A1.1.5.26b-28a 2. Figur MN-MX-NX

A1K.1.5.26b34 - Was tun, lautet für Aristoteles die nächste Frage, wenn beispielsweise in

+AB[ ]

feststeht, dass nicht das B das Ganze ist, sondern das A? Oder wenn in

-AB( )

das Negative sich über den vermeintlichen Formalismus hinwegsetzt und beim B steht?

Die Form: links die Bejahung/Verneinung, rechts das Ganze/der Teil, ist unantastbar. Aber A und B sind es nicht. Die Lösung:

+BA[ ]

-BA( )

Das B wird vom ganzen A ausgesagt, oder das B ist im ganzen A enthalten. Das nicht-B wird vom Teil des A ausgesagt, oder das nicht-B ist einem Teil des A enthalten. Die Form bleibt gewahrt, das A hat sein Ganzes, das B sein Negatives. Aus der Sicht des Formalismus des Teils und des Ganzen lauten diese Änderungen

(+)B=[+]A

(oder Satz 5 [+]A=(+)B )

und (-)B=(+)A

(oder Satz 8 (+)A=(-)B )

Das A bekommt das Ganze, das B bekommt das Negative, die Form des Satzes ändert sich dagegen. Es entstehen zwei neue Sätze. Einmal der gemiedene Satz 5 mit dem linken Ganzen: Das ganze A wird von einem Teil des B ausgesagt, oder das ganze A ist in einem Teil des B enthalten, oder ganz A ist mit teil-B identisch. Und dann der ebenso gemiedene Satz 8 mit dem rechten Negativen. Ein Teil des nicht-B wird von einem Teil des B ausgesagt oder Teil nicht B ist mit Teil A identisch und umgekehrt. Die Benutzung bei gleichzeitiger Meidung der Sätze 5 und 8 durch Buchstabentausch nennt Aristoteles zweite oder dritte »Figur«.

±BA[ ]
±BC[ ]

Wenn derselbe Begriff in dem anderen ganz und in dem dritten gar 35 nicht enthalten ist, oder wenn er in jedem von beiden ganz oder gar nicht enthalten ist, so nenne ich eine solche Schlussfigur die zweite. (31) Mittelbegriff nenne ich hier den, welcher von den beiden anderen ausgesagt wird und Außenbegriffe die, von welchen er ausgesagt wird. Von diesen nenne ich den dem Mittelbegriff näheren den größeren und den vom Mittelbegriff entfernteren den kleineren. (32) Der Mittelbegriff steht bei dieser Figur ausserhalb der Außenbegriffe (exo men ton akron), und ist der erste im Ansatze. 27a Vollkommen sind die Schlüsse in dieser Figur keineswegs; aber sie sind möglich, gleichviel ob die Begriffe in den Vordersätzen allgemein oder nicht allgemein genommen seien. (33) Sind sie allgemein genommen, so ergibt sich ein Schluss, wenn der Mittelbegriff in einem der Außenbegriffe ganz, in dem anderen gar nicht enthalten ist, wobei es gleichgültig ist, zu welchen von beiden 5 er sich verneinend verhält. Verhalten sich die Begriffe anders, so gibt es keinen Schluss.

( )B=[ ]A
( )B=[ ]C

A1K.1.5.27a5 - Die beiden Mittleren der zweiten Figur sind in jedem Fall zwei Teile, weil das Ganze rechts steht. Das Schema des Mittleren der zweiten Figur (schema) ist ( )B( ). in der Reihenfolge ABC gelesen

[ ]A=( )B( )=[ ]C

In dieser Figur kann es nur mit einer der vier Wahrheitsregeln aus dem zweiten Kapitel - A1.1.2.25a 6 - einen Schluss geben, nämlich mit der Vertauschung der Variablen und/oder Teile und Ganzen im allgemein verneinenden Satz. Nur dadurch kann eines der beiden B zu einem Ganzen werden. Allein im allgemein verneinenden Satz können die Variablen und/oder Teile und Ganzen die Plätze tauschen: (-)B=[+]A wird zu (-)A=[+]B, (-)B=[+]C wird zu [+]B=(-)C. Und damit der für Aristoteles unlösbare Schluss 6f

(-)A=[+]B[+]=(-)C

6d
-MN[ ] -NM[ ]
+MX[ ]
-NX[ ]

So soll M von N gar nicht, aber von dem ganzen X ausgesagt werden. Hier lässt sich der verneinende Vordersatz umkehren; so dass N in keinem M enthalten ist; M war aber in dem ganzen X enthalten, folglich ist N in keinem X enthalten; denn diese Folgerung ist bereits bewiesen worden. (34)

A1K.1.5.27a8 - Wie in der Zeichnung O-M-U das M in der Mitte das O und das U zu seinen Seiten berührt, so Aristoteles' Gedanke, so muss ein Schluss zuerst auf die erste Figur gebracht werden, um vollkommen zu sein. Auch darf das M in der Mitte nicht einmal positiv und einmal negativ sein. Wir werden mit Aristoteles herausfinden, dass es gleichgültig ist, in welcher Reihenfolge die ABC oder MNX stehen, so lange nur die beiden Mittleren das gleiche Vorzeichen haben und wenigstens eins von beiden ein Ganzes ist (B-Regel in: A1.1.6a und A1.1.28.43b-45a).

5f
(+)M=[+]N
(-)M=[+]X
(-)N=[+]X

5f mit 6d
denn wenn (-)M=[+]X
so wird 6d (-)X=[+]M
war aber (+)M=[+]N
folglich wird (-)X=[+]N
so wird auch (-)N=[+]X

Weiter soll M in dem ganzen N, aber in keinem X enthalten sein; 10 hier wird N in keinem X enthalten sein. Denn wenn M in keinem X enthalten ist, so wird auch X in keinem M enthalten sein; M war aber in dem ganzen N enthalten und folglich wird X in keinem N enthalten sein; denn es hat sich damit wieder die erste Schlussfigur ergeben. Da nun verneinende Sätze sich umkehren lassen, so wird auch N in keinem X enthalten sein, so dass somit derselbe Schluss wie im ersten Falle sich ergibt. 15 Man kann übrigens diese Beweise auch dadurch führen, dass man die Unmöglichkeit des Gegenteils darlegt. (35) Es ist somit klar, dass bei einem solchen Verhalten der Begriffe zu einander ein Schluss sich ergibt; aber er ist nicht vollkommen, weil die Notwendigkeit desselben nicht schon aus den ursprünglich angesetzten Vordersätzen, sondern erst mit Hinzunahme anderer Hilfsmittel sich vollendet - 5f mit 6d - .

A1K.1.5.27a18 - Bei 5f ist zu sehen, wozu Aristoteles die zweite Figur benötigt. Der Satz 5 ist in seinem Formalismus nicht vorgesehen. Also vertauscht er N und M und erhält so die Form des Satz 4, links Teil, rechts Ganz. Die Lösung des 5f kann er uns aber nur über den Umweg des 6d präsentieren (weil er ja sonst zugeben müsste, dass er die erste Prämisse vertauscht hat. Das gleiche gilt für den Satz 8, den er vertauscht und so die Form des Satz 9 erhält. Die Folge der Vertauschung der ersten Prämisse ist, dass nun der Mittelbegriff M in beiden Prämissen links steht. Ich werde die Schlüsse immer wie in der ersten Figur NM MX NX, oder kurz NMX bilden. Aber der Wortlaut wird immer treu dem Aristoteles folgen. Das wird manchmal etwas kniffelig, denn Aristoteles wird ab jetzt oft die Prämissen vertauschen. Aus der Reihenfolge von N und X im Schlusssatz erkennt man (fast immer), welches die erste und welches die zweite Prämisse ist. Denn manchmal vertauscht er nicht nur die Prämissen, sondern auch die beiden Seiten des Schlusssatzes, so dass der Schluss XMN zu lesen ist. (Im Grunde führt er uns damit ständig vor Augen, dass seine Figuren überflüssig sind.) In Zweifelsfällen schreibe ich neben den Schlussnamen die Reihenfolge, etwa »6d NMX«. Dass Aristoteles das weiß, ist klar, denn er hat ja den Satz 5 schon öfter explizit gebraucht (»Jede Lust ist ein Gut«), und er hat auch bereits gesagt, dass die Vertauschung immer möglich ist. Da er aber die Quantifizierung »alle«, »einige« nur auf einer Seite sagt, statt auf beiden Seiten und das Sein oder »Nichtsein« mal in die Mitte setzt, mal als das mysteriöse »kein« gebraucht, muss er zu einigen Notbehelfen greifen, um mit nur vier Sätzen klarzukommen. (April 2015: Der flapsige Ton stammt aus einer Zeit, als ich die Bedeutung des Mittleren bei Aristoteles noch nicht im vollen Maß erkannt hatte.)

5d (+)M=[+]N
(+)M=[+]X
(-)N=(-)X

Wenn aber M von dem ganzen N und von dem ganzen X ausgesagt wird, ergibt sich kein Schluss . Als Begriff für einen bejahenden Schlusssatz nehme man: Ding (ousia) (M), Geschöpf (zoon) (N) , 20 Mensch (anthropos) (X, 5d:V4) , und für einen verneinenden Schlusssatz: Ding (M), Geschöpf (N), Zahl - X, 5d:V6 - , wobei Ding der Mittelbegriff ist. a)

5d Kpou1 [-]M=(-)N
[-]M=(-)X
(-)N=(-)X

A1K.1.5.27a20 - Wo kommt der Schlusssatz her? Er ist diesmal eine sehr große Größe, nämlich die ganze Welt außer dem M. Die Kontraposition oben und unten (Kpou) zu Satz 4 ist das ganze Nicht-M als die Größe des ganzen Schlusses. Aber sie ist nicht unbestimmt. Wenn das All unendlich viele Kubikmeter hat, und M hat drei Kubikmeter, dann ist die Größe des Schlusssatzes unendlich minus drei Kubikmeter groß. Die Logik kann hier nicht mal eben Fünfe gerade sein lassen. November 2021: Das erkennt auch Boole, indem er die negative ganze Größe als 1-x ausdrückt, wobei 1 das Universum und x die positive Größe ist. Die Übertragung dieses aus der Größe stammenden Gesetzes auf die Zahlen ist jedoch problematisch. Es gibt also mehr als eine Wahrheitsregel, mit der aus einem Teil ein Ganzes gemacht werden kann. Alle Schlüsse der zweiten Figur lassen sich mit Kontrapositionen lösen. Und die Vertauschung der beiden Variablen im allgemein verneinenden Satz ist nichts anderes als eine der Kontrapositionen. Das wird noch mehrfach erörtert - z. B. im 13. Kapitel - .

6f
(-)M=[+]N↔ (-)N=[+]M
(-)M=[+]X↔ [+]M=(-)X
(-)N=(-)X

Auch ergibt sich kein Schluss , wenn M von keinem N und von keinem X ausgesagt wird. Als Begriffe für einen bejahenden Schlusssatz nehme man: Linie (M), Geschöpf (N), Mensch - X, 6f:V4 - ; und für einen verneinenden Schlusssatz: Linie (M), Geschöpf (N), Stein - X, 6f:V6 - b) .

A1K.1.5.27a23 - Bei der ersten Prämisse habe ich wie Aristoteles nach der Kontraposition die Vertauschung von Satz 6 benutzt und in der zweiten Prämisse nur die Kontraposition ohne Vertauschung. Es ergibt sich der im letzten Kapitel noch unlösbar genannte Schluss mit nur einem einzigen Schlusssatz. Der Schluss (-)N=[+]M[+]=(-)X mit zweimal [+]M in den Prämissen zeigt, dass der Schlusssatz so und nicht anders lauten muss. Hier sind die Grenzen des vermeintlichen Formalismus des Aristoteles erreicht. Denn eine Mitte mit zwei identischen Ganzen ist ganz sicher auch eine vollkommene Mitte.

Es ist also klar, dass, wenn bei allgemein genommenen Begriffen ein Schluss sich ergeben soll, die Begriffe sich zu einander so, wie ich zuerst bemerkt, verhalten müssen; denn 25 wenn sie sich anders verhalten, ergibt sich keine Notwendigkeit für einen Schlusssatz. (36)

Wenn aber der Mittelbegriff nur von einem der Außenbegriffe allgemein ausgesagt wird und dies von dem größeren Begriffe geschieht, sei es bejahend oder verneinend, und wenn der Mittelbegriff dabei von dem kleineren Außenbegriffe nur beschränkt, aber in entgegengesetzter Weise ausgesagt wird; (ich nenne es entgegengesetzt (anitkeimeneos), wenn der allgemeine Vordersatz verneinend (steretikon) und 30 der beschränkte (en to merei) Vordersatz bejahend lautet, oder wenn der allgemeine bejahend und der beschränkte verneinend lautet), so muss sich ein verneinender beschränkter (steretikon kata meros) Schlusssatz ergeben.

A1K.1.5.27a32 - Die steresis und der Teil wollen nicht so recht zusammenpassen, weil die steresis zum trennenden und der Teil zum teilenden Formalismus gehören. Aristoteles hat in der Hermeneutik die Verneinung als das anison (ungleich) in die Mitte der Relation gesteckt, er hat den Teil zur Zahl gemacht. So war die Negation beim Teil aus den Füßen, aber mit dem Ergebnis, dass sie nun für den Teil nicht mehr nutzbar war. Eine Teil-steresis kann es daher nur geben, wenn der trennende und der teilende Formalismus vereint werden. Mit dem negativen Teil ist das kein Problem.

6g
(-)M=[+]N↔(-)N=[+]M
(+)M=(+)X
(-)N=(+)X

Denn wenn M in keinen N, aber in einigen X enthalten ist, so muss N in einigen X nicht enthalten sein. Denn der verneinende Satz M N lässt sich umkehren und N ist also auch in keinem M enthalten; 35 M war aber in einigen X enthalten, mithin wird N in einigen X nicht enthalten sein; denn dieser Schluss ergibt sich dann vermittels der ersten Figur. a)

5i mit 4d MNX
denn wenn (+)N=[+]X
müsste, da (+)M=[+]N
auch (+)M=[+]X
während doch (-)M=(+)X
»also« stimmt 5i

Wenn ferner M in dem ganzen N enthalten ist, aber in einigen X nicht; so muss N in einigen X nicht enthalten sein; denn wenn N in dem ganzen X enthalten wäre, so müsste, da M von dem ganzen N 27b ausgesagt wird, M auch in dem ganzen X enthalten sein , während doch angenommen ist, dass M in einigen X nicht enthalten sei - 5i mit 4d MNX - b) . Und wenn M in dem ganzen N enthalten ist, aber nicht in dem ganzen X, so ergibt sich der Schluss, dass N nicht in dem ganzen X enthalten ist - 5i - erneut. c) Der Beweis ist hier derselbe, wie vorher. (37)

5i Kpo
(+)M=[+]N↔[-]M=(-)N
(-)M=(+)X
(-)N=(+)X

A1K.1.5.27b3 - Das M ist in 5i nicht nur in beiden Sätzen ein Teil, es hat auch noch entgegengesetzte Vorzeichen. Dennoch weiß Aristoteles, dass der Satz 9 der Schlusssatz ist. Hier muss Aristoteles zu einer irregulären Lösung greifen. 5i ist der erste Schluss, den Aristoteles indirekt »beweist«. Er nimmt das Gegenteil des Schlusssatzes an, zieht damit und mit einer Prämisse des Ausgangsschlusses einen Schluss, der zum Gegenteil der anderen Prämisse führt. Aus der Falschheit des so erhaltenen Schlusssatzes schließt er nun auf die Wahrheit des ursprünglichen Schlusssatzes. Die Zulässigkeit dieses Verfahrens kann hier noch nicht geprüft werden (vgl. A1.2.11.61a-62a - A1.2.14.62b-63b ). Der Teil und das Ganze in der ABC Logik lassen aus der Falschheit des einen nur in wenigen Fällen und mit Zusatzannahmen auf die Wahrheit des anderen schließen. Die reguläre Lösung des Schlusses 5i ist viel einfacher als mit dem Beweis aus dem Unmöglichen: Mit der Bildung der Kontraposition oben wird der Schluss sofort klar, weil (-)M ein Teil von [-]M ist. Beide M haben das gleiche Vorzeichen, und eines ist ein Ganzes. Hier haben wir ein drittes Mittleres, das einen Schluss erzwingt: [-]M(-).

Weil die Kontrapositionen ab nun sehr oft gebraucht werden und wir dadurch auf die Umwege der indirekten Beweise oder der »Herausnahme« (nächstes Kapitel) verzichten können, hier kurz vorab die Erklärung, wie die Kontrapositionen gebildet werden.

Alle allgemeinen Sätze lassen sich in zwei Schritten in eine stets gültige Kontraposition verwandeln. »Kontraposition« bedeutet, die Sätze können wechselseitig für einander stehen, weil sie Teile einer und derselben Seinsgleichung sind. Das funktioniert hier beim Satz 5 genauso wie bei Satz 6 »A ist nicht B« und »B ist nicht A«:

F1 Kontrapositionsregel I (A1.1.5)

1. In den Sätzen mit einem Teil und einem Ganzen: vertausche Teil und Ganzes, ( ) und [ ], von links nach rechts und umgekehrt (zwei Ganze oder zwei Teile bleiben gleich.).

2. Kehre alle Vorzeichen an der Stelle ihres Auftretens um, aus + mach - , aus - mach +.

vorher nachher
[ ]=[ ] [ ]=[ ]
( )=[ ] [ ]=( )
[ ]=( ) ( )=[ ]
( )=( ) ( )=( )
+ = + - = -
- = - + = +
+ = - - = +
- = + + = -

Das lässt sich mit der Multiplikation einer Ungleichung oder einer Gleichung mit minus Eins vergleichen: aus +a < -b wird -a > +b und so in allen Kombinationen. Nur in der ABC Logik bleibt das Sein in der Mitte unangetastet oder anders gesagt, eine logische Ungleichung gibt es nicht, weil die Seinsgleichung nur das Identische kennt. In den Logikbüchern taucht das Phänomen als Kontraposition auf, wird aber nicht systematisch behandelt. Frege hat in seinem Aufsatz Gedankengefüge die bisher weitreichendsten Gedanken darüber geäußert - Logische Untersuchungen, S. 72-91 - . Aristoteles wird am Ende des ersten Buchs der ersten Analytik (A1.1.46.51b-52b) eine allgemeine Anleitung zur Bildung der Kontrapositionen nachreichen, vorher die Kontrapositionsregeln formulieren (allerdings nur für das Atom A (A1.2.8.59b-60a) 08.01.2016 von wegen nur Atom, seine Regel ist besser als deine, weil er mit nur zwei Regeln alle statthaften umfasst) und im zweiten Buch vielfach mit ihnen arbeiten, ohne sie explizit beim Namen zu nennen. Die Erörterungen der Kontraposition sind über den ganzen Text verteilt, besonders bei der Behandlung der notwendigen und statthaften Sätze in A1.1.8.29b-30a bis A1.1.22.40a-40b . Mit dem Satz-Programm steht seit Oktober 2021 auch wieder ein Hilfsmittel zur Verfügung, das es früher als Java Applet gab, mit dem sich alle Kontrapositionen als zwei farbige Teil-Flächen des Universums zeigen und in den gleichfarbigen Satzgleichungen bestimmt werden. Das ist der von Kirchmann schallplattenartig beschworende empirische Teil der Logik, mit dem jeder alle Möglichkeiten der Aufteilung des Alls durch zwei Größen ad oculo zeigen kann, ohne eine Zeile der Analytik gelesen zu haben.

Beim Satz 4 in 5i habe ich wieder die Kontraposition gebildet, dann aber die Vertauschung der Seiten in den Satz 5 weggelassen, weil die Reihenfolge nicht wichtig ist. Damit ist 5i direkt bewiesen, und der indirekte Beweis ist hier überflüssig. Die Schlussnamen sind in Gedanken immer in der ersten Figur zu lesen ABC. Allein für die eindeutige Benennung der Schlüsse müssen wir uns auf ein Schema einigen. Ich nehme die erste Figur ABC, weil da die Mitte in der Mitte ist und die Äußeren außen sind. Aber Aristoteles zeigt uns gleich im nächsten Beispiel, wie gleichgültig die Reihenfolge der Satzteile und auch der Prämissen ist. Für ihn ist der Schluss, was er ist, eine Einheit Dreier, die durch die Mitte zusammengehalten werden. Das eigentliche Schema, um das sich die Analytik dreht, ist das Schema der Mitte. Und da wird sich einmal mehr zeigen, das Aristoteles' stures Beharren auf drei und nicht mehr Schemata das Richtige ist.

8d NMX
(+)M=[+]X
(-)M=(+)N
(+)N=(-)X

Wird aber M von dem ganzen X, aber nicht von dem ganzen N ausgesagt, 5 so ergibt sich kein Schluss . Man nehme als Beispiel die Begriffe: Geschöpf (M), Ding (N), Rabe (X) - Fig. 21 I, 8d:V4 - ; und: Geschöpf (M), Weiß (N), Rabe (X) - Fig.21 II, 8d:V6 - . a)

A1K.1.5.27b6 - Durch die Umkehrung von NMX in XMN hat Aristoteles den Satz 8 unten in der zweiten Prämisse MN als Satz 9 versteckt. Wenn der Schlusssatz NX lautet, gehört die zweite Prämisse nach oben. Aber wie man die Prämissen auch dreht und wendet, so sind immer zwei eingeschränkte und entgegengesetzte M da.

Wie der allgemein verneinende Satz 6, so lässt sich auch der allgemein bejahende Satz 5 und jeder andere allgemeine Satz mit Kontrapositionen und Vertauschungen auf vier Arten darstellen, als Satz, als Kontraposition und beidemale mit vertauschten Seiten:

1. [+]A=(+)B
2. (-)A=[-]B
3. (+)B=[+]A
4. [-]B=(-)A

Die dritte und die vierte Zeile sind nur Vertauschungen der beiden ersten.

7f NMX (-)M=[+]X
(+)M=(+)N
(+)N=(-)X

Auch ergibt sich kein Schluss, wenn M von keinem X, aber von einigen N ausgesagt wird - 7f NMX - . Als Beispiele für den bejahenden Schluss nehme man die Begriffe: Geschöpf (M), Ding (N), Eins (X) - Fig. 22 I, 7f:V4 - ; und für den verneinenden Schlusssatz: Geschöpf (M), Ding (N), Wissenschaft (X) - Fig. 22 III, 7f:V6 - . (38)

6i (-)M=[+]N
(-)M=(+)X
(-)N=(+)X

Wenn also der allgemeine Vordersatz entgegengesetzt wie der beschränkte lautet, 10 so ergibt sich, wie gesagt, manchmal ein Schluss und manchmal nicht; lauten aber beide Vordersätze gleichförmig, also beide bejahend oder beide verneinend, so ergibt sich kein Schluss. So sollen sie zuerst verneinend lauten und der größere Außenbegriff soll allgemein genommen sein, so dass also M in keinem N enthalten und in einigen X nicht 15 enthalten ist. Hier kann N sowohl ganz in X, wie gar nicht in X enthalten sein. a)

Als Begriffe für das Nicht-enthalten sein nehme man Schwarz (M), Schnee (N), Geschöpf (X) - Fig 23 I, 6i:V6 - . Für das in dem ganzen X enthalten sein kann man aber keine Begriffe aufstellen, wenn M in einigen X enthalten und in einigen X nicht enthalten ist - Fig 23 III, 6i:V4 - . Denn wenn X in dem ganzen X enthalten und M in keinen N enthalten ist, so muss M in keinem X enthalten sein, während doch angenommen worden, dass M in einigen X enthalten sei. 20 Es lassen sich also hierfür keine Begriffe als Beispiele aufstellen. Dagegen kann man den Beweis aus der Unbestimmtheit (adioriston) dieses Satzes ableiten.

A1K.1.5.27b21 - Die unbestimmten Sätze aus der Hermeneutik (aoriston) sind die Kontrapositionen und die Sätze mit negativen Vorzeichen vor ihren A, B, C. Hier können wir uns nur dann zum »Komplizen« von Aristoteles machen, wenn Satz 5 die allgemein bejahende Verbindungsmöglichkeit zwischen A und C (N und X in III) ist. Satz 4 lässt sich weder zeichnen, noch denken. Auch nicht um die Ecke. Denn der Beweis aus der »Unbestimmtheit« beweist nichts, weil Satz 9 zwar gilt, wenn der Satz 6 gilt. Aber der Satz 6 gilt nicht, wenn der Satz 9 gilt. Da Aristoteles ein solcher Anfängerfehler sicher nicht unterläuft (vgl. meinen Anfängerfehler in »Logik 1«, »Eingeschränkter Satz mit allgemeiner Nebenbedeutung« auf Seite 27), er aber mit Bestimmtheit sagt, dass eine allgemein bejahende Verbindungsmöglichkeit zwischen N und X da ist, bleibt nur der Satz 5. Aber selbst bei einer so zurechtgebogenen Komplizenschaft beweisen die beiden Verbindungsmöglichkeiten nur, dass M, N, X bei 6i mehrere Verbindungen eingehen können wie M=Leblos, X=Schwarz, N =Raben (Fig. 23 II), aber nur eine für alle geltenden Schnees, Raben und Schwarzen und sonstigen seienden Dinge notwendige logische Verbindung haben.

6→9
aber nicht 9→6
also kein Beweis

Denn der Satz, dass M in einigen X nicht enthalten ist, bleibt auch wahr, wenn M in keinem X enthalten ist. Für diesen Fall aber, dass M in keinem X enthalten war, ergab sich kein Schluss b) und so ist klar, dass auch hier keiner statthaben kann. (39)

5g (+)M=[+]N
(+)M=(+)X
(-)N=(+)X

Nun sollen ferner die Vordersätze bejahend lauten und das Allgemeine soll wie vorher angesetzt sein; es soll also M in dem ganzen N und in einigen X enthalten sein; hier kann es kommen, dass N in 25 dem ganzen X und auch, dass es in keinem X enthalten ist. Als Begriffe für den letzteren Fall nehme man: Weiß, Schwan, Stein - Fig. 25 I, 5g:V6 - . Für den ersten Fall kann man aber aus demselben Grunde, wie vorher, keine Begriffe aufstellen - Fig. 25 IV mit Satz 5, 5g:V5 - , und der Beweis muss auch hier aus der Unbestimmtheit des Satzes entnommen werden. (40)

A1K.1.5.27b28 - Der unbestimmte Satz (im Sinne der Hermeneutik) der ersten Prämisse lautet

[-]M=(-)N

Die zweite Prämisse hat die stets geltende Nebenbedeutung

(-)M=(+)X

Damit stehen die beiden M in einer eindeutigen Beziehung des Teils zum Ganzen und der Schluss

(-)N=(+)X

ist direkt ablesbar.

Zur Erinnerung: Die zweite Prämisse (-)M=(+)X ist ein echter eingeschränkter Satz und damit eine Seinsgleichung, die mit ihren vier Teilen das Universum ausfüllt.

8f NMX (-)M=[+]X
(-)M=(+)N
(+)N=(-)X

Ist aber das Allgemeine zu dem kleineren Außenbegriffe genommen und also M 30 in keinem X enthalten und in einigen N nicht enthalten, so kann N sowohl in dem ganzen X wie in gar keinem X enthalten sein. Für das Enthaltensein dienen die Begriffe: Weiß (M), Geschöpf (N), Rabe (X) - Fig. 26 I, 8f:V4 - ; für das Nicht-enthalten sein: Weiß (M), Stein (N), Rabe (X) - Fig. 26 II, 8f:V6 - . a)

7d NMX (+)M=[+]N
(+)M=(+)X
(-)N=(+)X

Lauten aber die Vordersätze bejahend, so nehme man für das Nicht-enthalten sein die Begriffe: Weiß, Geschöpf, Schnee - X, Fig. 27 I, 7d:V6 - , und für das Enthaltensein die Begriffe: Weiß, Geschöpf, Schwan - X, Fig. 27 II, 7d:V4 - . b) (41)

Sonach ist also klar, dass 35 wenn die Vordersätze gleichförmig lauten, und der eine allgemein, der andere beschränkt, in keinem Falle ein Schluss sich ergibt. Dies ist auch dann nicht der Fall, wenn der Mittelbegriff in einigen der beiden Außenbegriffe enthalten oder nicht enthalten ist, oder wenn er in einigen des einen Außenbegriffs enthalten, in einigen des anderen aber nicht enthalten ist, oder wenn er in keinem von beiden enthalten ist, oder wenn dies unbestimmt ausgedrückt ist. Als Begriffe für alle diese Fälle können dienen: Weiß, Geschöpf, Mensch, und: Weiß, Geschöpf, Leblos. a)

28a Sonach erhellt aus dem Gesagten, dass wenn die Begriffe sich so zu einander verhalten, wie angegeben worden, notwendig ein Schluss sich ergibt, und dass wenn ein Schluss sich ergibt, notwendig die Begriffe sich so verhalten müssen. Auch ist klar, dass alle 5 Schlüsse in dieser Figur unvollkommen sind (denn alle werden nur vollkommen, wenn noch etwas hinzugenommen wird, was entweder den Begriffen notwendig einwohnt, oder was als Voraussetzung angenommen wird) wie in dem Falle, wo der Beweis aus der Unmöglichkeit des Gegenteils geführt wird. Auch erhellt, dass in dieser Figur kein bejahender Schlusssatz vorkommt, sondern dass alle, sowohl die allgemeinen, wie die beschränkten verneinend lauten. b) (42)

A1K.1.5.28a9 - Das Schema der Mitte der zweiten Figur ist (±)B(±). Damit lässt sich kein Schluss bilden, weil kein ganzes B dabei ist. Ein regulärer Schluss ist hier nur mit der Kontraposition des allgemein verneinenden Satzes möglich, weil allein in ihm das teil-B zu einem ganzen B werden kann. Durch die Kontraposition des allgemein bejahenden Satzes ergeben sich mehr Schlüsse, weil das negative Ganze eine schlüssige Mitte ermöglicht.


1. Wie den Logikern nicht klar ist, dass die »beiden« Sätze 6 Kontrapositionen von einander sind, so war mir lange nicht klar, dass ich die 12 Kontrapositionen aller 6 allgemeinen Sätze entdeckt habe und nenne sie in Logik 2.2 »Äquivalente«. Dort heißt der Schluss 5dÄqou: ../L22/L22-12.htm .