil der Statuenform. Andrerseits müssen wir sagen, die Form ist Grenze und Teil des Ganzen, selbst aber kein Teil! Denn sie ist in wenigstens einer Richtung ohne Teile. Aber sie ist zugleich untrennbar mit der Materie verschweisst. Mehr noch, die Form ist Grenze sowohl des Teils als auch des Ganzen. Jedes Wesen, ob Teil oder Ganzes, ob endlich oder unendlich gross, ist geformter Stoff oder begrenzte Grösse:

»Nun haben wir dreierlei: die Materie, und die Form, und drittens die Vereinigung beider, und alles dreies, Materie, Form und die Vereinigung beider ist selbständiges Wesen.« Metaphysik, Buch VII, Kap.10.

Nennen wir die Form einen 'Wesensteil', einen 'nicht metrischen Teil', oder benennen wir sie mit einem ähnlichen Ausdruck, um sie vom ausgedehnten stofflichen Teil zu unterscheiden. Das ist ein vorübergehender Notbehelf wie die rote Farbe für die Form und die blaue Farbe für den Stoff (Rot und Blau KrK.3.2.201a20.b). Wenn erst unsere Gedanken einmal eine gewisse Ordnung in die beiden Begriffe Stoff und Form gebracht haben werden, dann werden sich die passenden Begriffe von allein einstellen.


1. Cantors Grosstat bestand darin, aus dem Wort »möglich« das Wort »wirklich« und aus der »Unzählbarkeit« eine »Abzählbarkeit« zu machen, die unzählbar ist.

2. Das Sein ist, wie der Name sagt. Das Möglichsein ist in der vorliegenden Auslegung der Physik das Noch-Nicht-Sein, der zugrundeliegende Stoff, der die Form erhalten wird.

3. Falsch, das unendlich Grosse oder unendlich Kleine entstehen nicht nur, sie sind auch, und sie sind nicht nicht. Das 'Werden ohne Sein' wird den armen Schülern, Studenten und Professoren der Mathematik als das wahre Unendlich verkauft. Die Diskussionen zwischen Schülern und den armen Lehrern, die diesen Unsinn als Sinn ausgeben müssen, müssten einmal gesammelt werden und als Buch erscheinen.

4. »Platon [lehnt den Punkt als eine Erfindung des Menschen ab und] nannte ... den Anfang der Linie ... 'unteilbare Linien'. Aber es muss doch eine Grenze der Linie geben, und aus demselben Grunde, aus welchem die Linie existiert, muss auch der Punkt existieren«, Metaphysik 1,9 .

5. Wagner in seiner Anmerkung Seite 526: »Das Geheimnis des arist. Unendlichkeitsbegriffs ist also einfach dies, dass Ar. keinen Begriff eines unendlichen Totums zulassen mag: ein Totum müsse endlich sein. Ein unendliches Totum ist für unsere Operationen nicht durchlaufbar (also in der Weise eines Durchlaufens nicht zu bewältigen), nicht abschliessbar. Daraus macht Ar. einen Sachverhalt am Unendlichen selbst: es sei an ihm selbst niemals abgeschlossen, niemals ganz [holon]. Wir stehen vor einem der bedauerlichsten prinzipientheoretischen Fehler des sonst so tiefsinnig und deutlich denkenden Mannes.«